1、垂钓者的游戏一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到 8 条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（cm） 36.8 318 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量（g） 765 482 1162 737 482 1389 652 454胸围（cm） 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 318 22.9 21.6问题分析：这是一垂钓俱乐部鼓励大家放生鱼类的措施，首先要肯定这一做法是很值得鼓励与提倡的，钓鱼乐的是过程，放
2、生乐的是生命。在这一事件中我们看到，由于鱼类的种类繁多，不同的鱼类的各种数据及各种比例都不具有可比性，而为了增加可操作性，题目中给了我们假设，假定鱼池中只有一种鱼类，这大大简化了我们的操作难度。符号表示：鲈鱼的密度；鲈鱼的身长l；鲈鱼的体重m；鲈鱼实际重量m 0；鲈鱼的体积v；鲈鱼的胸围t；鲈鱼胸围处的半径r；鲈鱼胸围处的横截面面积s；模型假设及建立：研究鱼的体重问题我们很容易想到物理中学过的物体的质量计算公式：m=v 。而在这里，我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鲈鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比
3、。于是我们得到式子 m=*a*l 3；其中 a 为比例系数。我们先来计算一下。为了便于计算我们令 A=*a 。利用最小二乘法求解，线性拟合表格中的数据，求得 A=0.0146. 过程如下：A*36.8*36.8*36.8=765A*31.8*31.8*31.8=482A*43.8*43.8*43.8=1162A*36.8*36.8*36.8=737A*32.1*32.1*32.1=482A*45.1*45.1*45.1=1389A*35.9*35.9*35.9=652A*32.1*32.1*32.1=454MMA=MB 求得 A=0.0146但是这样子假设可能并不能得到大家的一致同意。大家就要
4、反对啦，一样身长的鱼也像人一样有胖瘦的问题的啊，不能单纯地从一个身长的角度就把这鱼的体重给估计了，现在假定的这个模型中胖的瘦的鱼都是一样结果，这个方面此模型是欠妥的。于是我们再看表格里给我们提供的数据，还有一个是胸围的大小。那这样看来应该是可以的了，胸围大的我们可以称之为胖鱼，小的我们就叫它瘦鱼，再联系上面的身长的数据，从而求出它的体积，这样子建立起来的模型应该是比较能够令人满意的。我们假设鱼的横截面是圆形的，这样利用圆的周长公式可以求得鱼的横截面的半径，继而再根据圆的面积公式求得鱼的横截面积，再乘以鱼的身长就可以得到鱼的体积了。具体操作如下：2r=t = r=t/2 继而求得它的横截面面积
5、s=r 2= （t/2） 2；最终求得鲈鱼的体积 v=（t/2） 2*l，然后问题就转化为上一种假设中类似的情况了 m=C（t/2） 2*l；其中 C 为一常数。再利用最小二乘法，求得 C=0.40463。两种模型的比较：实际重量（g）765 482 1162 737 482 1389 652 454模型 1 727 469 1226 727 483 1339 675 483模型 2 730 465 1100 730 483 1471 607 483为了比较两组数据和实际重量的拟合程度，我们分别求出两组数据的方差：模型 1=（765-727） 2+（482-469） 2+（1162-1226）
6、 2+（737-727）2+（482-483 ） 2+（1389-1339） 2+（652-675） 2+（454-483） 2=9680模型 2=（765-730） 2+（482-465） 2+（1162-1100） 2+（737-730）2+（482-483 ） 2+（1389-1471） 2+（652-607） 2+（454-483） 2 =14215比较下来还是第一组的贴合程度好一些，这与我们的分析有些出入，可能是测量上的误差造成这一结果吧，而且这里的数据只有 8 组，只是一个抽样，并不能说明哪一种方案更好一些。总体来说这两种方案的误差并不是很大，还是在误差允许的范围之内的。但是考虑到模型的建立都是依靠软尺测量身长或胸围来计算鲈鱼的重量，我认为这是绕着圈子做事了，因为这一来浪费了精力用来计算，二来这个计算结果也不是很准确，不如买个秤来的实在，况且这是钓鱼俱乐部，没有秤道理上是说不过去的，而用软尺测量反而显得有点奇怪了。所以建议该垂钓俱乐部可以准备一把秤来解决这个称量俱乐部成员所钓的鱼的重量问题。这样既准确又方便，大家也不会对所得结果产生很大的疑问。数科院周芸聪
