1、符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模【一些结论】：以下皆是向量1 若P是ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P是ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=（AB/|AB|+AC/|AC|), 0,+) 则直线AP经过ABC内心6 AP=（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC), 0,+) 经过垂心7 AP=（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC), 0,+ ）或 AP=(AB+AC
2、), 0,+) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为A的旁心, A 及B, C 的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=
3、0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，O是内心b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BOa*向量OA=b*向量BO+c*向量COa
4、*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知ABC 为斜三角形,且O是ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C),求证P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C),OP-OA=入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C),AP=入(AB /|AB|2*sin2B)+AC /(|AC|2*sin2C),AP*BC=入(AB*BC /|AB|2*sin2B)+AC*BC /(|AC|2*sin2C),AP*BC=入|AB|*|B
5、C|cos(180 -B) /(|AB|2*sin2B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|2*sin2C),AP*BC=入-|AB|*|BC| cos B/(|AB|2*2sinB cos B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|2*2sinC cosC),AP*BC=入-|BC|/ (|AB|*2sinB) +|BC|/(|AC|*2sinC ),根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC -|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0 ，即AP*BC=0，P点轨迹过三角形的垂心
6、 3. OP=OA+(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) OP-OA=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线 根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB, 所以|AB|sinB=|AC|sinC, 所以AP与AB+AC共线 AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D， 点P过三角形重心。 4. OP=OA+(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) OP=OA+(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
7、AP=(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) AP*BC=(AB*BC cosC/|AB|+AC*BC cosB/|AC|) =(|AB|*|BC|cos(180 -B)cosC/|AB|+|AC|*|BC| cosCcosB/|AC| =-|BC|cosBcosC+|BC| cosCcosB =0，所以向量AP与向量BC垂直， P点的轨迹过垂心。 5. OP=OA+(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =(AB/|AB|+AC/|AC|) AP=(AB/|AB|+AC/|AC|) AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量， 向量AB与AC的单位向量的和向量， 因为是单位向量，模长都相 ， 形， 向量AB与AC的单位向量的和向量为 形 角线， 知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。
