1、第四章微分方程, 积分问题, 微分方程问题,推广,4.1 微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,案例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,一、 引出微分方程的两个实例,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一
2、规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,常微分方程,偏微分方程,定义1 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做 微分方程的阶。,(本章内容),二、微分方程的基本概念,分类,例1 如,(一阶),(一阶),(二阶),(一阶), 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,定义3 微分方程的解, 不含任意常数的解,初始条件,其图形称为积分曲线.,例1. 验证函数,
3、是微分方程,的解,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,内容小结,微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,一、可分离变量微分方程,4.2 可分离变量的微分方程 与齐次微分方程,一般形式,解法:,（1）分离变量,（2）两边积分,得,（其中 分别是 的一个原函数）,以上这种求解过程叫做分离变量法。,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量，得,两边积
4、分，得,得,( C 为任意常数 ),故原方程的通解为,注意：,这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。,也是该微分方程的解，但不是通解。,例2. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例3. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练习:,解: 分离变量,即,( C 0 ),二、齐次微分方程,一般形式,要解该方程，可作变量代换：,即,将,代入方程，得,分离变量，得
5、,两边积分，得,求出积分后，再用,代替u，便得齐次方程的解,例4 求微分方程 的通解。,令,即,将其代入方程，得,分离变量，得,两边积分，得,代入，便得原方程的通解：,解：原方程可变形为,它是齐次方程。,即,将,例5 求方程 的通解。,令 即,将其代入方程，得,分离变量，得,两边积分，得,解：原方程可变形为,它是齐次方程。,即,将 代入得原方程的通解：,4.3 一阶线性微分方程,一般形式:,若 Q(x) 0,称为一阶线性非齐次方程 .,称为一阶线性齐次方程 ;,如 方程,都是一阶线性微分方程，其中 (2) 是齐次的， (1) (3) 是非齐次的。,4.3 一阶线性微分方程,1. 解齐次方程,解
6、法：分离变量,两边积分得,故通解为,下面来研究这类方程的解法：,该方程的本质是可分离变量的微分方程。,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,求得,一阶线性方程,解法： 方法1 用常数变易法.,方法2 用通解公式,(1)先求出对应的齐次线性方程的通解； (2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性 方程的解（将齐次方程的通解中的任意常数 设为 待定函数 即可）,(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出 ，,即可写出非齐次线性方程的通解。,例1求方程 的通解。,分离变量，得,两边积分，得,解法1 原方程可变为,即,它是一阶线性非齐次方
7、程,它对应的齐次方程为,即,所以齐次方程的通解为,.,( C 为任意常数 ),.,则设 为非齐次方程的解,将其代入方程得,于是,即,所以原方程的通解为,（ 为任意常数) .,将其代入通解公式,解法2 原方程中,例2 求方程 的通解。,解：原方程可化为以 为自变量， 为因变量的,一阶线性非齐次微分方程,先求它对应的齐次方程 的通解为,再设 为非齐次方程的解，将其带入得,于是,则,所以原方程的通解为,（C 为任意常数 ）,例3. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h,一鸭子从点 A 游向点,为平行直线,游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P
8、(x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程 .,O ,水流速度大小为 a ,两岸,则,且鸭子,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,( 只要求出此初值问题即可 ),( 齐次方程 ),4.4 可降阶的二阶微分方程,一、 型方程,这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解.,例1 求 的通解.,二、不显含未知函数的方程,解 令,代入方程并分离变量得,积分，得,再积分,得,所求特解为,三、不显含自变量的方程,可设 ，把p当作新的未知函数，把y当作自变量,代入方程有,解：此方程不显含自变量x,令 ，则,代入原方程得,例3 求方程 的通解。,得,与,由 得,得原方程
9、的通解为,故由 得到的解,包含 于之中。,由,得,分离变量并积分，,当取 时，,4.5 二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的一般形式,它对应的二阶线性齐次微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程,定义1:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关。,若存在不全为 0 的常数,4.5.1 二阶常系数线性微分方程解的性质,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,
10、定理1（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）,如果y1 , y2是二阶齐次线性微分方程 的两个解,则它们的线性组合也是方程的解；,且当 y1 , y2 线性无关时，,为方程的通解，其中C1,C2是任意常数,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 2. （非齐次线性微分方程解的结构）,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,一、二阶常系数齐次线性微分方程,由于指数函数求导后仍为指数函数,利用这个性质，假设二阶常系数齐次方程具有形如 的解,将代入方程使得,4.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,方程 称为 的特征方程，其根称为的特征根,分三种情形
11、来考虑:,(1)如果特征方程 有两个相异实根r1与r2,根据定理1，此时方程 的通解为,这时可得方程的两个线性无关的解,可以再求一个与之线性无关的解,因此方程 的通解为,于是方程的通解为,实根,由上述讨论，求方程 的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根 ，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。,以上求解的方法称为特征方程法.,例1 试求方程 的通解.,解 特征方程 具有两个不同的实根,因此, 和 构成原方程的基本解组.,原方程的通解为,例2 求微分方程 的通解,它具有共轭复根,解 特征方程为,因此所求方程的通解为,例3 求微分方程,特征根为,解 原方程的
12、特征方程为,则所求方程的通解为,满足初始条件,的特解.,由 得,又因为,从而,故所求方程的特解为,由 得,4.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程,而方程 的通解问题在上面已经完全解决了.因此,求方程 的通解关键是求出它的一个特解y*.,本书只讨论 的情形，这里是常数,是m次多项式。这时方程,具有形如,的特解，其中 是与,同次的特定多项式，,是特征方程的重根依次取0,1或2.,这种求通解的方法称为“特定系数法”,而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者,例4 试求方程 的通解.,解：（1）求方程 的通解；,因为它的特征方程,的根为,故所求齐次方程的通解为,因为,(2)求非齐次方程的一个特解y*：,而2不是特征方程的根，从而可设,代入原方程并比较同次幂的系数可得,即,解得,故,(3)原方程的通解为,例5 试求方程 的通解.,解：（1）求方程 的通解；,因为它的特征方程,的根为,故所求齐次方程的通解为,因为,(2)求非齐次方程的一个特解y*：,而2不是特征方程的根，从而可设,代入原方程并比较同次幂的系数可得,即,解得,故,(3)原方程的通解为,
