1、1,量子力学,光电子科学与工程学院 王可嘉 第五讲 一维势场中能量本征态的一般性质有限深对称方势阱中的束缚态,2,第5讲目录,一、再论正交、归一、完备态 二、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 三、有限深对称方势阱中的束缚态,3,一、再论正交、归一、完备态（1）,态叠加原理：任意量子态可按任意一组正交、归一、完备态矢量来分解，即：,4,一、再论正交、归一、完备态（2）,以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例：,由,由傅里叶级数可知：在 内，任意奇函数可展开为：,完备,5,一、再论正交、归一、完备态（3）,数学上： 为完备性。,物理上： 是无限深方势阱中的波函数，为态叠加原理的体现。,由能量本征
2、方程确定，构成了体系的基矢量。,如何确定 ？,6,一、再论正交、归一、完备态（4）,证明：由,其中：,7,一、再论正交、归一、完备态（5）,处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立波函数： 构成一组正交、归一、完备的基矢。这是由 的正交、归一性得到的。,可以证明： 具有完备性，即可将任意函数用 展开：,即：,根据态叠加原理： 就是粒子在谐振势 下的态。,8,一、再论正交、归一、完备态（6）,结论：由能量本征方程解出的 ，通常被称为态矢量，也称基矢，它们是正交、归一、完备的。无论在无限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态 都可以用这一组正交、归一、完备的基矢展开：,其中展开系数：,粒子处于某
3、一态矢 的概率为：,同时要注意：也是粒子具有态矢 对应的能量 的概率。,9,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1),1、定态：,薛定谔方程：,若 不显含 ，则有,若已知 时体系处于某一个能量本征态 ，则在 后，体系状态为 通常称这样的态为定态。由定态描述的粒子状态，测量其能量时，得到确定值 。,2、简并：,如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。,10,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2),例一、一维无限深方势阱中粒子的能量本征值和本征态为：,一个能量本征值 对应一个本征态 ：非简并,例二、一维谐振子的能量本征值和本征
4、态为：,一个能量本征值 对应一个本征态 ：非简并,11,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(3),3、宇称：函数在空间反演下表现出的特性。,定义空间反演算符 ：,若： 则称 具有确定的,例：,偶宇称,奇宇称,注意：一般的函数没有确定的宇称！,12,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(4),4、定态薛定谔方程,设质量为 的粒子沿 轴运动，势能为,一般情况下： 若 ，则 时，粒子处于定态 ： 则有：,粒子波函数所满足的方程为：,称其为定态薛定谔方程，也就是能量本征方程。,13,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5),七个定理：,定理1：设 是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为
5、 ， 则 也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为 。,【证】对能量本征方程取复共轭，并注意到 ，有：,所以 也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为 。,14,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(6),推论: 对应于能量的某个本征值 ，若对应的能量本征方程的解 不简并，则这个解可取为实函数。,【证】： 是能量本征方程对应 的一个解，根据定理1， 也是对应 的一个解，若能级不简并，则 和 对应的是同一个量子态：,所以 为实函数。,15,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(7),定理2：设 是能量本征方程的一个解，对应于能量的某个本征值 ，总可以找到能量本征方程的一组实解，凡
6、是属于的 任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。,【证】设 是能量本征方程属于 的解，,如果 实数域， 不谈。,如果 复数域，由定理1， 也是能量本征方程属于 的解。,16,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8),根据线性微分方程的叠加原理，这两个函数也是方程属于 的解，即：,得证。,令：,均为实数函数，从中可得到：,17,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(9),定理3：设 具有确定的偶宇称，即 如果 是能量本征方程对应于能量本征值 的解，则 也是方程对应于 的解。,【证】 是方程 的解，令 注意到 ，,有：,也是方程对应于 的解。,18,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(
7、10),推论 :设 是能量本征方程对应于能量本征值 的解，如果 ，若 无简并，则 具有确定的宇称。,【证】由定理3，若 ，则 和 都是方程 属于 的解，,无简并，则 和 必然对应同一量子态，,即： 另一方面，,但,具有确定的宇称。,19,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(11),定理4：设 ，则对应于任何一个能量本征值 。总可以找到能量本征方程的一组解，其中的每个解都有确定的宇称，而属于 的任何解，都可用它们来展开。,【证】设 是能量本征方程属于 的解， 由定理3， 也是方程属于 的一个解。,令：,则 和 也是方程属于 的解，且,具有确定的宇称。属于 的解 和,可以用 和 来展开：,20
8、,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(12),定理5：,21,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(13),推论 :,22,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(14),定理6：,23,二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(15),定理7：设粒子在无奇点势场 中运动，若存在束缚态，则必定不简并。,24,三、有限深对称方势阱中的束缚态(1),设：,粒子能量；条件,阱外区域 ， 能量本征方程写为：,解为：,为满足束缚态的要求，需有：,25,三、有限深对称方势阱中的束缚态(2),阱内区域 ，能量本征方程写为：,其解具有 或 的形式,且束缚态的能级不简并，由定理3的的推论可知， 必有确定的宇称。,（1）偶宇称：,在：,由定理5的推论：,26,三、有限深对称方势阱中的束缚态(3),27,三、有限深对称方势阱中的束缚态(4),origin 7.0,28,下一讲算符的运算规则厄密算符,
