1、质数的规律 什么是质数？就是在所有比 1 大的整数中，除了 1 和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？ 质数的分布是没有规律的，往往让人莫明其妙。如：101、401、601、701 都是质数，但上下面的 301 和 901 却是合数。 有人做过这样的验算：12+1+41=43,22+2+41=47,32+3+41=53于是就可以有这样一个公式：设一正数为 n，则 n2+n+41 的值一定是一个质数。这个式子一直到 n=39 时，都是成立的。但 n=40
2、 时，其式子就不成立了，因为402+40+41=1681=41*41。 被称为“17 世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设 Fn=2(2n)，则当 n 分别等于 0、1 、2、3、4 时，Fn 分别给出3、5、17、257 、65537，都是质数，由于 F5 太大（F5=14292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn 都是质数。但是，就是在F5 上出了问题！费尔马死后 67 年，25 岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=14292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。 更加有趣的是，以后的 Fn 值，数学家再也没有找到哪个 F
3、n 值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn 的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达 1010584 位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！ 17 世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2p-1 代数式，当 p是质数时，2p-1 是质数。他验算出了：当 p=2、3、5、7 、17、19 时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明 p=31 时，2p-1 是质数。 还剩下 p=67、127、257 三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世 250 年后，美国数学家科勒证明，267-1
4、=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20 世纪，人们先后证明：第 10 个梅森数是质数，第 11 个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有 378632 位的数：21257787-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。 头五千万个质数 - 【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法 质数怎样分布？古今中外，不论是专业的数学家或业余的嗜好者，都曾被这问题所深深吸引。 质数是个比 1 大的自然数，除了自身和 1 以外，没有其他自然数可以除尽他。质数的分布有两个互相矛盾
5、的特点。下面我会列举一些事实，使你永远相信这两个特点。 第一点，尽管质数的定义极为简单，又是自然数的建构砖石（任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积，且表法唯一），它却是数学家研究的对象中最不驯的一种；质数在自然数中，像杂草似地乱长，似乎除了机会律以外，不遵守其他的规律，没人敢说下一个会从那里冒出来。 第二点更令人惊讶，因?T 篕 P 第一点相反，质数表现出惊人的规律性。也就是说，确有规律限制质数的行为，他们像军人一样绝对服从这些规律。 为了支持第一点，我把 100 以下的质数和合数写出来（除了 2 以外，不列偶数）： 【浏览原件】 再把 1 千万加减一百以内的质数列出：在 9,999,900
6、 与 10,000,000 之间的质数 9,999,901 9,999,907 9,999,929 9,999,931 9,999,937 9,999,943 9,999,971 9,999,973 9,999,991 在 10,000,000 与 10,000,100 之间的质数 10,000,019 10,000,079 你看！没有什麼理由可以说这个数是质数，那个数不是质数。当你看到这些数字时，是否联想到宇宙的奥秘，像天边那闪烁的星星一样神秘不可测？甚至数学家都无法揭开此一奥秘，如果他们能够，他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了。（没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数，或
7、2的幂次数通常一个好学生只记到 210=1024）。 1876 年，Lucas 证明 2127-1 为质数，这纪录维持了 75 年。这也难怪，因为 2127-1 =1701411834604469231731687303715884105727 直到 1951 年，电子计算机的新纪元，更大的质数陆续发现（见下表历次记录）。目前的记录是 6002 位的 219937-1，不信的话，你可以去查 Guiness 世界记录。（编者注：根据合众国际社 1978 年 11 月 15 日报导，这记录已被两个 18岁的加州大学学生打破。） 【浏览原件】 质数的规律 更有趣的，还是关於质数的规律。前面已提到过
8、100 以下的质数，现在用图表示，其中 (x)表示所有不大於 x 的质数的个数。 【浏览原件】 就这麼简单的一个图，我们已经可以看出，除了一些小的扰动以外，(x)大致上增加得很有规律。 若把 x 值从一百增到五万，则此规律性变得更为明显。见下图： 【浏览原件】 当某种规律自然出现时，科学家就得设法去解释它，质数分布的规律性也不例外。关於质数分布，我们不难找到一个良好的经验规律。请看下表：（这表看来平凡无奇，却代表上千小时的艰苦计算。） 【浏览原件】 注意：x 每增 10 倍，x 与 (x)的比就增加约 2.3。机警的数学家立刻联想到 10取自然对数的近似值是 2.3。所以 x/(x)logx，
9、亦即 (x)x/logx （用 log x表示 x 的自然对数，表示当 x 接近无穷大时，(x)与 x/logx 的比趋近於 1；如果用，则表示接近的程度更好。） 质数定理 这个关系叫做质数定理，是高斯 1791 年发现的，但直到 1896 年才得到证明。高斯（17771855 年，关於高斯与质数定理，请参阅凡异出版社，伟大数学家的一生高斯）14 岁那年收到一本对数的书；次年，研究书上所附的质数表，发现了这个定理。终其一生，高斯一直很注意质数分布，并且花了很多功夫去计算。高斯写信给他学生安克（Encke）说他时常花费零星的片刻计算1000 个连续整数（如 18001 到 19000）中有多少质
10、数 ，最后他竟能列出三百万以下的所有质数，并且拿来和他的推测公式比较。 质数定理说 (x)是渐近地，即相对误差趋近於 0，等於 x/logx。但是如果拿x/logx 与 (x)的图形加以比较，则可看出，虽然 x/logx 反映了 (x)行为的本质，却还不足以说明 (x)的平滑性。 【浏览原件】 所以，我们希望找到更佳的近似函数。如果我们再仔细看看前面那个表，会发现 x/(x)差不多恰为 logx-1。经过更小心地计算，并和 (x)的更精密数据相较，乐强何（Legendre）在 1808 年找到特佳的近似。即 (x)x/(log-1.08366) 另有一种 (x)的近似函数也不错，是高斯与质数定
11、理同时提出的。从经验得知，当 x 很大时，在 x 附近出现质数的或然率差不多恰为 1/logx。因此，(x)差不多应为 对数和：Ls(x)=1/log2+1/log3+1/logx 或实值上相同的 对数积分：【浏览原件】 现在再比较 Li(x)与 (x)的图形，把座标轴的尺度取到这麼大时，两者完全重合。没有必要再把乐强何的近似图形列出来给大家看，因为在 0 到 5 万之间，他的近似比 Li(x)更加接近 (x)。 【浏览原件】 质数的幂次 再提一个 (x)的近似函数。从黎曼（Riemann ）研究质数的结果显示，如果我们在计算质数以外，还计算质数的幂次（质数的平方算半个质数，质数的立方算 1/
12、3 个质数，依此类推），则一个很大的数 x 为质数的或然率将更接近1/logx。从此导出 【浏览原件】 第二式右边的函数定名为 R(x)以纪念黎曼。从下表可以看出它与 (x)有惊人的吻合。 R(x)可以表为 【浏览原件】 在这里要强调一点，高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的，不是由逻辑证明得到的。甚至黎曼函数也是如此，虽然他的 R(x)有理论的解释，他从未证明出质数定理。Hadamard 以及 de la ValleePoussin 根据黎曼的工作，继续研究，终於在 1896 年首度完成证明。 孪生质数 关於质数的规律性，我们再来看一些数值的例子。前面说过，在 x 附近的一个数其为质数的或
13、然率为 1/logx。换句话说，假使取一以 x 为中心，长度为 a 的区间，这区间长得足以使统计成为有意义，而与 x 相较，又足够小时，其中质数的个数，应该约为 a/logx。例如，在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间，预计有8142 个质数，因为 150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427 8142 根据同样的想法，在 x 附近的任意两数同时为质数的或然率应约为 1/(logx)2。所以如果有人问在 x 到 xa 之间有多少孪生质数（连续两个奇数都是质数，如11,13 或 59,61），则我们可以预计有 a/(logx)2 个。事实上，我们可以预计多些，因为 n 已
14、是质数，使 n2 为质数的可能性稍稍加大。（例如 n2 必为奇数）。用一个容易的直观的论点，可以得到在x,x a 中，孪生质数的对数为 Ca/(logx)2 ，此处 C1.3203236316。 所以在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间应有(1.32) 150,000/(18.427)2584 对孪生质数。下表列出一些同长区间中质数及孪生质数的预测值及真值。由下表可以看出，理论和实际有极佳的吻合。对於孪生质数而言，这种吻合更令人惊讶。因为孪生质数是否为无穷，这问题直到现在尚无定论，遑论他的分布定律了。 【 浏览原件】 质数的距离 关於质数分布的规律性，最后一个例子就是相邻两质数的距离。若有人去查质数表，
15、会注意到有时距离相当大。例如 113 和 127 之间无其他质数。令g（x）表 x 以下，所有相邻质数的最大距离。则 g（200）127-11314 。当然，g（x）增加得极不规则。但是用一个直觉的论点可以得到下列渐近公式，g(x)(logx)2。从下图可以看出，像 g（x）这样极不规则的函数，其行为和预测能符合的程度。 【 浏览原件】 到现在为止，质数的规律性说得较多，不规律性说得很少。而本文标题头五千万个质数，我也只提到前几千个而已。所以现在先列一表，比较 (x)，乐强何，高斯，黎曼四函数在 x 小於一千万范围内的差异。因为这四种函数在图上分辨不出差异，如前面所列 (x)与 Li 的比较图
16、，所以现在这图只表示这三种函数与 (x)的差。我想从这图足以看出，一个有志研究数论的人可能遇到的麻烦有多大。当 x 很小时（小於一百万），x/logx-1.08366 比 Li（x）近似 (x)，但是五百万以后，Li（x）变得较近似，而且可以证明当 x 更增加时，Li（x）总是较近似 (x)。 【 浏览原件】 就算我们讨论到一千万，其中也只有 60 万多个质数。要达到应许的五千万个质数，x 必须为十亿。下图表示十亿以内 R(x)-(x)的图形。R(x)-(x)的振动变得愈来愈大，但即使到十亿这麼大，振动仍在几百以内。 【 浏览原件】 顺便提另一个 (x)的趣事。从图上可以看出，在一千万以内，L
17、i（x）总是大於(x)，10 亿以内仍然如此。见下图（此图以对数尺寸绘出）。 【 浏览原件】 上图给我们一个印象，当 x 继续增加时，Li（x）-(x)会稳定地无限增加。但是上述推测错了！事实上，立特伍（Littlewood）可以证明有某 x 值，而 (x)会大於 Li（x）。但到目前为止，并未真正找到一个确数，使此事成立，而且恐怕永远不会找到。但是立特伍的证明不可能有误，而且 Skewes 更证明在【浏览原件】以内就有一个这样的数。英国名数学家 Hardy 有一次说，这可能是数学上有确定目的的数字中最大的了。总而言之，此例说明了，在质数理论里，仅仅依赖数据就想要导出结论的作法是多麼不智啊！ 本文节译自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在 The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，为原作者 Don Zagier 就任德国波昂大学教授的就任演说稿。
