1、力学篇 第三章 刚体的定轴转动,主讲人: 冯有才 兰州理工大学 理学院,刚体（rigid body）：物体中任意两个质点间的距离始终不变。,特殊的质点系，形状和体积不变化， 理想化的模型。,平动（translation）时，刚体上所有点运动都相同，故刚体可简化为质点。,3.1 刚体的运动及分类,此时刚体=质点。,刚体的一般运动= 平动+转动 平动和转动可以描述所有质点的运动。,如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，称转动（rotation）；这一直线称转轴。,刚体的定轴转动,3.角加速度矢量,速度加快时，角加速度和角速度同向，否则反向。,3.1.3 刚体的定轴转动（rotation
2、 about affixed axis）,1.角位移,线量和角量的关系：,例题1 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,角速度,例题2 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上
3、一点的速度和加速度。,量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+t 得,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,解 （1）设初角度为0方向如图所示，,角速度,（2）t=25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同 ；,（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,由,边缘上该点的加速度 其中 的方向 与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小 为,的方向几乎和 相同。,角速度,一、转动动能和转动惯量,3.2 转动定律,为刚
4、体对 z 轴的转动惯量,转动惯量的计算,J 为标量,与刚体的质量有关,与质量的分布有关，即与刚体的形状、大小、各部分的密度有关；,与转轴的位置有关,SI：,均匀杆：,对C轴：,对A轴：,二. 常用的几个J,均匀圆盘：,均匀圆环：,质点系的质量中心，简称质心。具有长度的量纲，描述与质点系有关的某一空间点的位置。,注意：,质心的位矢与参考系的选取有关。,刚体的质心相对自身位置确定不变。,质量均匀的规则物体的质心在几何中心。,质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质心与重心位置重合。,单位：牛顿米， N m,方向：从r 沿小于 角右旋到F，大拇指指向。,3.2.2 转动定律及应用举例,一、对定轴的
5、力矩,对定点的力矩：,对定轴的力矩：,不起作用，只考虑转动平面内的,r,F,M,M 的方向垂直于r 与 F 构成的平面。,上页,下页,退出,返回,d为力臂,同一点合力的力矩等于各分力力矩之和：,线量和角量的关系：,例2：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。,解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,细杆的质量密度,质元质量,质元受阻力矩,上页,下页,退出,返回,细杆受的阻力矩,由细杆质量,有,上页,下页,退出,返回,二、刚体对定轴的角动量,质点对定轴的角动量：,大小为：,刚体
6、对定轴的角动量：刚体各质点对轴的角动量的矢量和。,1.第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。,三、 转动定律,上页,下页,退出,返回,从实验可知，刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,2.第二定律,刚体定轴转动定律,与牛II比较：,刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。,1. 是矢量式,2. 具有瞬时性。,1.确定研究对象。,2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。,3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。,四. 解题方法及应用举例,第一类问题：已知运
7、动情况和 J，确定运动学和动力学的联系- ，从而求出 M或 F。,上页,下页,退出,返回,例3：长为 l、质量为 m 的细杆，初始时的角速度为 0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻。,解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：,上页,下页,退出,返回,细杆绕一端的转动惯量,则摩擦阻力矩为：,上页,下页,退出,返回,第二类问题：已知 J 和力矩M ：求出运动情况 a 和 及 F。,例4：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上， m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，若轮轴摩擦可以忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求：m1 下落的加速
8、度，和绳子的张力 T1、T2。,T1,T2,解：受力分析,（1）,（2）,（3）,T1,T2,上页,下页,退出,返回,联立方程（1）-（4）求解得,讨论：当 M=0时,上页,下页,退出,返回,例3-8：如图所示，有一匀质圆盘半径为R,质量为m，在水平面上绕过圆心的垂直轴O转动。若圆盘的初角速度为0，桌面的摩擦系数为并且与相对速度无关。求圆盘停下来需要的时间和停转过程的角位移。,第三类问题：已知运动情况 和力矩M ，求未知刚体转动惯量 J。,例5：测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量
9、 J。,上页,下页,退出,返回,以m为研究对象,以M为研究对象,物体从静止下落时满足,补充方程：,联立方程（1）-（4）求解得：,上页,下页,退出,返回,3.3 守恒定律,一. 力矩的功,将F分解为切向力和法向力。,刚体转过 d, 作用点的位移为 ds, 法向力Fn 不作功，只有切向力作功，,其中,由功的定义,对于恒力矩作功,恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。,由功率的定义：,二、力矩的功率,则,刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？,由力矩的功定义：,三、刚体绕定轴转动的动能定理,其中力矩,则功,刚体定轴转动的动能定理,刚体转动
10、动能定理：合外力矩对刚体作功等于刚体转动动能的增量。,1.确定研究对象。,2.受力分析，确定作功的力矩。,3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。,4.列方程求解。,四、应用转动动能定理解题方法,上页,下页,退出,返回,例：例3-6题中求细杆摆到铅直位置时的角速度。,解：以杆为研究对象，,只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,重力矩作功：,上页,下页,退出,返回,始末两态动能：,由动能定理：,当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。,其中,例3-9：例3-6中求细杆下摆时角速度为多少。,例3-10：如图，轻绳绕在定滑轮A，B
11、（质量分别为m1和m2）上，一端挂有重物C（质量为m3），A、B滑轮均可当做匀质圆盘，半径分别为R1和R2，求物体C由静止下落h处的速度。,h,A,B,例：如图所示的物体系中，倔强度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，质量为 m 的物体从静止开始下落,求下落 h 时物体的速度 v。,解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。,选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下落 h 时为重力 0 势点。,求解得,在质点运动中介绍了冲量的概念-力对时间的累积效应。在刚体转动中引入冲量矩的概念-力矩对时间的累积效应。,冲量：,冲量矩：,单位：牛顿米秒（
12、 N m s）,上页,下页,退出,返回,六 刚体的角动量和角动量守恒定律,质点的动量定理,由冲量矩定义：,其中,上页,下页,退出,返回,其中,角动量定理：刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。,上页,下页,退出,返回,表明小球对圆心的角动量保持不变,实验中发现,质点系的动量守恒定律：当合外力为0时，动量守恒。,对于刚体所受的合外力矩为0时,又如何呢？,由角动量定理：,上页,下页,退出,返回,角动量守恒定律:当刚体受到的合外力矩为0 时，刚体的角动量守恒。,上页,下页,退出,返回,条件：当刚体受到的合外力矩为0时，,.对于非刚体，转动惯量J发生变化的物体，,由于J =C，,上页,下页,退出,返回
13、,.对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角速度 也为常数， =0,即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。,明确几点,上页,下页,退出,返回,例8：人与转盘的转动惯量J0=60kgm2, 伸臂时臂长为l1= 1m，收臂时臂长为 l2= 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 2 。 （人手臂收缩引起的角动量变化不计）,上页,下页,退出,返回,解：合外力矩为0，角动量守恒，,J0=60kgm2，l1= 1m， l2= 0.2m m=5kg， 1 = 3 s-1,
14、上页,下页,退出,返回,由转动惯量的减小，角速度增加。,在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。,上页,下页,退出,返回,1 = 3 s-1,解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。,共同角速度,例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合过程机械能损失。,上页,下页,退出,返回,其中,共同角速度,啮合过程机械能损失,上页,下页,退出,返回,解：在彗星绕太阳轨道运转过程中,只受万有引力作用,万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。,例10：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒
15、？近日点与远日点的速度谁大？,上页,下页,退出,返回,近日点,远日点,即,近日点 r 小 v 大，远日点 r 大 v 小，,这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。,由质点的角动量定义：,即,上页,下页,退出,返回,近日点,远日点,例11: 长为l，质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞完全弹性）使杆向上摆到 处，求小球的初速度。,解：第一过程：小球和棒完全弹性碰撞。,上页,下页,退出,返回,第二过程：从碰撞后得到角速度到棒上升到=60处。取棒、地球为系统。因系统中无外力和非保守内力做功。所以系统的机械能守恒，即,由上列三式解得,上页,下页,退出,返回,例12: 一质量M，半径为R的圆柱，可绕固定的水平轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹，水平射入静止的圆柱上部(近似看作在圆柱边缘)，且停留在圆柱内, 求：（1）子弹与圆柱的角速度。（2）该系统的机械能的损失。,解：（1）子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞。,上页,下页,退出,返回,（2）损失的机械能：,其中,上页,下页,退出,返回,
