1、数理方程1,常微分方程回顾 常微分方程常数变易法 简谐振动的数学模型 格林公式和高斯公式 思考题与练习题, ,物理量的数学描述一元(多元)函数、矢量函数,物理现象 物理定律 微分方程 求解,物理量在空间的分布情况其及随时间变化的规律, 常使用基于物理原理的微分方程来描述,Ex.1,Ex.2,通解:,通解:,定解条件: 初始位移 u(t0) = ? 初始速度 u(t0) = ?,代数方程,x2 3x + 2 = 0,(x 1)(x 2) = 0,微分方程： 含自变量、未知函数以及未知函数的导数的等式,( 为已知常数 ),二阶常系数齐次线性常微分方程,两相异实根 两相等实根 两共轭复根,莱布尼兹记
2、号,表示导数撇记号, , ,辅助方程,一阶非齐次方程的常数变易法,第一步, 求对应齐次方程通解,第二步, 常数变易,令,代入非齐次方程, 得,二阶非齐次方程常数变易法,设对应的齐次方程通解为: C1 y1(x) + C2 y2(x),常数变易，设 y(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x),故 u, v 满足方程组,求解得,其中,非齐次方程通解为,朗斯基行列式,例1 用常数变易法求 通解.,解: 由辅助方程 m2 4 m + 4 = 0, 得齐次方程通解 C1 e2x + C2 xe2x 则 y1 = e2x , y2 = x e2x,非齐次方程特解,非齐次方程通解,例 求解初值
3、问题,对应的齐次方程通解为:,如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 相应的方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程。,弦振动 (偏微分方程),简谐振动 (常微分方程),u = u( t ),u=u(x, t ),简谐振动(自由无阻尼运动)数学模型,牛顿第二定律: F = m aa加速度;F合外力;m物体质量 虎克定律: F= k u(t) F弹力;k弹性系数; u(t)弹簧伸长,m a = k u(t),由辅助方程 m2 + m = 0, 得,令,格林公式,应用:,D的面积=,面积公式,顶点按逆时针排列,且(xn+1，yn+1)=(x1，y1),高斯公式,应用:,V 的体积=,思考题与练习题,1.微分方程和代数方程的最大区别是什么,2. 二阶常微分方程 的系数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？,4. 谐振动中的参数 有何意义？,3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？,5. 不定积分 和的结果有何区别？,
