1、1,第 三 章 多维随 机 变 量 及 其 分 布,2,一 主要内容二维随机变量及其分布1. 二维随机变量的定义2. 二维随机变量的分布函数3. 二维离散型随机变量及其分布律4. 二维连续型随机变量的概率密度5. 边缘分布 随机变量的独立性随机变量简单函数的分布,3,三 例题分析,例1 从一批产品包括10件正品, 3件次品中重复抽取,每次取1件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同, 求抽取次数X的分布律解 P(X=1)=10/13, P(X=2)=(3/13) *(10/12)=5/26 P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143 P(X=4)= (3/13)
2、*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286 故 X 的分布律为,4,例2 设随机变量X的分布密度为,试求 X的分布函数F(x).解：当x0时，当 时，当 时，,5,当 时， 故X的分布函数为例3 设随机变量X 的分布律为,6,求 的分布律。 解：由X的分布律有Y取值为4,1,0,9 PY=0=PX=0=1/5 PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15=7/30 PY=4=PX=2+PX= -2=0+1/5=1/5 PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30 故Y的分布律为,7,例4 设随机变量X的分布函数为求:（1）A的值； （2）X落在（0.2, 0.6
3、）内的概率； (3）X的密度函数 f（x）。 解:（1）由 F(x)连续性有 F(1)= , 而 而F(1)1 故A=1,8,(2) P0.2X0.6=F(0.6)-F(0.2) = (3) 当 当 故 例5已知随机变量X P|X-10|c=0.95,PXd=0.023,确定c和d的值。解：已知 P|x-10|c=P|X-10|/2c/2 =,9,所以 查表得 c/2=1.96 故 c=3.92 又已知 PXd= 查表得 既 d=6 例6 设随机变量 ，且已知 试求X落在区间（9.95, 10.05）内的概率.,10,解：例7 设随机变量X的概率分布为 求X的分布函数 F(x).解： 当x1时
4、， F（x）0当 ，F(x)=P(X= -1)=1/6,11,当 ，F(x)=P(X= -1)+P(X=2) =1/6+1/2=2/3当 时, F(x)=PX= -1+PX=2+PX=3=1故,12,例8（X，Y）的联合分布律为,求（1）X的边缘密度；（2）Y的边缘密度。,13,解: (1) X的分布律为 (2) Y的分布律为,14,例9 设二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为 问X与Y是否相互独立，并说明理由。,解：关于X的边缘密度为,关于Y的边缘分布密度为,15,在 中，均有 故X与Y不独立。,例10 设二维随机变量（X，Y）的分布密度,求分布函数 F(x,y).,16,解,例11随机变
5、量X的分布密度为 求Y=X2的分布密度。,17,解：由,18,第二章 随机变量及其分布,练习与答案1一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。 2重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ,出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。3对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。,19,4已知某元件使用寿命服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000
6、小时之内这些元件不必更换的个数的分布律5某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？,20,6设某批零件的长度服从 ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。7设分别为服从 的随机变量，求 的概率密度函数.8设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7，超过7的水要溢出，求水库存水量的分布函数.9在箱中装有12只球，其中2只黑球，现从箱中随机地抽取两次，每次抽取一球，用 分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回
7、抽取与无放回抽取两种情况：（1）写出 的联合分布列；（2）判断 是否独立。,21,10设 的联合密度函数为 求（1）常数 ；（2） ； （3） ；（4） 是否独立。 11设相互独立，且密度函数分别为 求 .12设 相互独立，均服从标准正态分布 求 的密度函数。,22,13设随机变量（ ）的概率密度为 求 的概率密度。,23,参考答案,1分布列 P 234（1） ；（2）5（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6,24,7（1） ；（2） ； （3） ；8 9（1）有回放： 0 1 0 1 此时， 相互独立,x,Y,25,（2） 无回放： 0 1 0 1 此时， 不独立10 （1） ；（2） ；（3） （4） 相互独立1112,26,13,
