5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解,当 n 为整数时 与 是线性相关的。,是贝塞尔方程的一个特解。,问题：找与 线性无关的特解。,和 线性无关,其中 C 为欧拉常数。,方程的通解可写为,综上，贝塞尔方程的通解可写为,5.4 贝塞尔函数的递推公式,首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间的关系。,目标：建立不同阶贝塞尔函数之间的递推公式。,当 n =0,1,2时，,分别令 n=0 及 n=1 得:,微分 的第k + 2项,是 的第 项的负值。,我们有,即,一般的, 有,上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,两式相加减分别消去 和,注,对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式：,这里微分算子 表示算子 连续作用 m 次的缩写.,取 n=1, 则有,解,分别令 n = 1, n = 2, 得,将 (1) 式乘 2 ，求导，然后减去 (2) 式，得,即,课后作业,P127-128 习题五 5. 6(2). 16(1). 17.,
