1、4理论中的路径积分Part One1，自由标量场 拉氏量 我们这里只考虑实标量场，因而自由标量场的拉氏量可以写为： 如果加上场源，那么自由场拉氏量可以写为：1，自由标量场 拉氏量 现在考虑作用量： 考虑其中的这项积分： 我们有： 考虑 Gauss定理： 其中 是 V的边界。因而上述积分为： 考虑无穷远边界上场量为 0这个边界条件，那么上述积分实际上给出：1，自由标量场 拉氏量 从而可以写出有效拉氏量为： 显然，作用量 S对有效拉氏量和原始拉氏量是相同的，现写为： 这个表达是与 “ 无穷远边界上场量为零 ” 的边界条件相契合的有效拉氏量表达。不同的边界条件可以给出不同的有效拉氏量。1，自由标量场
2、 拉氏量 在经典情况下，场所满足运动方程是由原始拉氏量而非有效拉氏量给出的： 这就是经典标量场所满足的 Klein-Gordon方程。1，自由标量场 生成泛函 生成泛函 WJ与作用量 S,J的关系为： 其中最外面的积分是对场 的泛函积分， D为泛函积分的积分测度。 对 N维时空，上述积分测度可以写为： 其中 n为时间切片数， 为时间切片间隔，满足：1，自由标量场 生成泛函 这里要说明一下，上面以及以后的表示中都省略了 e指数的分母： 完整的生成泛函应该是： 当我们取极限 时，生成泛函实际上只有经典场才有贡献，因而可以认为经典情况就是Planck常数为零的量子情况。1，自由标量场 生成泛函 对现
3、在的自由实标量场，生成泛函可以写为： 需要注意的是，这里的标量场 是泛函积分的积分参量，因而并不需要满足 Klein-Gordon方程。满足 KG方程的是经典场 0。这点和分析力学中的虚运动差不多。 归一化的生成泛函：1，自由标量场 生成泛函 由归一化的生成泛函 ZJ我们可以看出，为了计算它我们需要做两次泛函积分，这在实际计算中是很麻烦的事情。因而，如果能将 WJ写成如下形式，无疑将会使计算大大简化： 在这种情况下，作用量中的场源 J与场量 分离，因而显然有：1，自由标量场 生成泛函 这种情况下，归一化生成泛函就可以写为： 显然，现在归一化生成泛函已经不含泛函积分，因而便于处理。1，自由标量场
4、 生成泛函 现在考虑这么一种场量分解： 其中， 0是满足 KG方程的经典场，而 是在经典场 “ 附近 ” 的扰动场。 这种分解下，泛函积分的积分测度不变（类似普通积分中加入常数项的情况），因而生成泛函可以写为：1，自由标量场 生成泛函 由于经典场满足 KG方程，从而可以进一步写为：1，自由标量场 生成泛函 注意到这里的有效拉氏量最终是在作用量的积分中体现的，因而对于上式最后两个表达式我们有如下积分关系：1，自由标量场 生成泛函 从而，从最后作用量中积分的角度来说，我们可以认为： 从而对有效作用量的分解可以写为：1，自由作用量 生成泛函 从而，现在的生成泛函可以写为： 因而，我们所期望的目标实现
5、了：1，自由标量场 生成泛函 最后，我们来看一下这里的经典场 0，它满足KG方程： 先来看这么一个方程： 对 delta函数做 Fourier展开，得：1，自由标量场 生成泛函 从而对 G的方程可以得到解： 我们引入 Feynman传播子： 因而有： 从而经典场可以解出，为：1，自由标量场 生成泛函 最终，生成泛函可以写为： 可见，自由标量场的（归一化的）生成泛函最终可以写为一种很简洁的形式。2， FEYNMAN传播子 在上一小节，我们得出了 Feynman传播子为： 但是，显然这种写法是有问题的，因为现在被积函数在实轴上有奇点，位于 p2-m2=0处。 为了解决这个问题，我们在分母中引入一个
6、无穷小正虚量： 从而，现在奇点从实轴上被移开了而并不破坏原始的积分。2， FEYNMAN传播子 由于我们所考虑的时空是 3+1维的平坦时空，度规可以写为： ，从而上述被积函数的分母可以写为： 其中 因而现在奇点位置为：2， FEYNMAN传播子 在复平面上奇点位置图示：2， FEYNMAN传播子 现在来计算传播子中的积分： 因而，这里需要对 x0-y0的结果进行分类讨论。2， FEYNMAN传播子 将 p0从实轴上延拓到整个复平面中，从而可以将其写为 a+ib的形式，因而对 p0的积分可以写为： 当 时，在无穷远处 b必须小于零积分才能收敛，因而对应到复平面的下半平面； 当 时，在无穷远处 b
7、必须大于零积分才能收敛，因而对应到复平面的上半平面； 结合之前的奇点在复平面上的分布图，我们可得积分结果。2， FEYNMAN传播子 当 时，积分围道为：2， FEYNMAN传播子 可见，此时积分围道内的奇点出现在 的位置 由于下半平面无穷远处的积分为 0，因而整个围道积分就等于对实轴的积分： 由留数定理，并注意到现在的围道是顺时针的，因而最终 4-动量 0分量的积分部分为：2， FEYNMAN传播子 当 时，积分围道为：2， FEYNMAN传播子 可见，此时积分围道内的奇点出现在 的位置 由于上半平面无穷远处的积分为 0，因而整个围道积分就等于对实轴的积分： 由留数定理，并注意到现在的围道是逆时针的，因而最终 4-动量 0分量的积分部分为：2， FEYNMAN传播子 结合上述两种情况，我们可以把积分最终写为： 从而传播子的积分可以写为： 其中最后一步做了不改变积分结果的变量变换：2， FEYNMAN传播子 考虑三维 KG方程 其解可以写为： 其有正交关系：2， FEYNMAN传播子 从而，可以利用这个函数将传播子改写：
