1、1圆锥曲线设而不求法典型试题在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在做圆锥曲线题时注意多加训练与积累.1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑：（1） 斜率是否存在（2） 直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于 0这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，
2、但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数2互带，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。例 1： 已知双曲线 x2-y2/2=1，过点 M(1,1)作直线 L，使 L 与已知双曲线交于 Q1、 Q2 两点，且点 M 是线段 Q1Q2 的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出 L 的方程；若不存在，说明理由。解： 假设存在满足题意的直线 L，设 Q1(X1,Y1)，Q 2(X2,Y2)代人已知双
3、曲线的方程，得 x12- y12/2=1 ， x 22-y22/2=1 -，得(x 2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。当 x1=x2 时，直线 L 的方程为 x=1，此时 L 与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；当 x1x2 时，有( y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.故直线 L 的方程为 y-1=2(x-1)检验：由 y-1=2(x-1)，x 2-y2/2=1，得 2x2-4x+3=0,其判别式=-8 0，此时 L 与双曲线无交点。综上，不存在满足题意的直线31、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. 1F22154xy+=（
4、）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值；21PF（）是否存在过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.2、已知平面上一定点 C（4，0）和一定直线 为该平面上一动点，作Pxl,1:，垂足为 Q，且 .lP0)2)(QP（1）问点 P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线 与（1）中的曲线交于不同的两点 A、B，是否存在:kxyl实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过点 D（0，2）？若存在，求出 k 的值，若不存在，说明理由.43、已知椭圆 C1的方程为 ，双曲线 C2的
5、左、右焦点分别为 C1的左、142yx右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点.（）求双曲线 C2的方程；（）若直线 与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点，:kxyl且 l 与 C2的两个交点 A 和 B 满足 （其中 O 为原点），求 k6O的取值范围.4、已知圆 上的动点，点 Q 在 NPMPNyxM为 圆点定 点 ),05(,36)5(:2上，点 G 在 MP 上，且满足 .GQP（I）求点 G 的轨迹 C 的方程；（II）过点（2，0）作直线 ，与曲线 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，设l是否存在这样的直线 ，使四边形 OASB 的对角线相等,OBASl（
6、即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由.5练习 5,已知，椭圆 C 以过点 A（1， 32） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 6练习 6,已知直线 20xy经过椭圆2:1(0)xyCab的左顶点A 和上顶点 D，椭圆 C的右顶点为 B，点 S和椭圆 上位于 x轴上方的动点，直线， ,SB与直线 1:3l分别交于 ,MN两点（I）求椭圆 的方程；（）求线段 MN 的长度的最小值；7练习 7已知
7、点 , 是抛物线 上的两1()Axy2()B120)x2(0)ypx个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为OOAOBC21212()()0xyxy(I) 证明线段 是圆 的直径 ;ABC(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 时，求 p 的值258答案：练习 11、解：（）易知 )0,1(,(,12,52Fcba设 P（ x，y），则 )(1 yxyxPF354222x，,x，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有最小值 3；0当 21PF当 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值 4 5x（）假设存在满足条件的直线 l 易知点 A（5，0）在椭圆的外部，当
8、直线l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k直线 l 的方程为 )5(xky由方程组22221(4)501054()xxkyk， 得依题意 2016805， 得当 时，设交点 C ， CD 的中点为 R ，5k ),(),(21yxD、 ),(0yx则 452,402121 kxx.0)5()(0 kky又|F 2C|=|F2D| 122RFkl0451)0(222 kkkRF20k 2=20k24，而 20k2=20k24 不成立， 所以不存在直线 ，使得l9|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线 l，使得|F 2C|=|F2D| 2、解：（1）设 P
9、 的坐标为 ，由 得),(yx 0)()(PQCP（2 分） （ （4 分）0|4|2QC ,1422xy化简得 P 点在双曲线上，其方程为 （6 分）.1yx .y（2）设 A、B 点的坐标分别为 、 ，),(1yx),(2由 得 （7 分）124yxk ,03)3(2k，（8 分）2211,kxkAB 与双曲线交于两点，0，即 ,0)13(422k解得 （9 分）.23若以 AB 为直径的圆过 D（0，2），则 ADBD， ，1BDAk即 ，（10 分）121xy 121212()0(3)0,kxx )12.(093)(9)(3 2212 分 kkxkk解得 ，故满足题意的 k 值存在，且
10、 k 值为)2,4,87.43 解：（）设双曲线 C2的方程为 ，则12byax.,142 cbaa得再 由故 C2的方程为 .132yx（II）将 .0428)41(422 kxkk得代 入10由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 ,0)14(6)(6)28( 221 kk即 .4.0926)31(3222 kxkyxkxy得代 入将由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A，B 得.13.0)1(6)(6)(,0122 22 kkk且即 )2)(,66 319,31),(),( 22 BABAB BABABAkxxyxyOkx而得由 则设.1373169)(12 222kkk
11、A解此不等式得.05,622k即于 是.315或由、得 .1422kk或故 k 的取值范围为 )1,53(),21(),3()5,( 4、解：（1） Q 为 PN 的中点且 GQPN02PNGGQ 为 PN 的中垂线 |PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长11，半焦距 ，短半轴长 b=2，点 G 的轨迹方程是 3a5c 1492yx5 分（2）因为 ，所以四边形 OASB 为平行四边形OBAS若存在 l 使得| |=| |，则四边形 OASB 为矩形 0OBA若 l 的斜率不存在，直线 l 的方程为 x=2，由 3521492y
12、x得矛盾，故 l 的斜率存在. 7 分0,0916OBAOBA与设 l 的方程为 ),(),()2(21yxxky0)1(36)49(149)(22 kx由49)1(36,3622121kxk)()(121xy 9 分49202121 kk把、代入 321yx得存在直线 使得四边形 OASB 的对角线相等.06063: yxl或练习 3（）解 由题意， c1,可设椭圆方程为2114xyb。 因为 A 在椭圆上，所以 2194b，解得 23， 2 3（舍去） 。所以椭圆方程为 243xy （）证明 设直线 方程：得 3(1)2kx，代入2143xy得 122 233+4(2)4()10kxkx（
13、 ）设 （ E， y） ， （ F， y） 因为点 （1， 32）在椭圆上，所以2()134Ekx， y。 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k代 ，可得234()1Fkx， y。所以直线 EF 的斜率 ()21FEFEEykxkkx。即直线 EF 的斜率为定值，其值为 12。 解 4 方法一 （I ）由已知得，椭圆 C的左顶点为 (2,0)A上顶点为(0,1)2,1Dab故椭圆 C的方程为24xy（）直线 AS 的斜率 k显然存在，且 0k，故可设直线 AS的方程为(2)ykx，从而 106,3M13由 2()14ykx得 222(4)164kxk0设 1(,)Sx
14、y则21(,4k得2184k，从而 124ky 即228(,),4k又 (,0)B由1()03yxk得13yk1(,)Nk故 6|3M又 11680,|23kkkN 当且仅当 63，即 4时等号成立 14k时，线段 M的长度取最小值 835.解析：(I )证明 1: 22,()()OABOABO22 2OAB 整理得: 01212xy设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 0MAB即 1212()()0xy14整理得: 21212()()0xyxy故线段 是圆 的直径ABC证明 2: 22,()()OABOAOB22整理得: 0AB(1)1212xy设(x,y)是以线段 A
15、B 为直径的圆上则即 2112(,)xx去分母得: 1212()(0y点 满足上方程,展开并将(1)代入得:12,),()xyx212(y故线段 是圆 的直径ABC证明 3: 22,()()OABOAOB22 整理得: 0AB(1)1212xy以线段 AB 为直径的圆的方程为22221111()()()()4yxy展开并将(1)代入得 :21212()()0xyx故线段 是圆 的直径ABC(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy2211,(0)pxp15214yxp又因 12120xy2114p12120,xyy2212 1211()()444x yyyppp2()y所以
16、圆心的轨迹方程为 22ypx设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则2221|()| |555xyyppd2|()|p当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得5p25p.2p解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy2211,(0)pxp16214yxp又因 12120xy2114p12120,xyy2212 1211()()444x yyyppp2()y所以圆心的轨迹方程为 22ypx设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 ,则52m因为 x-2y+2=0 与 无公共点,22ypx所以当 x-2y-2=0 与 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为 25220()3xyp将(2)代入(3)得 20py224()0.p解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则1712xy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1212|()|5xyd2211,(0)ypxp2124又因 12120xy2114yp12120,xy21122 21121|()()| 4()8|455yyypyppd21()4yp当 时,d 有最小值 ,由题设得125p25p.p
