1、随机事件的概率,3.1,主要内容,3.1.1 随机事件的概率,3.1.2 概率的含义,3.1.3 概率的基本性质,随机事件的概率,3.1.1,日常生活中，有些问题是能够准确回答的.例如，室温低于-50C时，盆内的水能结成冰吗？明天太阳从东边升起吗？等等，这些事情的发生都是必然的.同时也有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如，你明天什么时间起床？12：10有多少人在学校食堂用餐？你购买的本期福利彩票是否能中奖？等等，这些问题的结果都具有偶然性和不确定性，很难给予准确的回答.,有些事情的发生是偶然的，有些事情的发生是必然的.,例如，北京地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但北京地区一年里哪
2、一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天降雪量最大等，又是不确定的、偶然的.,但是偶然与必然之间往往有某种内在联系.,基本概念,1、随机事件:,2、必然事件:,在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.,在条件S下一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件.,3、不可能事件:,4、确定事件:,在条件S下一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件.,必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.,确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C表示.,考察下列事件：（1）上海夏天的平均气温比
3、冬天高；（2）地面上向上抛出的石头会下落；（3）太阳明天从东方升起. 这些事件会发生吗？ 他们是什么事件？,一定发生，必然事件.,确定事件,考察下列事件：（1）标准大气压下50度的水会沸腾；（2）在常温常压下钢铁融化；（3）服用一种药物使人永远年轻. 这些事件会发生吗？是什么事件？,不可能发生，不可能事件,确定事件,考察下列事件：（1）某人射击一次命中目标；（2）任意选择一个电视频道，它正在播放新闻；（3）抛掷一个骰子出现的点数为奇数. 这些事件一定会发生吗？他们是什么事件？,可能发生也可能不发生，随机事件.,对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的.,用概率度量随机事件发生的可能性大
4、小能为我们的决策提供关键性的依据.,如何才能获得随机事件发生的概率呢？最直接的方法就是实验（观察）.,设计抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时哪一个面朝上：,第一步，全班每人各取一枚同样的硬币，做十次掷硬币的试验，每人记录试验结果，填在下表中：,思考：你与同学的结果一样吗？为什么？,设计抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时哪一个面朝上：,第二步，每个小组把本组同学的试验结果统计一下，填在下表中：,思考：与其他小组相比，结果一样吗？为什么？,设计抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时哪一个面朝上：,第三步，请一位同学把全班同学的试验结果统计一下，填在下表中：,思考：与前面的结果一样吗？为什么？,设计抛掷一枚硬
5、币的试验，观察它落地时哪一个面朝上：,第四步，请把全班每个同学的试验结果中正面朝上的次数收集起来，并用条形图表示.,观察：这个条形图有什么特点？,第五步，请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.,探究：如果同学们再重复一次上面的试验，全班的汇总结果还会和这次的汇总结果一致吗？如果不一致，你能说出原因吗？,在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？,频率的取值范围是什么？,必然事件出现的频率为1，不可能事件出现的频率为0.所以频率的取值范围是【0，1】,历史上一些掷硬币的试
6、验结果,在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？,历史上一些掷硬币的试验结果,我们看到，当试验次数很多时，出现正面的频率值在0.5附近摆动.,事件A发生的频率较稳定，在区间【0，1】中的某个常数上.,上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？,事件A发生的频率较稳定，在区间【0，1】中的某个常数上.,这个常数越接近于1，表明事件A发生的频率越大，频数就越多，所以它发生的可能性越大.,反过来，事件发生的可能性越小，频数就越少，频率就越小，这个常数也就越小.,
7、因此，我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小,那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？,对于给定的随机事件A，在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，因此可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.,P（正面朝上）=0.5,对于给定的随机事件A，发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A发生的概率P（A）是不是不变的？它们之间有什么区别与联系？.,频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.,在实际问题中，随机事件A发生的概率
8、往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？,通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.,我们研究的是那些在相同条件下可以进行大量重复试验的随机事件，它们都具有频率稳定性.,练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：,（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？,小结,1、必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件、频数、频率、概率的概念.,2、概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.,3、随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着
9、试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间0，1内的某个常数上（即事件A的概率），概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.,4、任何事件的概率是01之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.,概率的含义,3.1.2,思考：有人说，既然抛掷枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面，你认为这种想法正确吗？,试验：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向.将全班同学的试验结果汇总，有多少种可能发生的结果？你有什么发现？,有
10、三种可能的结果：“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”.,这正体现了随机事件发生的随机性.,“两次正面朝上”的频率约为0.25，“两次反面朝上” 的频率约为0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上” 的频率约为0.5.,探究：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向，并记录结果.重复上面的过程10次，将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率，你有什么发现？,随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性.,试验：把同样大小的9个白色乒乓球和1个黄色乒乓球放在一个袋中，每次从中随机摸出1球后再放回，一共摸10次，观察是否一定至少有
11、1次摸到黄球，说明你的理由.,不一定.摸10次球相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次球的结果也是随机的.可能有两次或两次以上摸到黄球，也可能没有一次摸到黄球，摸到黄球的概率为 1-0.9100.6513.,思考：如果某种彩票的中奖概率为0.1%，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？为什么？（假设该彩票有足够多的张数.）,不一定，摸1000次彩票相当于做1000次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸1000次彩票的结果也是随机的.可能有一次或两次以上摸到，也可能没有一次摸到. 买1000张这种彩票的中奖概率约为1-0.99910000.632，即有63.
12、2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.,探究：某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？哪个班被选中的概率最大？,不公平，因为各班被选中的概率不全相等，七班被选中的概率最大.,思考：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的吗？为什么？,这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那面比较重，会使出现1点的概率最大，更有可能连续10次都出现1点. 如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一次出现1点的概率为1/10，连续10次都出
13、现1点的概率为0.000000016538.这是一个小概率事件，几乎不可能发生.,思考：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的吗？为什么？,现在我们面临两种可能的决策：一种是这枚骰子的质地均匀，一种是不均匀.当连续10次投掷这枚骰子，结果都是出现1点，这时我们更愿意接受第二种情况：这枚骰子靠近6点的那面比较重.原因是在第二种假设下，更有可能出现10个1点.,思考：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的吗？为什么？,如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判
14、断问题的方法称为极大似然法.,极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.,思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%.你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的观点？,降水概率降水区域；明天本地下雨的可能性为70%.,明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨；,明天本地下雨的机会是70%.,思考：天气预报说昨天的降水概率为 90，结果昨天连一点雨也没下，能否认为这次天气预报不准确？学了概率后，你能给出解释吗？,不能认为这次天气预报不准确，概率为90的事件指发生的可能性很大，但“明天下雨”是随机事件，也有可能不发生.,试验与发现：奥地利遗传学家孟德尔从1856年开始用豌豆作试验，他把黄
15、色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试验的具体数据如下：,豌豆杂交试验的子二代结果,孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同的后代，并且每次试验的结果比例都很稳定，比例都接近31，这种现象是偶然的，还是必然的？我们希望用概率思
16、想作出合理解释.,遗传机理中的统计规律：（1）纯黄色和纯绿色的豌豆均有两个特征， 用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征， 符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征.,（2）当杂交时，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征. 于是第一年收获的豌豆特征为：Yy.,（3）把第一代杂交豌豆再种下时，下一代同样是 从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特 征，所以第二年收获的豌豆特征为： YY，Yy，yy.,黄色豌豆(YY，Yy)绿色豌豆(yy)31,（4）对于豌豆的颜色来说Y是显性因子，y是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时，表现显性因子的特性，即YY，Yy都呈黄色；当两个隐性因子组合
17、时才表现隐性因子的特性，即yy呈绿色在第二代中YY，Yy，yy出现的概率分别是多少？黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少？,YY，yy都是 ，Yy是,小结,1、概率的正确理解.,2、游戏的公平性.,3、决策中的概率思想.,4、天气预报中的概率解释.,5、孟德尔的遗传试验与遗传机理中的统计规律.,概率的基本性质,3.1.3,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6， E出现的点数小于7，F出现的点数大于6， G出现的点数为偶数， H出现的
18、点数为奇数，等等.,上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6， E出现的点数小于7，F出现的点数大于6， G出现的点数为偶数， H出现的点数为奇数，等等.,你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗？类比集合与集合的关系、运算，你能发现它们之间的关系与运算吗？,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C
19、6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6， E出现的点数小于7，F出现的点数大于6， G出现的点数为偶数， H出现的点数为奇数，等等.,如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6， E出现的点数小于7，F出现的点数大于6， G出现的点数为偶数， H出现的点数为奇数，等等.,如果事件C1发生，则事件H一定发
20、生，类比集合之间的关系，我们说事件H包含事件C1，记作HC1.,两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？,我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，,可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识,不可能事件用表示.,一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，,任何事件都包含不可能事件.,这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作 B A ( 或A B ).,
21、探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数，等等.,如果事件C1发生，则还有哪些事件发生？,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出
22、现的点数为奇数，等等.,分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？,若BA，且AB，则称事件A与事件B相等， 记作A=B.,如果事件C1发生，则事件D1一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作C1=D1,B(A),探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数，等等.,如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件
23、发生？反之成立吗？,事件D2发生当且仅当事件C5或事件C6发生，C5和C6的并事件就是事件D2.,若某事件发生，当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 AB(或A+B).,类似地，若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作AB（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出
24、现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数，等等.,有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？,D2D3=C5,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数，等等.,两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？,两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即AB，此时，称事件A与事件B互斥.,事件
25、A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.,事件A与事件B互斥的含义怎样理解？,若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.,事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生.,事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？,探究：在掷骰子试验中，可以定义许多事件： C1出现1点，C2出现2点， C3出现3点，C4出现4点， C5出现5点，C6出现6点， D1出现的点数不大于1， D2出现的点数大于4， D3出现的点数小于6， E出现的点数小于7，F出现的点数大于6， G出现的点数为偶数， H出现的点数为奇数，等等.,在上述事件中能找出互为对立事件吗？,互斥事件与对立事件的区
26、别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形： （1）事件A发生且事件B不发生； （2）事件A不发生且事件B发生； （3）事件A与事件B同时不发生.,对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生事件B不发生；（2）事件B发生事件A不发生.,对立事件是互斥事件的特殊情形.,探究：事件的关系、运算与集合的关系、运算十分类似，在它们之间可以建立一个对应关系.如事件A与B之并对应于两个集合的并AB，事件A与B之交对应于两个集合的交AB因此，可以从集合的观点来看待事件.请同学们找出事件与集合之间的其它对应关系.,概率的几个基本性质
27、,1.概率P(A)的取值范围,（1）0P(A)1.,（2）必然事件的概率是1.,（3）不可能事件的概率是0.,2.概率的加法公式：,如果事件A与事件B互斥，则 P(A B）= P(A) + P(B）,若事件A，B为对立事件，则 P(B）=1P(A),3.对立事件的概率公式,例:某射手射击一次,射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16，计算这名射手射击一次,(1)射中10环或9环的概率；,(2)至多射中7环的概率.,解:(1)设事件为“射中10环”，,事件为“射中环”,则和是互斥事件,所以射中10环或9环的概率,P(A)P(B)0.52,例:某射手射击一次,
28、射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16，计算这名射手射击一次,(1)射中10环或9环的概率；,(2)至多射中7环的概率.,解：(2)设事件为“至多射中环”，,事件为“射中环或环以上”，,则和是对立事件,所以P(C)1P(D)1(0.190.52)0.29,即至多射中7环的概率是0.29,P（C）=P（AB）= P（A）P（B）=0.5，,练习：如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ，取到方片（事件B）的概率是 ，问：（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？,P（D）=1- P（C）=0.5.,小结,1、事件的各种关系与运算，如事件的包含关系，事件的交、并，互斥事件和互为对立事件，可以类比集合的关系与运算.,2、概率的几个基本性质,
