1、引 子,前面所介绍的静态规划（LP、IP、TP、AP）和动态规划（DP）都是解决实际问题的一种方法，其主要区别在于对变量的处理方式不同；但形式上基本类似数学迭代。,而实际中，有些类型的问题可以用以上的方法来处理，但处理的过程十分复杂而付出较大的代价，如管道的铺设问题、路网中的最短路径问题、网络流问题等等，借助图来处理，问题将会变得更加直观和简单。,第9章 图与网络分析 Graph&Network Analysis,主要内容,图的基本概念 树 最短路径问题 网络最大流问题 最小费用最大流问题,本章重点难点,本章要求学生重点了解图的基本概念，掌握最小支撑树的求法以及最短路径的标号法和网络最大流的标
2、号法。,难点内容为标号法的优化调整和网络最大流中增流（广）链的确定。,1736年瑞士数学家欧拉（E.Euler）在求解七桥一笔画难题时，就用了点线图来分析论证： 每个点均有奇数条边时，一笔画问题无解。,起 源,图的基本概念,图(a),图(b),图由代表所研究对象的点和表示对象之间关联性质的线构成，一般称为点线图。如图（a）(b)。 无向图：线不带箭头，称为边，如（a）记为：G=V,E其中：V=v1,v2,vn,vj 也称为顶点、端点或节点；E=e1,e2,em,ei也称为边； 有向图：线带箭头，称为弧，如 （b）记为：D=V,A 其中：V同上；A=a1,a2,am,ai称为弧。,图的基本概念,
3、点（以无向图为例） 相邻点：关联同一条边的两顶点称为相邻点。如：v1与v2,v2与v4等称为相邻点。,图的基本概念,点的次（度、阶）数：与点vi关联的边数称为的次（度、阶）数，记为d(vi)。如：d(v1) =5 奇点：次数为奇数的点叫奇点； 偶点：次数为偶数的点叫偶点； 悬挂点：次数为1的点叫悬挂点； 孤立点：次数为0的点叫孤立点。,图的基本概念,边（以无向图为例） 相邻边：关联同一顶点的两条边；多重边：并联于两个相邻顶点的边； 环：两端点接于同一顶点的边；悬挂边：与悬挂点关联的边。 简单图：无环无多重边的图叫简单图。,图的基本概念,链和路 链：从某点开始的点边交替而成的序列。 圈(闭链)：
4、首尾相连的链叫圈（或闭链）。 简单链：无重复边的链叫简单链。 路：无重复点的简单链叫做路。回路：首尾相连的路叫回路。,图的基本概念,连通图：任意两点之间可由一条链连接起来相通的图叫连通图。否则，称为非连通图。 所有点的次数之和等于边数的两倍。 奇点的个数必为偶数。,图的基本概念,同形图：两个图，从外表上看不一致，但它们的拓朴结构是一样的，即保持了各自代表的对象间相同的关联性质，称为同形图，如下面两个图就是同形图。,点线图的特点：图的顶点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，可从一个形状的图变形为另一个形状的图，且关联性质不变。,图的基本概念,图的矩阵表示： 关联矩阵A(G/
5、D):（点边矩阵）; 邻接矩阵B(G/D)：（顶点顶点）,网络（赋权图）：点、边（弧）、权 三要素图称为网络,树,树的定义一个无圈的连通图称为树，如电话线路、管道铺设、机构组织、图书分类、会计科目等,树的性质 树连通且无圈； 树不含圈且有P-1条边； 树连通且有P-1条边； 树无圈，但不相邻的顶点连以一边，恰得一圈； 树连通，但去掉任一边，必变为不连通； 树中任两点间，恰有一条初等链。,树,图的支撑树设图T=(V, E)是图G=(V, E)的支撑子图，如果图T是一个树，则称T是G的一个支撑树。如下图,点集不动，边集为G中边集的子集,树,最小支撑树（最小树）问题如果T=(V, E)是G=(V,
6、E)的一个支撑树，称E中所有边的权之和为支撑树T的权，记为W(T)；如果支撑树T*的权W(T*)是G的所有支撑树的权中最小者，则称T*是G的最小支撑树（简称最小树）。,求解方法： 破圈法 避圈法,树,破圈法（举例）,W(T*)=16,树,避圈法（举例）,5,v1,v2,v3,v4,v5,v6,2,1,3,5,W(T*)=16,最短路径问题,引例从油田(v1)铺设管道，把原油运到原油加工厂(v6)。要求管道必须沿下图所给定的道路铺设。问如何选择铺油管道的铺设路线，才能使管道总长最短？,最短路径问题,最短路的定义最短路问题就是要在已给网络中所有从起点到终点的路中，求一条权最小的路。如图,最短路径问
7、题,最短路径算法（E.W.Dijkstra,1959） 算法思想（最短路特性）：如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的所有路中最短的。,最短路P：,vs vj vs vi vj,求解思路：从vs出发,逐步地向外探寻最短路。,最短路径算法（Dijkstra),Dijkstra方法 (标号法)：,顶点vj的标号：,P标号：永久性标号;最短距离长度;不变 T标号：试探性标号;估计长度;可以改变,方法的每一步就是修改T标号，并且把某一个具有T标号的点改为具有P标号的点，最多经过n-1步（n为图D中顶点数）就可以求出从起点到各点的最短路。但值得注
8、意的是：要求wij0,N,y,最短路径算法（Dijkstra),算法步骤：,令P(v1)=0,T(vj)=+, j=2,3, ,n S=v1 S= v2,v3, , vn V= v1,v2,v3, , vn,MinT(vj),P(vi)+wijT(vj) viS,vjS,MinT(vj)P(vj) vjS,S=v?,P(vj)即为所求的最短路权,最短路径算法（Dijkstra),算例：,0,2,5,2,5,6,4,4,5,5,11,5,11,最短路线为v1v2v3v4v6,长度为11,但值得注意的是：本算法仅适用于wij0,最短路径算法（Dijkstra),应用举例设备更新问题。某企业使用一台
9、设备，在每年年初企业领导部门就要求决定是否购置新设备。若购置新设备就要支付一定的购置费用；若继续使用旧设备，则需支付一定的维修费用。现在的问题是如何几年之内的设备更新计划，使得总的支付费用最少？ 现以一个五年更新计划为例，有关的数据如下：,应用举例（设备更新）,解：建立网络模型 D=(V, A, W) 其中V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,v1v5分别表示各年初v6表示第五年末； A=(vi, vj) i=1,2, ,5;j=2,3, ,6,ij，弧（vi, vj）相当于第i年初购买一台设备一直使用到第j-1年末； wij=第i年的设备购置费（j-i）年里的设备维修费。 如：w25=第2
10、年的设备购置费（52）年里的设备维修费15（568）34,20,应用举例（设备更新）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,20,26,34,45,63,20,26,34,45,22,28,36,22,28,25,0,26,34,45,63,20,26,62,34,45,62,？,3,网络最大流问题,问题的提出：交通流、流水线产品、信息流、物资流等如图是连结某产品煤产地vs至销地vt的铁路运输网，弧上的数字表示该路段的最大通过能力，现在要求制定一个运输方案使从vs运到vt的产品数量最多。,2,8,3,5,3,2,1,4,0,5,8,13,13,网络最大流问题,基本概念与基本定理：,网络与流 网络
11、：D=(V, A, C)， 其中V=vs, I, vt;A=(vi, vj);C=cijcij0，cij称为弧的容量 流：定义在网络弧上的一个函数 f(vi, vj)或 fij 可行流与最大流 可行流：满足以下条件的流 f 为可行流。 (1)容量限制条件：0fijcij (2)中间点的平衡条件：流入量流出量 (3)发点vs的总发量(v(f)收点vt的总收量(-v(f) 最大流：网络D上流量最大的可行流称为最大流。,中间点集,基本概念与基本定理,可行流与最大流的关系：最大流问题实际上是一个特殊的线性规划问题，即求一组fij,在满足可行流的条件下使得v(f)达到最大，其数学模型：,基本概念与基本定
12、理,增广链（增流链） 【一组术语】： 若给一个可行流f =fij,则有饱和弧 ( fij = cij ) 非饱和弧 ( fij 0) 若是网络D中从起点vs到终点vt的一条链，链上的弧分为两类：前向弧：弧的方向与链的方向一致后向弧： 弧的方向与链的方向相反,基本概念与基本定理,【如图】：,增流链：设 f 是一个可行流， 是一条从 vs 到 vt 的链，若 上所有的前向弧均为不饱和弧，所有的后向弧均非零流弧，则 称为关于可行流 f 的增流链（增广链）。（反之，称为饱和链）,基本概念与基本定理,截集与截量（割集与割量）给定D=(V,A,C), 若点集V被分割为V1和V2(或称V1的补集)，其中vs
13、在V1中，vt在V2中，则把起点在V1中、终点在V2中的弧集称为截集，截集中弧的容量之和称为该截集的截量。,C=10+5+7=22,基本概念与基本定理,可行流是最大流的定理可行流 f*是最大流的充分必要条件是当且仅当不存在关于 f*的增流链。 最大流量最小截量定理任一网络D中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs,vt的最小截集的截量。Max v(f*)=Min C*(V1,V2),网络最大流问题,最大流的求解（标号法，Ford, Fulkerson）,算法思想：从某一个可行流出发，用给顶点标号的方式来构造V1*,一旦vt 得到标号，表明找到了从起点vs 到终点vt 的增流链，于是在增流链上
14、调整流值，增流链以外的其他弧上的流值不变，如此反复，直到vt得不到标号，表明不存在增流链，当前的流为最大流。 算法步骤：标号过程（寻找增流链过程）调整过程（增流过程）,fij=,顶点,标号点 未标号点,最大流的求解（标号法）,标号过程,标号已检查点 标号未检查点,点 vj 的标号形式：（/- vi, l(vj)）,调整过程令调整量l(vt),则：,fij + 前向弧 fij - 后向弧 fij 增流链以外的弧,Y,最大流的求解（标号法）,给起点vs标号（0,+） vs成为标号未检查点,终点vt是否得 到标号？,是否有已标号而 未检查的点vi?,取一个点vi进行检查,用反向追踪找出vs至vt的增
15、流链 ，进入调整过程,不存在增流链 结束,N,Y,N,在上调流，其他不变,抹去所有的标号,+1,（0,）,标号法（算例）,解：根据可行流的条件，给一个可行流如图，弧上的数据为（cij,fij）,（+vs,2）,（-v2,1）,（+v4,1）,（+v3,1）,（+v6,1）,（+v5,1）,+1,+1,+1,+1,-1,（0,）,（+vs,1）,Max v(f)=9,C=3+4+2=9,= Min C,最小截集为（vs,v4）,(vs,v3),(v2,v5),最大流的求解（标号法）,注意事项,（1）有关初始可行流问题可以给出、也可以是零流 （2）最小截集的工程意义,最大流问题,应用举例,某地的电
16、力公司有3个发电站，它们负责5个城市的供电任务，其输电网络如图，由于城市8经济高速发展，要求供应电力65MW，3个发电站在满足城市4，5，6，7的用电需要量后，它们还剩余15MW,10MW,40MW,输电网络剩余的输电能力如图上节点和线上的数字，问输电网络的输电能力是否满足城市8的需要，若不满足，需要增建哪些输电线路。,10,应用举例,VS,15,40,10,15,30,15,15,10, 0,10,20,15,10,45,10,(0, +),应用举例,(+vs, 10),(+v3, 10),(+v6, 10),(-v6, 10),(-v4, 10),终点无法得到标号，则当前的流为最大流 Ma
17、x v(f)=55. 不满足城市8的需要 从最后一次标号的过程不难看出，最好的方案是在饱和弧（5，8）上增建输送10MW的新线路。,20,(+v5, 10),+10,+10,+10,+10,最小费用最大流问题,基本概念：,给出网络D=(V,A,C), 其中C=(cij,bij) 可行流 f 的总费用为,则使得b(f)最小且流值为定值v(f)的可行流问题称为最小费用定值流；b(f)最小且流值为最大的问题称为最小费用最大流问题。,最小费用最大流问题,算法,算法思想：寻求最大流是通过找出从起点到终点的增流链，在增流链上调整流来实现的。一般情况下，从起点到终点不止一条增流链，如果考虑在费用最小的链上增
18、流，即可实现网络上流的费用最小。 分析：问题在于寻找费用最小的增流链。 （1）零流一定是费用最小的流； （2）费用最小可以通过求以费用为权的最短路； （3）问题的关键在于：找到的从起点到终点的费用最短路是否也是相应的一条增流链？ 如何实现？,最小费用最大流问题,分析网络D(f)的弧（vi, vj）的三种情况： (1) 0fijcij : 该弧既可作为增流链的前向弧，又可作为增流链的后向弧；则若为前向弧，链增流时弧增流，使总费用增加；若为后向弧，链增流时弧减流，使总费用减少。 (2) 0fij=cij : 该弧只能作为增流链上的后向弧，链增流时弧减流，使总费用减少。 (3) fij=0 : 该弧
19、只能作为增流链上的前向弧，链增流时弧增流，使总费用增加。根据以上的分析，可以构造网络图D(f)的赋权有向图w(f)，来实现求关于流 f 的最小费用增流链。,如何实现？,最小费用最大流问题,构造赋权有向图w(f):,(1) 顶点为原网络图D(f)的顶点； (2) 弧：当0fijcij时：作两条方向相反的弧(vi, vj) 和 （vj, vi）;当fij=0时：作一条与D(f)同向的弧(vi, vj);当0fij=cij时：作一条与D(f)反向的弧(vj, vi) (3) 权： 同向弧为bij; 反向弧为-bij.,4,vs,最小费用最大流问题,例题：如图弧旁的数字为（bij, cij, fij）
20、,(2,5,5),v1,vt,v2,v3,4,1,1,2,3,6,1,2,Y,最小费用最大流问题,算法步骤：,初始最小费用流 f , 如零流,构造赋权有向图w(f),在w(f)中有vs到vt的 最短路？,找出与w(f)中最短路对应于D(f)中的增流链，在上调流，得一新最小费用流,D(f)中无增流链,得最小费用最大流,N,0,最小费用最大流问题,例题：如图弧旁的数字为（bij, cij）,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,3,1,5,2,2,2,2,+1,0,最小费用最大流问题,-1,-2,-2,+1,+1,+1,+1,0,最小费用最大流问题,-1,-2,-1,-2,+1,+1,-
21、1,-2,+3,-4,+1,最小费用最大流问题,+1,+1,-1,0,-1,-2,-1,-2,-5,+3,-3,+3,+3,-4,+3,+1,最小费用最大流问题,+1,+1,-1,+3,-3,+3,+3,0,-1,-11,-4,-1,-2,-5,图中已没有起点到终点的路，当前的流为最小费用最大流，v(f)=7; b(f)=78,OR课件,应用举例（运输问题）,设有三个化肥厂供应三个地区的农用化肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同，各化肥厂年产量、各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送化肥的单位运价（万元/万吨）如下表所示。试求出总运费最少的化肥调拨方案。,160,100 不限,90,OR课
22、件,应用举例（运输问题）,D,-,-,0,0,30,190,190,解：设网络模型为D=(V,A,C), 其中：V=(vs, I, vt); I=a,b,c,d, ,; A=运输方案；C=(wij,cij),wij代表运费、cij代表产量和需求量 则：网络模型如下：,0,50,OR课件,应用举例（运输问题）,a,b,c,d,vs,vt,0,60,0,50,16,50,13,50,22,50,22,50,14,60,19,60,19,60,20,50,23,50,23,50,0,30,0,30,0,30,0,70,0,30,0,30,0,60,Y,最小费用最大流问题,算法步骤：,初始最小费用流 f , 如零流,构造赋权有向图w(f),在w(f)中有vs到vt的 最短路？,找出与w(f)中最短路对应于D(f)中的增流链，在上调流，得一新最小费用流,D(f)中无增流链,得最小费用最大流,N,
