1、2.3 恰当微分方程与积分因子,2.3.1 恰当微分方程 一阶微分方程可写成本节考虑一般的微分形式的一阶微分方程:,其中M(x,y),N(x,y)是某区域D内的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.定义:若存在一个二元函数u(x,y)使得那么称方程(1)为恰当微分方程(全微分方程).显然,全微分方程(1)的通解是:u(x,y)=c.,自然有下述两问: (1)为恰当方程的条件? 当(1)为恰当方程时,如何求u(x,y)?定理:设方程(1)中的M(x,y),N(x,y) 在平面单连通区域D内具连续一阶偏导数,则(1)为恰当方程的充要条件是: 在D内恒有,证明 必要性:因为 连续,所以,充分性:在 的条
2、件下找u(x,y)使du=Mdx+Ndy,即 成立.(其中 待定)代入 ,得,需要证明 与x无关.事实上,在 连续的条件下有,所以 于是求得,恰当方程的解法1)线积分法 因为(1)为全微分方程,满足 ,所以方程(1)的通解是积分路线为内D某点(x0,y0)到(x,y)的任一路径.,例1 解方程(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0. 解 :因为所以,原方程是恰当方程.所以原方程的通解是x3+3x2y2+y4=c.,例2 解方程解 :因为所以,原方程是恰当方程.,所以原方程的通解是,2)不定积分法利用定理的充分性的证明方法,求同时满足等式 的u(x,y).例如,例1 (3x2+6
3、xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0. 设法求同时满足 的u(x,y).,由(3)式 得u=x3+3x2y2+k(y).代入(4)式得所以,通解是x3+3x2y2+y4=c.,3)观察法(分项组合) 对于已经确定是恰当方程的微分方程,可用分项组合的方法:先将本身已构成全微分的项分出,再把其余的项凑成某函数的全微分.此法需熟记一些简单的二元函数的全微分,如,例如,例1 (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.再如,例3 (cosy+ycosx)dx+(sinx-xsiny)dy=0,例4,2.3.2 积分因子1.定义:如果存在连续可微的函数=(x,y)0,使(x,y)M(x
4、,y)dx+(x,y)N(x,y)dy=0 (5) 成为恰当方程,即存在v(x,y),使(x,y)M(x,y)dx+(x,y)N(x,y)dydv(x,y), 则称为方程(1)的积分因子.,注1: v(x,y)=c 是方程(5)的通解,因为 (x,y) 0 , 所以v(x,y)=c也是(1)的通解;注2: 一个方程可以有不同的积分因子.如,对于方程 ydx-xdy=0,都是它的积分因子.只要方程(1)有解,则必存在积分因子.因所选择的积分因子不同,得到的通解可能有不同的形式,但它所定义的积分曲线族是一样的.,2.积分因子的求法根据定义知, (x,y) 是方程(1)的积分因子的充要条件是:即这是
5、一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程.,若存在只与x有关的积分因子,则根据(6)得所以,方程(1)存在只与x有关的积分因子的充要条件是此时,是方程(1)的一个积分因子.,存在只与y有关的积分因子的充要条件是此时,是方程(1)的一个积分因子. 存在只与z=x2+y2有关的积分因子的充要条件是此时,是方程(1)的一个积分因子.,例5 解方程2xydx-(x2+y2-1)dy=0. 解:因为 所以有积分因子于是,原方程可化为,所以,通解是另外,也y=0是解.,例6 解方程(x2+y2+x)dx+xydy=0. 解:因为 所以有积分因子原方程可化为,例7 解方程ydx+(y-x)dy=0. 解:方法1.,方法2.,方法3.,例8 使用积分因子法解一阶线性方程方程解:存在积分因子,原方程化为,
