1、角平分线的性质,1.4,角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,1.什么叫角平分线？,2.怎样用尺规作角的平分线？,复习：,尺规作角的平分线,观察领悟作法，探索思考证明方法：,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,画AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？,思考,P,C,将AOB 沿OC 对折，我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等.,图1-26, PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.,在PDO和PEO中，
2、PDO =PEO，DOP =EOP，OP = OP，, PDOPEO., PD = PE.,我们来证明这个结论.,图1-26,图1-26,用符号语言表示为：,1= 2PD OA ，PE OB PD=PE., OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB PD=PE.,C,角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线的性质定理：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,同学甲、乙谁的画法是正确的?,B,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,
3、问PE=PD?为什么?,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.,1、 AD平分CAB,DCAC, DEAB _ (_),DC=DE,角平分线上的点到角的两边的距离相等,2、判断题（ ） 如图，AD平分BAC（已知）, BD = DC ，( ),角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,体验成功, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,例1. 如
4、图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,例2. 已知：在等腰RtABC中，AC BCC90，AD平分 BAC，DEAB于点E。求证：BDDE AC,变式 已知AB 15cm, 求DBE的周长,E,D,C,B,A,在RtPDO和RtPEO中， OP = OP，PD = PE， RtPDORtPEO
5、., PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.,如图1-27，过点O，P作射线OC., AOC =BOC., OC是AOB的平分线，即点P在AOB的平分线OC上.,图1-27,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,角平分线的判定定理：,P,用符号语言表示为：, PD OA ，PE OB且PD=PE OC平分AOB .,由此得到角平分线的性质定理的逆定理：,已知：如图在四边形 ABCD中， ABAD， ABBC，ADDC 求证：点 A在DCB的平分线上,体验成功,又 BAAD， BCCD，, 点B在ADC的平分线上.,图1-28,（1）求证：点B在ADC的平分线上；,图1-
6、28,证明： 在RtBAD和RtBCD中， BA = BC， BD = BD，, RtBADRtBCD., ABD =CBD., BD是ABC的平分线.,（2）求证：BD是ABC的平分线.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、F,又BM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,想一想，点P在A 的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,练习：如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上
7、,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,解：设要截取的长度为m,则：,练习：要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）,解得：0.025m2.5cm,则点即为所求的点,拓展思维：若把在区去掉，有几处A点,解 作AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所求作的点P.（提示：用尺规作图）,如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到
8、AOB两边的距离相等.,P,2. 如图，在ABC 中，AD 平分BAC， DEAB于点E，DFAC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC.,如图1-29， 已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为ACD和CAB的平分线呢？,图1-29,图1-29, MECD， MNCA，,同理可得AM是CAB的平分线.,可以添加条件MN =ME （或MN =MF）., M在ACD的平分线上，即CM是ACD的平分线.,图1-29, PE=PF.,在EBP中，BE+PEPB，, BE+PFPB.,图1-30,举 例,利用结论，解决问题,练一练 1、如图
9、，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,想一想,在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,练习3 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA 于点C，EDOB 于点D. 求证：（1）ECD=EDC； （2）OC=OD.,2. 如图，在ABC 中，ADDE，BEDE，AC，BC 分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.,M,证明 作CMAB于点M.,
