1、对数的起源对数的起源 对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中以加（减）代乘（除）的想法早就存在了一个简单的三位数乘法（例如 265438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多因此，在 6 世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的16 世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了起初，曾采用以下两
2、个公式来实现乘除向加减的转化：但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484 年，法国数学家舒开（Chuquet，? 1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4， 等差1，2，4，8，16， 等比或0，1，2，3，4， 等差1，3，9，27，81， 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究 半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提
3、非提出史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现”如 48，因为 4 和 8 对应的等差数列的数分别是 2 和 3，而 2+3=5，所以 48 的结果是 5 所对应的等比数中的数 32又如 82，因为 8 对应的等差数列中的数是 3，32=6，所以 82 的结果是 6 所对应的等比数列中的数 64就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格布尔基与耐普尔
4、数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰耐普尔 （John Naeipr，1550 1617）和瑞士的乔伯斯特 布尔基（Jobst Brgi， 15521632）布尔基原是个钟表技师，1603 年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办
5、法他给出的等比数列相当于：1，1.0001，(1.0001) 2，(1.0001) 3，（1.0001） 104，其相应的等差数列是：0，0.0001，0.0002，0.0003，1，这里，等差数列中的 1，对应于等比数列中的（1.0001） 104就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001） 104=2.71814593，与自然对数的底 e=2.718281828相差不远但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念因为他们都不是从 ax=N 的关系出发来定义对数 x=logaN的耐普尔原是苏格兰的贵族生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学
6、的斯帕希杰尔学院学习十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“ 耐普尔圆部法则 ”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整 20 年时间1614 年，耐普尔发表了他的关于奇妙的对数表的说明一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于 1620 年），而且阐述了这个发明的思想过程他说：假定有两个质点 P
7、和 Q，分别沿着线段 AZ 和射线 AZ以同样的初速运动，其中 Q 保持初速不变，而 P 作减速运动，其速度与这个点离 Z 的距离成正比，现在，如果当 P 位于某点 B 时，Q 位于 B，那么， AB就是 BZ 的对数！同样的 AC是 CZ 的对数，等等（图 1）建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、 EZ、FZ一系列数值为：，以及作为它们的对数的 AB，AC，AD，AE，AF，一系列数值为： 1，2，3，4，5，显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数
8、概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用对数的由来 英语名词：logarithms 如果 an=b，那么 log(a)(b)=n。其中，a 叫做“ 底数”，b 叫做“真数”，n 叫做“ 以 a 为底 b 的对数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中 b 的定义域是 b0，零和负数没有对数；a 的定义域是 a0且 a1。对数的历史约翰纳皮尔/约翰奈皮尔/约翰 内皮尔（John Napier，15501617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier 出身贵族，于 1550 年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（ Merchiston Castle,Edinbur
9、gh,Scotland）出生，是 Merchiston 城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于 1593 年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier 就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然 Napier 的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家 Tycho Brahe（第谷，15461601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1
10、594 年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他 20 年的工夫。1614 年 6 月在爱丁堡出版的第一本对数专著奇妙的对数表的描述（“Mirifici logarithmorum canonis descriptio“）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616 年 Briggs（亨利布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于 1617 年春天去世，后来就由 Briggs 以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以 10 为底列出一个很详细的对数表。并且于 1619年发表了奇妙对数规则的结构，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的 10 个公式的巧妙记法圆的部分法则（“纳皮尔圆部法则“）和解球面非直角三角形的两个公式“ 纳皮尔比拟式“ ，以及做乘除法用的“纳皮尔算筹“。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。
