1、第七章 平面向量,7.3 向量的内积,创设情境 兴趣导入,如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，,那么，这个人做了多少功？,做功等于力与在力的方向上移动,的距离的乘积力F是水平方向的力,与垂直方向的力的和，垂直方向上,没有产生位移，没有做功，水平方向,上产生的位移为s，即,动脑思考 探索新知,这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由,两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与,向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积,如图，设有两个非零向量a， b，作,由射线OA与OB所形成的的角叫做向量,a与向量b的夹角，记作,两个向量a，b的模与它们的夹角
2、的余弦之积叫做向量a与向量b,的内积，记作ab， 即,ab|a|b|cos (7.10),由内积的定义可知,a00, 0a0.,动脑思考 探索新知,动脑思考 探索新知,由内积的定义可以得到下面几个重要结果：,当ab时，有0，所以aa|a|a|a|2，即|a|,cos,当0时，ab|a|b|；当= 时，ab|a|b|,动脑思考 探索新知,可以验证，向量的内积满足下面的运算律：,abba.,(ab)cacbc.,巩固知识 典型例题,例1 已知|a|3,|b|2, 60，求ab,解 ab|a|b| cos 32cos 603,巩固知识 典型例题,解 cos,由于 0180，,所以 ,运用知识 强化练
3、习,1. 已知|a|7,|b|4，a和b的夹角为60，求ab,2. 已知aa9,求|a|.,3. 已知|a|2,|b|3, 30，求(2ab)b ,动脑思考 探索新知,设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于ij，故ij 0,又| i |j|1,所以,ab(x1 iy1j) (x2 iy2j), x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j, x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2, x1 x2 y1 y2.,这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，,即,ab x1 x2 y1 y2 (7.11),(7.12),动脑思考 探索新知,利用
4、公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.,由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，,巩固知识 典型例题,解 (1) ab21(3)37；,(2) ab21(1)20；,(3) ab2(2)2(3)14,巩固知识 典型例题,例4 已知a(1,2)，b(3,1)求ab, |a|,|b|, ,解 ab(1)(3)215.,|a|,|b|,cos,巩固知识 典型例题,例5 判断下列各组向量是否互相垂直：,(1) a(2, 3), b(6, 4)；,(2) a(0, 1), b(1, 2),解 (1) 因为ab(2)6340，所以a b,(2) 因为ab01(1)(2)2，,所以a与b不垂直,运用知识 强化练习,1.已知a(5,4)，b(2,3)，求ab,2.已知a(2, 3)，b(3, 4)，c( 1,3),求a(bc),自我反思 目标检测,自我反思 目标检测,作 业,继续探索 活动探究,
