ARCH模型和GARCH模型及其matlab实现.pdf

1、第 9 章、 ARCH 模型和 GARCH 模型 *重要阅读材料： Engle, Robert, 2004, risk and volatility: econometric models and financial practice, AER, 94(3): 405-420. 研究内容：研究随时间而变化的风险。 （回忆： Markowitz 均值方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险） 本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的 无条件方差 虽然是常数，但是 条件方差 是按规律变动的量。 波动率 的聚类性 （ volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项的波动

2、的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。如图， - 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 60 . 8500 1000 1500 2000R 1、 ARCH 模型 1、条件方差 多元线性回归模型： t t tyX 条件方差 或者 波动率 （ Condition variance， volatility）定义为 2 11v a r ( ) v a r ( | )t t t t t 其中 1t 是信息集。 2、 ARCH 模型的定义 Engle （ 1982 ）提出 ARCH 模 型 （ autoregressive conditional heteroskedasticity，自

3、回归条件异方差）。 ARCH(q)模型： t t ty x （ 1） t 的 无条件方差 是常数，但是其 条件分布 为 21| (0 , )t t tN 2 2 211t t q t q （ 2） 其中 1t 是信息集。 方程（ 1）是均值方程（ mean equation） 2t ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差 方程（ 2）是条件方差方程（ conditional variance equation），由二项组成 常数 ARCH 项 2ti ：滞后的残差平方 习题 ： 方程（ 2）给出了 t 的 条件方差 ，请计算 t 的 无条件方差 。 引理（方差分解公式）： 【不作要求】

4、Var(X)=VarE(X|Y)+EVar(X|Y) 证明： （ 1）条件方差定义为 Var(X|Y)=EX-E(X|Y)2|Y （ 2）注意，条件方差 Var(X|Y)是随机变量 Y 的函数。展开，得到 Var(X|Y)=E(X2|Y) E(X|Y)2 因此， EVar(X|Y)=EE(X2|Y) E(X|Y)2 = EE(X2|Y) EE(X|Y)2 = E(X2) EE(X|Y)2 （ 3）使用如下公式 Varg(Y)=Eg(Y)2-Eg(Y)2，定义 g(Y)=E(X|Y) 并代入以上等式，得到 VarE(X|Y)=E E(X|Y)2-EE(X|Y)2 =E E(X|Y)2-E(X)2

5、 （ 3）因此，合并，得到 EVar(X|Y)+ VarE(X|Y) = E(X2) EE(X|Y)2+E E(X|Y)2-E(X)2 = E(X2) -E(X)2 =Var(X) 证明结束。 习题的证明： 利用方差分解公式： Var(X) = VarYE(X|Y) + EYVar(X|Y) 由于 21| (0 , )t t tN ，所以条件均值为 0，条件方差为 2t 。那么， 2 1var ( )t t t 2122112211111v a r ( ) v a r ( ) ( )v a r ( ) v a r ( )v a r ( ) v a r ( )?t t t tt q t qt q

6、 t qt q t qt q tEEEEE 推出1v a r( ) 1t q ，说明1 ( 0 , )1 .t qN 3、 ARCH 模型的平稳性条件 在 ARCH(1)模型中，观察参数 的含义： 当 1 时， var( )t 当 0 时，退化为传统情形， (0, )t N ARCH 模型的平稳性条件： 1i（ 这样才得到有限的方差 ） 4、 ARCH 效应检验 ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验 针对 ARCH 模型 2 2 211t t q t q ，建立辅助回归方程 2 2 20 1 1t t q t q te e e v 此处 e 是辅助回归方程的回归残差。 原假设： H0：序

7、列不存在 ARCH 效应 即 H0： 12 0q 可以证明：若 H0 为真，则 22LM ( )mR q 此处， m 为辅助回归方程的样本个数。 R2 为辅助回归方程的确定系数。 当然，还可以直接使用方差整体显著性检验（ F 检验： H0：除常数项外所有系数都是 0）。 Eviews 操作：先实施 多元线性回归 view/residual/Tests/ARCH LM Test 下面依据实例来学习 ARCH 模型。 2、 GARCH 模型的实证分析 从收盘价，得到收益率数据序列。 series r=log(p)-log(p(-1) 点击序列 p，然后 view/line graph 050010

8、0015002000500 1000 1500 2000P- 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 60 . 8500 1000 1500 2000R1、检验是否有 ARCH 现象。 首先回归。取 2000 到 2254 的样本（点击 sample 即可）。输入 ls r c 或者在 quick 中选择样本区间。得到 - 0 . 1 2- 0 . 0 8- 0 . 0 40 . 0 00 . 0 40 . 0 82000 2050 2100 2150 2200 2250RDependent Variable: R Method: Least Squares Date: 10/21/0

9、4 Time: 21:26 Sample: 2000 2254 Included observations: 255 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.000432 0.001087 0.397130 0.6916 R-squared 0.000000 Mean dependent var 0.000432 Adjusted R-squared 0.000000 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017364 Akaike info criterion -5

10、.264978 Sum squared resid 0.076579 Schwarz criterion -5.251091 Log likelihood 672.2847 Durbin-Watson stat 2.049819 问题：这样进行回归的含义是什么？ 其次， view/residual tests/ARCH LM test，得到 ARCH Test: F-statistic 5.220573 Probability 0.000001 Obs*R-squared 44.68954 Probability 0.000002 Test Equation: Dependent Variab

11、le: RESID2 Method: Least Squares Date: 10/21/04 Time: 21:27 Sample(adjusted): 2010 2254 Included observations: 245 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.000110 5.34E-05 2.060138 0.0405 RESID2(-1) 0.141549 0.065237 2.169776 0.0310 RESID2(-2) 0.055013 0.065823

12、 0.835766 0.4041 RESID2(-3) 0.337788 0.065568 5.151697 0.0000 RESID2(-4) 0.026143 0.069180 0.377893 0.7059 RESID2(-5) -0.041104 0.069052 -0.595260 0.5522 RESID2(-6) -0.069388 0.069053 -1.004854 0.3160 RESID2(-7) 0.005617 0.069178 0.081193 0.9354 RESID2(-8) 0.102238 0.065545 1.559806 0.1202 RESID2(-9

13、) 0.011224 0.065785 0.170619 0.8647 RESID2(-10) 0.064415 0.065157 0.988613 0.3239 R-squared 0.182406 Mean dependent var 0.000305 Adjusted R-squared 0.147466 S.D. dependent var 0.000679 S.E. of regression 0.000627 Akaike info criterion -11.86836 Sum squared resid 9.19E-05 Schwarz criterion -11.71116

14、Log likelihood 1464.875 F-statistic 5.220573 Durbin-Watson stat 2.004802 Prob(F-statistic) 0.000001 得到什么结论？ 2、模型定阶：如何确定 q 实施 ARCH LM test 时，取较大的 q，观察滞后残差平方的 t 统计量的 p value 即可。 此处选取 q 3。因此，可以对残差建立 ARCH(3)模型。 3、 ARCH 模型的参数估计 参数估计采用最大似然估计。具体方法在 GARCH 一节中讲解。 如何实施 ARCH 过程： 由于存在 ARCH 效应，所以点击 estimate，在 me

15、thod 中选取 ARCH 得到如下结果 Dependent Variable: R Method: ML - ARCH Date: 10/21/04 Time: 21:48 Sample: 2000 2254 Included observations: 255 Convergence achieved after 13 iterations Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.000640 0.000750 -0.852888 0.3937 Variance Equation C 9.24E-05 1.66E-05 5.569337

16、0.0000 ARCH(1) 0.244793 0.082640 2.962142 0.0031 ARCH(2) 0.081425 0.077428 1.051624 0.2930 ARCH(3) 0.457883 0.109698 4.174043 0.0000 R-squared -0.003823 Mean dependent var 0.000432 Adjusted R-squared -0.019884 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017535 Akaike info criterion -5.495982 Su

17、m squared resid 0.076872 Schwarz criterion -5.426545 Log likelihood 705.7377 Durbin-Watson stat 2.042013 为了比较，观察将 q 放大对系数估计的影响 Dependent Variable: R Method: ML - ARCH Date: 10/21/04 Time: 21:54 Sample: 2000 2254 Included observations: 255 Convergence achieved after 16 iterations Coefficient Std. Err

18、or z-Statistic Prob. C -0.000601 0.000751 -0.799909 0.4238 Variance Equation C 9.38E-05 1.60E-05 5.880741 0.0000 ARCH(1) 0.262009 0.090256 2.902959 0.0037 ARCH(2) 0.041930 0.070518 0.594596 0.5521 ARCH(3) 0.452187 0.108488 4.168076 0.0000 ARCH(4) -0.021920 0.050982 -0.429956 0.6672 ARCH(5) 0.037620

19、0.044394 0.847408 0.3968 R-squared -0.003550 Mean dependent var 0.000432 Adjusted R-squared -0.027830 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017603 Akaike info criterion -5.483292 Sum squared resid 0.076851 Schwarz criterion -5.386081 Log likelihood 706.1198 Durbin-Watson stat 2.042568 观察

20、：说明 q 选取为 3 确实比较恰当。 练习：对深圳成分指数建立 ARCH 模型。 4、 ARCH 模型是对的吗？ 如果 ARCH 模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有 ARCH 效应了。为什么？请思考。 对 q 为 3 的 ARCH 模型做 LM test，发现没有了 ARCH 效应。 注意 ，虽然是同一个检验名称，但是 ARCH 过程后是对标准化残差进行检验 。 注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？ ARCH Test: F-statistic 0.238360 Probability 0.992099 Obs*R-squared

21、 2.470480 Probability 0.991299 Test Equation: Dependent Variable: STD_RESID2 Method: Least Squares Date: 10/21/04 Time: 21:56 Sample(adjusted): 2010 2254 Included observations: 245 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.102371 0.264990 4.160043 0.0000 STD_RES

22、ID2(-1) -0.038545 0.065360 -0.589741 0.5559 STD_RESID2(-2) -0.003804 0.065308 -0.058252 0.9536 STD_RESID2(-3) -0.057313 0.065303 -0.877649 0.3810 STD_RESID2(-4) -0.010325 0.065277 -0.158169 0.8745 STD_RESID2(-5) 0.003537 0.065280 0.054185 0.9568 STD_RESID2(-6) -0.007420 0.065274 -0.113670 0.9096 STD

23、_RESID2(-7) 0.063317 0.065264 0.970165 0.3330 STD_RESID2(-8) -0.012167 0.065293 -0.186340 0.8523 STD_RESID2(-9) -0.010653 0.065278 -0.163194 0.8705 STD_RESID2(-10) -0.020211 0.065228 -0.309845 0.7570 R-squared 0.010084 Mean dependent var 1.007544 Adjusted R-squared -0.032221 S.D. dependent var 2.112

24、747 S.E. of regression 2.146514 Akaike info criterion 4.409426 Sum squared resid 1078.160 Schwarz criterion 4.566625 Log likelihood -529.1546 F-statistic 0.238360 Durbin-Watson stat 2.000071 Prob(F-statistic) 0.992099 方程整体是不显著的。 还可以观察标准化残差 ARCH 建模以后， procs/make residual series/可以产生残差 t 和标准化残差 /tt，以分

25、别下是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。 - 0 . 0 8- 0 . 0 40 . 0 00 . 0 40 . 0 82000 2050 2100 2150 2200 2250R E S I D 0 1-6-4-202462000 2050 2100 2150 2200 2250R E S I D 0 2还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比 r 和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。 ARCH 建模以后， procs/make garch variance series/ 得到 2t 0 . 0 0 00 . 0 0 10 . 0 0 20 . 0 0 30 . 0 0 42000 2050 2100 2150 2200 2250G A R C H 0 1结论： ARCH 模型确实很好描述了股票市场收 益率的波动性。