1、第五章 有限域的概念,通过前面的学习，我们已经知道对于给定的两个整数a和b，利用带余数除法一定会找到一个整数q以及一个非负整数r，使得a=qb+r，在后面的学习过程中，还会发现，这个规则对于多项式，高斯整数等也是成立的。于是，人们为了将这样一大类的研究对象进行统一处理，引入了一个新的概念欧氏环。如此，就可以在欧氏环中做我们所熟知的除法，因子分解等等，许多的结论我们不必再分别对整数，多项式，高斯整数等一一验证，只要知道是欧氏环，那么相应的结论就是正确的。类似这样的一套由具体到抽象的理论是由一些伟大的数学家迦罗瓦，阿贝尔等将我们所熟知的数上的一些理论加以高度概括，提炼出来的结果称之为近世代数又称之
2、为抽象代数。和我们已经接触到的经典代数中的初等代数、高等代数和线性代数不同，其研究对象不再是代数方程和线性方程组，而是代数系统。,定义设S是任意一个集合，并记SSS为所有有序对(s1, s2, sn)，siS，1in，所构成的集合，则称由SSS到S的映射为集合S上的（n元）代数运算，并称由集合S以及定义在集合S上的一个或多个代数运算构成的系统为代数系统或代数结构。在这个定义中，要求有序对(s1, s2, sn) SSS的像必须在集合S中，即运算要满足封闭性。例如，由整数集合Z以及定义在其上的整数加法运算“+”所构成的系统就是一个代数系统；而由整数集合Z和整数加法运算“+”以及乘法运算“”所构成
3、的系统也是一个代数系统，,第一节 群,定义5.1.1 设G是定义了二元运算“”的非空集合，如果在集合G中： a, b, cG，有(ab)c=a(bc)； 存在一个特殊的元素e，使得 aG，有ea=ae=a； aG，可以找到一个特殊的元素a-1G，使得 aa-1=a-1a=e。 则称G,为群，并称元素e为群G,的单位元，而称a-1为元素a的逆元。 定义5.1.2若对群G,中任意的元素a，b，有ab=ba，即运算“”满足交换律，则称该群为阿贝尔（或可换）群。,第一节 群,例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性(即任意两个整数做加法
4、还是整数)，结合律与交换律，同时容易验证： 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。 因而(Z,+)构成阿贝尔群。虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1，但是对任意的整数a1都找不到其对应的逆元。因而(Z,)不构成群。,第一节 群,例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与交换律，同时容易验证： 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。 因而(Z,+)构成阿贝尔群。虽然容易验证整数集合在乘法运算下有
5、单位元1，但是对任意的整数a1都找不到其对应的逆元。因而(Z,)不构成群。,第一节 群,例5.1.2 给定由模4的全体剩余类构成的集合Z4=0, 1, 2, 3，则可对Z4定义加法“+”运算：i+j=i+j。该“+”运算可用如下运算表来完全刻划 表5-1 群Z4,+中运算表在如上定义的“+”运算下，Z4,+构成群。,第一节 群,例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与交换律，同时容易验证： 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。 因而(Z,+
6、)构成阿贝尔群。虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1，但是对任意的整数a1都找不到其对应的逆元。因而(Z,)不构成群。,第一节 群,由上述运算表易知 Z4对该加法“+”运算封闭；“+”满足结合律； 由于对任意的元素a Z4，都有 0+a=0+a=a+0=a+0=a， 因而0为Z4中的加法零元； 而对Z4中任意的元素a，都可以找到Z4中的元素-a，使得 -a+a=-a+a=0=a+(-a)=a+-a， 因而Z4中的每个元素都有负元，具体地 0的负元是自身，1的负元为-1=3， 2的负元是-2=2，3的负元为-3=1。 因而Z4,+构成了加法群，称之为整数模4的剩余类加群。利用同样的证明过程
7、，可以得到整数模的剩余类加群Zn,+。,第一节 群,一般地，在乘法群中，一个元素aG作n次运算的结果可以记为an=aaa，同时称an为a的n次幂；而在加法群中，一个元素aG作n次运算的结果则可以记为na=a+a+a。并且类似于普通的数的集合中的加法和乘法运算，群中的加法和乘法运算具有如下性质 对于乘法： a-n=(a-1)n，anam=an+m，(am)n=anm; 对于加法： (-n)a=n(-a)，na+ma=(n+m)a，m(na)=(mn)a。 在n=0时，作如下约定：在乘法记号中a0=e；在加法记号中0a=0，其中最后一个“0”为加法群中的零元。,第一节 群,定义5.1.3 设a为群
8、G中的元素，则称使得an=e的最小正整数n为元素a的阶，记为|a|，如果这样的n不存在，则称a的阶为无限（或称是零）。 由定义5.1.3可知，群中单位元的阶是l，而其他任何元素的阶都大于1，例如在非零有理数乘法群中，单位元1的阶是1，而元素-1的阶是2，其余元素的阶均为无限。 定义5.1.4 群G中的元素个数称为G的阶，通常记为|G|。 例5.1.3 集合G=1, -1, i, -i关于数的普通乘法作成群，即4次单位根群。其中群G的阶为4，元素l的阶是l，-1的阶是2，而虚单位根i与-i的阶都是4。,第一节 群,定义5.1.5 设S为定义了代数运算“”的任一非空集合。若在集合S中，运算“”满足
9、封闭性与结合律，则称S,为半群。例5.1.4 设A=1,2,3,4，而令S为A的全部子集构成的集合（通常称之为A的幂集），则易知S,及S,都是半群。,第二节 子群、陪集与拉格朗日定理,一、子群二、陪集与拉格朗日定理,一、 子群,定义5.1.5 如果群G的子集H对于群G的运算也构成了群，则称H为群G的子群，并称群G的除了e和G之外的子群为G的真子群。例如容易验证所有偶数构成的集合就是整数加法群的真子群。定义5.1.6 如果群G中存在一个子集H，使得子集H中的任意元素b，都可以表示为H中某个特殊的元素a的幂次，则称子集H为群G的循环子群，而称元素a为H的生成元，记为H=(a)。特别地，若H=G，则
10、称群G为循环群。例5.1.5 容易验证整数模4的剩余类加群Z4中的任意元素都可以由元素1做若干次运算而得到，即1是Z4的生成元。,一、 子群,显然循环群的乘法满足交换律，故循环群都是可换群。同时一个循环群的生成元很可能不止一个。例如容易证明3也是整数模4的剩余类加群Z4的生成元。推论5.1.1由群G中一个固定的元素a的所有幂次所构成的子群，称为由a生成的子群，记为（a）。子群（a）必然是循环群，并且若这个子群的阶是有限的，则此子群的阶就是元素a的阶，而若子群的阶是无限的，则元素a的阶也是无限的。,二、陪集与拉格朗日定理,定义5.1.7(集合的积) 设X和Y是群G的两个非空子集，于是子集X与Y
11、的积记为 XY=xy|xX, yY。特别地，如果Y=y是一个单元素集，而子集X=x1, x2, ，那么子集X和Y的积为XY=x1y, x2y, ，此时我们记XY为Xy，并称Xy为元素y右乘X的积。定义5.1.8 设H为群G的子群，aG，则称群G的子集aH=ax|xH为群G关于子群H的一个左陪集，而称Ha=xa|xH为群G关于子群H的一个右陪集。同时称a为代表元。,二、陪集与拉格朗日定理,定理5.1.1设H为群G的子群，则a，bG，Ha=Hb与下面两个条件等价 aHb ab-1H 证明： (aHbHa=Hb)：设aHb，则存在hH使得 a=hb，因而 h-1a=h-1hb=b，即b=h-1a。
12、首先xHa，存在h1H使得 x=h1a=h1(hb)=(h1h)b， 由子群H对乘法运算的封闭性得到h1hH，因而 x=(h1h)bHb，故HaHb。,二、陪集与拉格朗日定理,(aHbHa=Hb)： h-1a=h-1hb=b，即b=h-1a。 其次yHb，存在h2H使得 y=h2b=h2(h-1a)=(h2h-1)a，由子群H对乘法运算的封闭性得到 h2h-1H，因而 y=(h2h-1)aHa，故HbHa。综上，得到Ha=Hb。 (Ha=Hbab-1H)：设Ha=Hb，则haHa，都存在h H，使得ha=hb，即 ab-1=h-1h H，进而ab-1H。 (ab-1HaHb)：设ab-1H，则
13、存在hH，使得ab-1=h，于是a=hbHb，即aHb。,二、陪集与拉格朗日定理,定理5.1.2 设H为群G的子群，a，bG，则 aHa； 右陪集Ha与Hb或者相等或者相交为空集，即Ha=Hb或HaHb=； G=证明： 因为H为群G的子群，所以H中有单位元e，使得aG，有 a=eaHa；,二、陪集与拉格朗日定理,若HaHb，则存在 xHaHb，由xHa，可以得到 Hx=Ha，而由xHb，又可以得到 Hx=Hb， 所以Ha=Hb；,二、陪集与拉格朗日定理,因为每个右陪集Ha都是G的子集，所以这些右陪集的并也是G的子集，即另一方面，gG，由1)知gHg，而显然有所以g ，由g的任意性得到所以,二、
14、陪集与拉格朗日定理,由定理5.1.2我们看到： 每个右陪集的代表元都含在该右陪集内， 任两个右陪集要么相等，要么不相交， 将不重复的全部右陪集并起来以后恰好等于整个群G， 即群G的所有右陪集构成了G的一个划分。定义5.1.9 设H为群G的子群，由上述定理决定的G的划分G=称为G的一个右陪集分解。,二、陪集与拉格朗日定理,定义5.1.9 设H为群G的子群，由上述定理决定的G的划分G=称为G的一个右陪集分解。特别地，由上可见群G的右陪集分解具有如下特点： 分解式中必含有子群(即以单位元为代表的右陪集)而其余的右陪集都不是G的子群； 右陪集分解式中出现的右陪集彼此都不相交； 分解式中每个右陪集的代表
15、元都可以适当替换。,二、陪集与拉格朗日定理,设H为群G的子群，若记 SR=Ha|aG, SR为H的所有不重复的右陪集做成的集合， SL=cH|cG，SL为H的全部不重复的左陪集做成的集合。 则左陪集将与右陪集具有完全相似的性质。同时有如下结论定理5.1.3 设H为群G的子群，则SR与SL之间存在双射。,二、陪集与拉格朗日定理,定理5.1.3 设H为群G的子群，则SR与SL之间存在双射。 证明：作:SRSL，其中(Ha)=a-1H。(必是映射)：Ha，HbSR，若Ha=Hb，则ab-1H，即存在hH，使得ab-1=h，即b-1=a-1h，进而b-1a-1H，故 a-1H=b-1H，即(Ha)=(
16、Hb)，这说明是个映射。,二、陪集与拉格朗日定理,定理5.1.3 设H为群G的子群，则SR与SL之间存在双射。 证明：作:SRSL，其中(Ha)=a-1H。(必是满射)：cHSL，存在Hc-1R，使(Hc-1)=( c-1)-1H =cH，所以必是满射。 (必是单射)：设(Ha)=a-1H，若a-1H=b-1H，则ab-1H=H，即存在h1，h2H，使得ab-1h1=h2，即ab-1=h2h1-1，进而a=h2h1-1b，即h2-1a=h1-1b，故Ha=Hb，所以必是单射。 综上知必是双射。,二、陪集与拉格朗日定理,定义5.1.10若H为群G的子群，则称H的右(左)陪集的个数为H在G中的指数
17、，记为G:H。引理5.1.1设H为群G的子群，则H与H的任一个右陪集Ha之间都存在双射。 证明: 设:HHa，其中hH，有(h)=ha。 hH，作为h在下的象ha是唯一确定的，所以是映射。 haHa，显然ha有原象h，所以是满射。 设(h1)=h1a，(h2)=h2a，若h1a=h2a，则 h1aa-1=h2aa-1，即h1=h2，所以必是单射。 综上知是双射。,二、陪集与拉格朗日定理,定理5.1.4(拉格朗日定理) 设H为群G的子群，若|G|=N，|H|=n，且G:H=j，则N=nj。 证明：因为G:H=j，即 H在群G中的右陪集只有j个， 从而有G的右陪集分解： G=Ha1Ha2Ha3Ha
18、j，其中Ha1=H。 由引理5.1.1知， |Ha1|=|Ha2|=|Ha3|= =|Haj|=n， 所以|G|=|Ha1|j，即N=nj。由等式“N=nj”知子群H的阶n是G的阶N的因子，于是,二、陪集与拉格朗日定理,推论 5.1.2 设G为有限群，则aG，其阶m必是|G|的因子，即|a|G|。证明：设以元素a生成G的一个循环子群H=(a)，则由拉格朗日定理知 |H|G|， 但|H|=m，所以 m|G|， 即|a|G|。,第三节 环,一、环的定义二、陪集与拉格朗日定理,一、环的定义,定义5.2.1 设在非空集合R中定义了两个二元运算“+”与“”，如果在集合R中 R,+构成阿贝尔群； R,构成
19、半群； 乘法“”对加法“+”满足左、右分配律，即a,b,cR，有a(b+c)=ab+ac，且(b+c)a=ba+ca。 则称R,+,为环。例5.2.1在环R,+,中，取集合R为整数集Z，“+”和“”为整数的加法和乘法运算，则容易验证R,+,构成环，称之为整数环，记为Z。同理还可以得到有理数环，实数环，复数环，由于这四个环都是由数的集合组成的，故均称之为数环。,一、环的定义,例5.2.2 设集合Zi=a+bi|a,bZ，则按照整数加法运算，集合Zi也构成了环，称为高斯整数环。例5.2.3 模m的剩余类环Zm,+, ，前边我们曾讨论了模m的剩余类加群Zm,+，这里再为Zm定义一个乘法“”：ij=i
20、j，于是可以验证Zm,+, 构成一个环。为了便于理解，这里特取m=7，接下来证明Z7,+, 构成环。,一、环的定义,例5.2.3 证明Z7,+, 构成环。 事实上： Z7,+正是模7剩余类加群； Z7, 是半群：由下边的乘法运算表可知Z7, 对乘法运算封闭，且满足结合律；,一、环的定义,例5.2.3 证明Z7,+, 构成环。a,b,cZ7，有 a(b+c)=ab+c=a(b+c)=ab+ac=ab+ac=ab+ac， 同理(b+c)a=ba+ca， 因而Z7,+, 构成环。,一、环的定义,环R,+,在集合R上定义了两个二元运算，并且这两个二元运算通过分配律建立了彼此的联系，但同时注意到集合R对
21、于乘法只要求构成半群乘法满足封闭性和结合律，所以为环在乘法方面留下了很大的发展空间，一旦某些乘法再满足其它一些条件，就可以得到一些特殊类型的环。首先引入如下定义 定义5.2.2若环R中存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a是R的一个左零因子，b是R的一个右零因子，进一步地，若环R中的元素a既是左零因子，又是右零因子，则称a为零因子。,一、环的定义,例5.2.4容易验证在环Z6,+, 中，有23=0，因而2是Z6的一个左零因子，同时3是Z6的一个右零因子，又由32=0，知2也是Z6的一个右零因子，3也是Z6的一个左零因子，而因而2和3都是Z6的零因子。但是观察环Z7,+, 的乘法运算表2，我们
22、会发现找不到这样的非零元素a与b，故环Z7,+, 中既无左零因子，也无右零因子。 注：在环R中 左零因子和右零因子这两个概念彼此依赖，有左零因子有右零因子； 若a是R的左零因子，一般a未必同时是R的右零因子； 若环R是交换环，则R的每个左(或右)零因子都是零因子。,一、环的定义,定义5.2.3若环R中没有左零因子(自然也就没有右零因子)，则称环R为无零因子环。进一步地，定义5.2.4 若环R,+,中具有乘法运算的单位元，则称环R,+,为有单位元环。 若环R,+,中的乘法运算满足交换律，则称环R为可换环。 一个不含零因子的交换环称为整环。 若环R,+,中的非零元在乘法运算下构成群，则称环R,+,
23、为除环。 可交换的除环称为域。,一、环的定义,注意： 环中的乘法单位元显然不只代表整数1，例如Z7,+, 中的单位元为1； 并不是每个环都有单位元，例如偶数环。 若环R中有单位元,则这个单位元必是唯一的。例5.2.5所有数环以及剩余类环Zm都是可换环。 整数环，模m剩余类环 (m为素数时)都是整环； 而偶数环(无单位元)，模m剩余类环 (m为合数时，有零因子)不是整环。,一、环的定义,接下来，有必要对域的概念及性质做进一步地强调。 首先，域是定义了两个二元运算加法和乘法的非空集合。 该集合对加法构成了阿贝尔群，其加法的零元记为0； 集合中的所有非零元对乘法也构成了阿贝尔群，其乘法的单位元记为e
24、，且0e。 两个二元运算乘法和加法通过分配律a(b+c)=ab+ac联系在一起。 前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)，例如有理数域Q，实数域R，复数域C。 定义5.2.5只包含有限个元素的域称为有限域，或迦罗瓦域。,一、环的定义,定理5.2.1 若p是素数，则模p的剩余类环Zp构成域。 证明：首先模p的剩余类环Zp是不含零因子的可换环，即整环。否则设a是Zp的任意一个零因子，则存在bZp，且b0，使得 ab=0，由b0，得到 pb， 而由ab=ab=0，又知 p|ab。 故p|a，即a=0，也即Zp的零因子只有0， 故Zp是整环。 其次易知Zp有单位元1。,一、环的定义,最后由域的定义只需
25、证明每个非零元素a都有逆元即可。为此， xZp，作映射f: xax，则由乘法运算的封闭性知 axZp，即f(Zp)Zp。若f(Zp)=Zp，则 必定可以找到一个xZp，使得 ax=1，即x=a-1。 下面证明f(Zp)=Zp。,一、环的定义,下面证明f(Zp)=Zp。由于f(Zp)=ax|xZp，故当x取遍Zp时， ax取遍Zp，且 若x1x2，则由中无零因子知 ax1ax2， 因而| f(Zp)|=|Zp|， 即集合f(Zp)与Zp有相同个数的元素，因而 结合f(Zp)Zp，就得到 f(Zp)=Zp。,一、环的定义,定义5.2.6（子环）若环R的一个子集S在环R的加法和乘法运算下也构成环，则
26、称S为R的子环。类似地可以给出如下子整环，子除环和子域的定义。 定义5.2.7若整环（除环或域）R的子集S在整环（除环或子域）R的加法和乘法运算下也构成整环（除环或域），则称S为整环（除环或域）R的子整环（子除环或子域）。例5.2.6容易验证整数模7的剩余类环Z7中的子集S=0, 1, 2, 4构成了Z7的子环，且该子环还是一个子域，其中1为单位元，而2与4互为逆元。,一、环的定义,定义5.2.8（理想）设I是环R的一个子环，若aI，rR，都有raI（或arI），则称I是R的一个左理想（或右理想）；若aI，rR，都有arI且raI，则称I是R的一个理想。例5.2.7任一个环R至少都有如下两个理
27、想：0零理想，R单位理想，统称为环R的平凡理想，而将其它理想(若存在)称之为环R的真理想。例5.2.8容易验证偶数环是整数环的理想。,二、多项式环,设R是任意环，则环R上的多项式可以表示为 f(x)=a0+a1x+anxn， 其中n为非负整数，系数ai为环R上的元素，x是不属于环R的一个符号，称为环R上的不定元。 约定当系数ai=0时，项aixi可以不写，在此约定下，上面的多项式也可以等价地表述为 f(x)=a0+a1x+anxn+0xn+1+0xn+h， 其中h为任意正整数。 如此对环R上的两个多项式f(x)=a0+a1x+anxn与g(x)=b0+b1x+bmxm进行比较时，就可以假设他们
28、都具有相同的幂指数，即m=n 。 环R上的两个多项式f(x)=g(x)ai=bi，0in。,二、多项式环,两个多项式f(x)与g(x)的加法与乘法运算分别定义为 f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xn， f(x)g(x)=c0+c1x+ +cn+mxn+m，容易验证环R上的多项式集在定义了如上的多项式的和与乘积运算之后构成环。称之为环R上的多项式环，记为Rx。 Rx中的零元是系数全为零的多项式，这个多项式称为零多项式，记为0。,二、多项式环,定义5.2.9设f(x)=a0+a1x+anxn为环R上的一个非零多项式，故可设an0，并称an为多项式f(x)的首系数
29、，a0为f(x)的常数项，而n称为f(x)的次数，记n=deg(f(x) =deg(f)。并约定deg(0)=-。次数0的多项式称为常数多项式。若环R有单位元1且f(x)的首系数为1，就称f(x)为首一多项式。例5.2.9 多项式环Z7x中，多项式f(x)=6x5+5x4+x2+4的次数deg(f(x)=5，首系数为6，常数项为4。由于多项式f(x)的首系数不为1，因而f(x)不是首一多项式。,二、多项式环,定理5.2.2设f(x)和g(x)Rx，则 deg(f(x)+g(x)max(deg(f(x), deg(g(x)； deg(f(x)g(x)deg(f(x)+deg(g(x) 若R是整环
30、，则deg(f(x)g(x)=deg(f(x)+deg(g(x)。例5.2.10多项式环Z6x中，多项式 f(x)=2x3+x2+4，g(x)=3x2+x+3 则deg(f(x)=3，deg(g(x)=2，而 f(x)+g(x)=2x3+4x2+x+1， f(x)g(x)=5x4+x3+3x2+4x， deg(f(x)+g(x)=3=max(deg(f(x), deg(g(x)， deg(f(x)g(x)=4deg(f(x)+deg(g(x)=5。,二、多项式环,而在多项式环Z7x中，多项式 f(x)=6x5+5x4+x2+4，g(x)=3x4+5x2+x+5 则deg(f(x)=5，deg(
31、g(x)=4，而 f(x)+g(x)=6x5+x4+6x2+2， f(x)g(x)=4x9+x8+2x7+6x6+x3+4x2+6， deg(f(x)+g(x)=5=max(deg(f(x), deg(g(x)， deg(f(x)g(x)=9=deg(f(x)+deg(g(x)。,二、多项式环,定理 5.2.3设R是一个环，则Rx是可换环当且仅当R是可换环；Rx是有单位元的环当且仅当R有单位元；Rx是整环当且仅当R是整环。并且与整数环上的素数相对应，在域F的多项式环Fx上可以定义既约多项式。定义5.2.11设f(x)是次数大于零的多项式，若除了常数和常数与多项式f(x)本身的乘积以外，f(x)
32、再不能被域F上的其它多项式除尽，则称f(x)为域F上的既约多项式或不可约多项式。,二、多项式环,注：由此定义f(x)是不可约多项式的充要条件为f(x)不能再分解为两个次数比f(x)的次数更低的多项式的乘积。f(x)是否可约与所讨论的域有很大关系，例如f(x)=3x2+1在实数域上是不可约的，但在复数域上可分解为f(x)=(x+i)(x-i)。但不论在哪一个域上，凡是一次首一多项式都是不可约多项式。,二、多项式环,定理5.2.4设f(x)和g(x)Fx，g(x)0，则存在多项式q(x)和r(x)Fx，使得 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 其中deg(r(x)deg(g(x)。定理5.2.5
33、域F的多项式环Fx中的每一个首一多项式必定可以分解为首一不可约多项式的乘积，并且当不考虑因式的顺序时，这种分解是唯一的。,第四节 整环中的因子分解,一、一些基本概念二、唯一分解整环,一、一些基本概念,定义5.3.1 设D是有单位元的整环，则a, bD， 若c=ab，则称a是c的因子，并称a可整除c，记作a|c。 若a|b且b|a，则称a与b相伴，记作ab。 若a与b之积ab为单位元，则称a与b互为逆元，此时也称a与b皆为可逆元（或称a与b为单位）。 若c=ab，且a与b都不是可逆元，则称a是c的真因子。,一、一些基本概念,例5.3.1 整数环中两个整数相伴的充要条件为 这两个整数相等或只差一个
34、负号； 在多项式环中两个多项式相伴的充要条件为 这两个多项式相差一个常数多项式； 高斯整数环Zi中的可逆元为1，i，故两个高斯整数相伴的充要条件为 这两个高斯整数相差1或i，例如-3+i1+3i。,一、一些基本概念,由定义5.3.1可得以下基本事实，其中集合U(D)表示整环D中的所有可逆元构成的集合： 由于aD，均有0=a0，a=a1，因而任意元素都是0的因子，而单位元l是任意元素的因子。 由于若uU(D)，则aD，均有a=u(u-1a)，因而可逆元是任意元素的因子。 由于a, b, cD，若a|b且b|c，则a|c，因而整除关系满足传逆性。,一、一些基本概念,两元素相伴，则它们差一可逆元因子
35、：设ab，则a|b且b|a，即存在元素u和v使得b=ua，a=vb，因而b=uvb，由于D中有单位元且无零因子，因而由b(1-uv)=0，即得 uv=1，所以u和v都是可逆元。 相伴关系是等价关系。 可逆元无真因子，且所有可逆元都与单位元l相伴：若uU(D)，u=ab，则 u-1ab=a(u-1b)=(u-1a)b=1，即a与b都是可逆元，因而可逆元无真因子；又 uU(D)，有u-1u=1，而u-1为可逆元，故由4）知u与1相伴。,一、一些基本概念,定义5.3.2设D是有单位元的整环，且D*为D中的所有非零元构成的集合，则a, bD，pD*U(D)，若由等式p=ab，可知aU(D)，或bU(D
36、)，则称p是不可约元或既约元；若由p|ab，可知p|a或p|b，则称p是素元。 例5.3.2在多项式环中的既约元与素元均指 不可约多项式； 在整数环中，既约元与素元均是指 全体素数； 但在高斯整数环中，素数就不一定是既约元了，例如，2是素数，且2=(1+i)(1-i)，而高斯整数环中的可逆元只有1与i，故1+i与1-i均不是可逆元，故2在Zi中不是既约元，显然也不是素元。,一、一些基本概念,定理5.3.1设D是有单位元的整环，则D中的素元必是既约元。 证明：设p是素元且p=ab，则由p=ab可得 p|ab，而由p是素元可得 p|a或p|b。 若p|a，则由p=ab可得 a|p，即pa，因而bU
37、(D)。 若p|b，则由p=ab可得 a|p，即pb，因而aU(D). 即a与b中总有一个可逆元，所以p是既约元。,一、一些基本概念,定义5.3.3设D是有单位元的整环，a, bD，若存在dD使得以下两个条件成立，则称d是a和b的最大公因子。 d|a，d|b； dD，若d|a且d|b，则d|d。引理5.3.1：a与b的任意两个最大公因子是相伴的。 证明：若d是a与b的最大公因子，则uU(D)， ud也是a与b的最大公因子，即a与b的任意两个最大公因子是相伴的。因而以下当a与b的最大公因子存在时，以(a,b)表示a与b的任意一个最大公因子。,一、一些基本概念,引理5.3.2：(a,(b,c)(a
38、,b),c)。 证明：设dl=(a,(b,c)，d2=(a,b),c)，则 dl|a且dl|(b,c)， 进而 dl|a，dl|b， 则 dl|(a,b)， 又dl|c，因而 d1|(a,b),c)=d2， 类似d2|d1，所以d2d1，即(a,(b,c)(a,b),c)。,一、一些基本概念,引理5.3.3：c(a,b)(ac,bc)。 证明：令d=(a,b)，d1=c(a,b)=cd，d2=(ca, cb)，则d1=cd|ca和d1=cb，得 d1|d2。 令d2=ud1，ca=xd2，则 ca=xud1=xucd，得 a=xud， 类似地，若令cb=yd2，可得 b=yud，因而ud|(a
39、,b)=d，得u1。 所以d1d2，即c(a,b)(ac,bc)。,一、一些基本概念,引理5.3.4：若(a,b)1，(a,c)1，则(a,bc)1。 证明：由于(a,bc)=(a,ac),bc)，又由引理5.3.2知 (a,ac),bc)(a,(ac,bc)，即存在vU(D)，使得 (a,ac),bc)=v(a,(ac,bc)。 由引理5.3.3知(ac,bc)c(a,b)，即存在mU(D)，使得 (ac,bc)=mc(a,b)。 而由(a,b)1，知存在uU(D)，使得 (a,b)=u，因而(ac,bc)=mcu。 进而 (a,bc)=v(a,(ac,bc)=v(a,mcu)=v(a,mu
40、c)。 又(a,c)1，故存在wU(D)，使得(a,c)=w。下证(a,c)(a,muc)。,一、一些基本概念,首先由(a,c)=w知 w|a，w|c，因而 w|a，w|muc，即w是a与muc的公因子，因而 w|(a,muc)； 又令(a,muc)=s，则 s|a，s|muc，由于mu为可逆元，因而 s|c，故s|(a,c)，即(a,c)(a,muc)。 故存在xU(D)，使得x(a,c)=(a,muc)，因而 (a,bc)=v(a,muc)=vx(a,c)=xvw， 由于x，v与w，都是可逆元，因而它们的乘积仍然是可逆元，故(a,bc)1。,一、一些基本概念,定理5.3.2设D是有单位元的
41、整环，若a, bD，(a,b)存在，则D中的每个既约元也是素元。 证明：设p是D中的既约元，并设p|ab，若p不是素元，则pa且pb。 若pa，令(a,p)=d，则 d|a且d|p，即在D中存在元素c与e，使得 a=dc且p=de，由p是D中的既约元，得到 dU(D)或eU(D)。 若eU(D)，则d=pe-1，因而 a=pe-1c，即p|a，矛盾，故dU(D)，即(a,p)1。 同理若pb，则(p,b)1。由引理5.3.4知(p,ab)1。 另一方面，由p|ab，可知(p,ab)p，结合(p,ab)1，知p1，这与p不是可逆元矛盾。此矛盾表明p|a或p|b。,二、唯一分解整环,定义5.3.4
42、设D是有单位元的整环，若aD*U(D) a可分解为有限个既约元之积，即a=p1p2ps，其中pi，i=1, 2, , s，为既约元。 若a=p1p2ps=q1q2qt，其中pi，1is，qj，1jt，均为既约元，则s=t，且适当调换次序后可以使得pi qi（1is）， 则称D是唯一分解整环。由定理5.3.2知唯一分解整环有以下重要性质：定理5.3.3设D是唯一分解整环，则D中任何两个不全为0的元素均有最大公因子，因而D中每一个既约元也是素元。,二、唯一分解整环,定理5.3.4 设D是有单位元的整环，则以下三个命题等价： D是唯一分解整环。 D满足下列两条件： D中的任意真因子序列a1, a2,
43、 , ai, (其中ai+1是ai的真因子)只能含有有限项。 D中任何两元素均有最大公因子。 D满足下列两条件： D中的任意真因子序列a1, a2, , ai, (其中ai+1是ai的真因子)只能含有有限项。 D中每一既约元都是素元。,二、唯一分解整环,证明：1)2)：由于D是唯一分解整环，a1只能分解为有限个既约元之积，因而a1的真因子序列只有有限项，条件a)满足，由定理5.3.3知条件b)也满足。 2)3)：由定理5.3.3可得。 3)1)：设a是D*U中任一元素，首先证明a可分解为有限个既约元之积。若a是既约元，则得证；否则a可分解为a=p1a1，其中p1为既约元。再对a1作同样的分解，
44、则或a1是既约元（结论得证），或a1=p2a2，其中p2为既约元（继续分解）。如此，可得真因子序列a,a1,。由条件a)该序列必终止于有限项，设as=ps+1是既约元，则a=p1p2psps+1。,二、唯一分解整环,再证分解式的唯一性：设a=p1p2ps=q1q2qt。对分解式中因子的个数s作数学归纳。 s=1时a=p1为既约元，不可能再分解为两个以上的既约元的乘积，故t=1，a=p1=q1。 假设结论对s-1成立。 当a=p1p2ps=q1q2qt时，p1|q1q2qt，由于p1是素元，故必有某个qk使p1|qk，由于qi的次序可任意排列，不妨设p1|q1，于是q1=up1，又q1也是既约元
45、，故uU(D)，即p1q1，将q1=up1代入a的分解式，并消去p1得到a=p2p3ps=(uq2) q3qt，由归纳假设，得s=t，并适当排列次序后可得pi qi（2is）。因此结论对任何正整数s均成立。,二、唯一分解整环,例5.3.3 由高等代数知识知整数环Z和数域F上的多项式环均满足唯一分解整环的定义，因而都是唯一分解整环，且每一既约元都是素元。而环Z( )，即由所有形如x+y ，x, yZ，的元素构成的集合中，并不是任意两个元素都有最大公因子，因而不是唯一分解整环。例如取a=(2+ )(2- )，b=3(2+ )，则容易验证(a,b)就不存在。,二、唯一分解整环,引理5.3.5在唯一分
46、解整环内，n次代数方程最多有n个根。 利用这一性质可以证明以下定理。 定理5.3.6 域的乘群的任何有限子群是循环群。 证明：设G是域F的有限子乘群，令m是G中所有元素的阶的最小公倍数，由拉格朗日定理 G中任意元素的阶均为群G的阶的因子，因而若设c为G中阶为m的元素，则 m|G|。另一方面，G中的元素均满足方程xm-l=0，而多项式f(x)=xm-lFx在F上最多有m个不同的根，故|G|m，由此得|G|=m，所以G=(c)。,二、唯一分解整环,2.1、主理想整环2.2、 欧几里德整环,2.1、主理想整环,定义5.3.5在可换环R中，由一个元素aR所生成的理想I(a)=ra+na|rR, nZ称
47、为环R的一个主理想，称元素a为该主理想的生成元。如果在一个有单位元的整环中每一个理想都是主理想，则此环称为主理想整环。例5.3.4 环(Z,+,)是否为主理想整环? 解：设I是Z的任一理想，由于I首先是Z的子加群，而Z中的子加群都是循环群，所以存在nZ，使得I=(n)。即I是主理想，所以Z是主理想整环。,2.1、主理想整环,例5.3.5 设F是数域，Fx是否为主理想整环? 解：设H是Fx的任一理想，令 I=deg(f(x)| f(x)H， 因为deg(f(x)0，I是非负整数集的一个子集，由自然数集的良序性，I有最小元。设m是I的最小元，即 存在多项式f(x)H，使得deg(f(x)=m。 由带余数除法对任何g(x)H有 g(x)=p(x)f(x)+r(x)，其中r(x)=0或deg(r(x)m， 但因r(x)=g(x)-p(x)f(x)H，如若r(x)0，将与m的最小性矛盾。故g(x)=p(x)f(x)，所以H=(f(x)，即Fx是主理想整环。,
