1、1,机械动力学,Copyright 2009 HRBEU 702All Rights Reserved,杨恩霞 庞永刚,哈尔滨工程大学机电学院,2,机械动力学（Mechanical Dynamics ）,. 教材和参考书 1机械动力学. 张策. 高等教育出版社, 2008 2机械动力学. 唐锡宽. 高等教育出版社,1983 3机械动力学分析.蒋伟.中国传媒大学出版社, 2005,3,先修知识：线性代数、理论力学、机械原理相关知识：分析力学、机械振动、数值分析相关工具：ADAMS、ANSYS、MATLAB、 MATHEMATIC等。,4,2.课程内容绪论平面机构单自由度动力学分析：动态静力分析法
2、，等效力学模型法，动力学普遍方程。第二类拉格朗日方程应用于双自由度和多自由度问题。机械效率法、逐次逼近法进行动力学分析。变形单元杆动力学分析。系统弹性运动分析,5,绪 论,一、机械动力学课程性质1.机械：2.动力学： 动力学正问题 动力学反问题机械动力学：,已知力（力矩）求运动,已知运动求力（力矩）,机构、机器的总称。,研究刚体运动及受力关系的学科,是研究机械在力作用下的运动、或机械在运动中产生的力（力矩）的科学,6,例：1、机构组成及性质：有无曲柄、急回特性2、若已知力（力矩），当机构处于平衡状态时， 求未知力（力矩）3、若已知M、F，求、v 时,机构学。,机械静力学问题。,机械动力学。,7
3、,二、机械动力学研究内容 1. 描述机械有那些基本参数 1）结构参数： 2）运动参数： 3）力的参数：,几何参数（杆长）物理参数（质量m，转动惯量J）,转角、s、v、a,力矩M、力F,8,2. 研究内容 1）已知机械的物理参数、几何参数 a、已知运动求受力 可表示为： b、已知受力求运动规律 可表示为： 2）已知运动、受力求结构 这是机械设计的研究问题，一般实际做法是先设计后校核，少数情况是直接求设计参数。 例：,动力学分析问题,动力学综合问题,9,3）具体章节内容 单自由度动力学方程的建立 二自由度动力学方程的建立 多自由度动力学方程的建立 理想情况下（无摩擦、变形等） 考虑摩擦，如铰链、关
4、节处摩擦 考虑弹性变形，如杆变形、并联柔性机器人 变质量时的动力分析，如推土机工作过程、火箭发射过程 有间隙情况下动力学研究，不详讲述,10,三、 研究对象-,以机械为研究对象,典型机构,连杆机构,凸轮机构,齿轮机构（轮系）,组合机构,11,四、其它问题,1.学习机械动力学目的、意义 学习动力学分析问题的思想和基本方法，能够解决一般动力学问题。2.考核方式 开卷考试， 2个小时3、希望：,12,1-1 利用动态静力法进行动力分析 一、思路动静法：,第一章 单自由度机械系统的动力学分析,根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡 方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、约束反力等）。,用静力平衡方程解
5、决动力学问题基本方程为：,13,二、典型实例例1：已知： 求：角加速度解：利用动静法拆开机构 轮1：有反力R，惯性力矩 ,M1 轮2：有反力R，惯性力矩 ,M2则有方程： 得:,结论：,1、加惯性力（力矩）核心2、约束反力 纽带3、一个构件列一个受力平衡方程基础,14,例2：已知从动件推程方程: 求：凸轮角加速度解：忽略摩擦时反力R，沿法线方向 凸轮：有反力R ，惯性力矩，M1 推杆：有反力R，惯性力矩，F2则有方程： 得：,结论：,例1的角加速度是用传动比例2的角加速度是用推杆位移方程,15,例3：已知： 求：建立运动方程解：设杆1转角 杆3位移则有方程：,16,1-2 利用等效力学模型法进
6、行动力学分析 一、等效力学模型概念 1、思路,动能定理：,合外力所做功的增量=系统动能的增量,质点：,17,1,2、实例：已知如图，构建动力学方程,等效力矩 Mv,等效转动惯量Jv,M,等效力学模型,18,什么是等效力学模型法？ 用作用在某个构件上的一个假想力（力 矩）代替所有的外力（外力矩），使假 想力（力矩）所作的功或产生的功率等于 所有被代替的力（力矩）所作的功或产生 的功率之和。 将复杂系统变成简单力学模型（构建等效件）,19,力矩与转速同向取正，反向取负,1.等效力矩2.等效转动惯量3.等效质量4.等效力以上可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实 速度无关。,为力与速度夹角,
7、二、等效参数,20,1.瞬心法2.解析法3.特例 齿轮传动，凸轮传动等,求传动比方法：,21,根据动能定理 有：1.微分形式2.积分形式,的函数,的函数,三、方程形式,22,例1.已知求：角加速度解：以构件1为等效件,四、典型实例,23,例2. 已知从动件的推程方程 求：凸轮的角加速度（略杆的重力）解：选凸轮为等效件,，,24,例3.已知 求：建立系统运动方程（略m2，m2g） 解：选1为等效件,25,例4.已知： ，略重力及质量求：1）启动力矩M1最小值； 2）如启动3秒后n1=600rpm，求M1。解：1)选中心轮1为等效件,26,若不忽略齿轮2，3的质量？,2）,a.若匀速转动M1 =？
8、 b. 若去掉M1，多长时间停车？,27,五、运动方程的求解 1. =常数,3） 为角速度的函数：,1） 为常数（用微分形式）：,2） 为转角的函数：,28,2. 不为常数,1） =常数,2） ：利用积分方程,3） ：利用微分方程,29,4） ：利用微分方程,微分方程解析求解,数值求解迭代法,数值求解龙格-库塔 （Runge-Kutta）法求解,30,例1.已知： 求：1）由静止启动5秒时蜗杆1的角速度； 2）若 ，其它条件不变， 求蜗杆1的角速度。,解： 1）,31,2）分析,1,32,例2.已知：弹簧压缩产生的力矩 求：断电后角速度为0时杆的转角,利用积分形式得：,33,例3.已知：从动件
9、推程方程 求：凸轮运动参数的变化规律解：选凸轮为等效件,1,34,练习：,已知：,求：运动方程,分析：选1为等效件,35,1-3 利用拉格朗日法进行动力学分析 一、分析力学的基础知识 1.分析力学,36,2.约束及分类、约束方程 约束： 分类：,双面约束（刚杆的约束）单面约束（绳子的约束）,完整约束（几何约束）非完整约束（运动约束）,稳定约束（定常约束）非稳定约束（非定常约束）,对位置进行限制的约束,-对速度、加速度进行限制,对构件的位置或运动进行限制,根据约束对限制的不同情况：,-不随时间变化而变化,-随时间变化而变化,-用等式方程表示的约束,-用不等式方程表示的约束,约束方程：,将约束条件
10、用数学形式表示出来的方程,37,3.约束反力 ： 主动力（载荷）：,4.虚位移： 实位移：,约束对构件的作用力,除约束反力以外的力,在约束允许的条件下，可能发生的任一个微小位移,真实发生的位移,38,5.理想约束：,6.广义坐标 ：,这里的广义坐标是杆1转角还是B点直角坐标,为什么？,在任意虚位移上系统约束反力所作元功之和为零（略摩擦）,用以确定机构位置的一组独立参数,39,7.自由度：,8.广义速度：广义坐标q 对时间t 的一阶导数,广义坐标的独立变分数目自由度数,在完整系统中，广义坐标数=独立变分数=自由度数,40,例：如图平面机械手,广义坐标：,m点坐标：,偏导数中广义坐标是相互独立的，
11、均为时间t的函数,41,9.广义加速度 ：,10.虚位移原理：,证明,稳定理想约束系统处于平衡的充分必要条件是在任一给定虚位移上，主动力所做元功之和为零。,42,虚位移原理的表达形式：,形式1：,形式2：,形式3：,广义坐标表达式,广义力,43,例1：已知如图，,广义力：,求广义力。,解：,44,问题：如有力矩M是否影响广义力？,广义力应用的是虚位移原理，所以有影响。,45,例2：已知,求：广义力,解：自由度数=广义坐标数,取,46,例3：,解：设A点虚位移,BC杆虚位移,CE杆位移,已知六杆机构中的力F，求平衡时的驱动力矩M。,虚位移原理应用,用于解决静力学问题,则：,47,例4：已知,求：
12、平衡时，,解：分析,取,因广义坐标为独立参数，不互相影响,轮4不动，轮1有虚位移，得：,轮1不动，轮4有虚位移，得：,1/9,8/9,48,说明：,系统中所有外力在虚位移上做的虚功等于广义力 在广义坐标的虚位移上做的虚功；,广义坐标是独立的，因此在求平衡问题时可 以假设仅有一个虚位移，即系统此时为一个自 由度来求解。,49,惯性力为 ，,11.动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：,动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时， 在任一瞬时作用在质点系上的所 有主动力和惯性力在任意虚位移 上所做的元功之和等于零。,若系统具有理想约束，并由n个质点组成，,任一质点为 ，,主动力为 ，,根据虚位移原
13、理在任一瞬时有：,50,例：,用功率表示功,又,已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动，,求：运动与受力关系,分析：,51,12. 第二类拉格朗日方程：,设理想、完整约束系统由n个质点组成，,上式变分得（变分运算如同微分运算，进行微分运算后， 将微分符号改为变分符号）,矢径对时间求导,有N个自由度，,系统中任一质点的矢径可表示为：,52,将上式对 求偏导有：,将上式对t求全导数：,将第一类拉氏方程打开，有：,惯性力所做元功之和：,53,和带入有：,引入系统动能：,得,54,由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：,说明：,1、拉氏方程是一个由N个方程组成的二阶方程 组，其特点是不含约束
14、反力。,2、拉氏方程是以能量的角度研究问题， 因此避免了加速度的分析。,3、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。,拉氏方程：,55,例1：已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动求：运动与受力关系,分析：系统具有一个自由度,又,二、利用拉式方程进行动力学分析,取,B,56,例2.已知： 求：用拉格朗日方程动力学方程,解：系统一个自由度，取,系统动能：,则,57,从虚功率角度求广义力,此机构的虚功率：,由拉氏方程：,得:,也可由虚功来求Q1,58,单自由度机构的动力学分析小结：,动态静力分析法：已知运动求力 已知力求运动,等效力学模型：求等效量，用微分、积分方程求解,动力学普遍方程：用惯性力在
15、虚位移上也做虚功,拉氏方程：构造系统动能，动能求导，再求广义力,59,课堂练习,已知：,60,1、等效法：,选H为等效件,等效力矩：,因为 为常数，选微分方程,61,2、动力学普遍方程（拉氏一法）：,给定：,62,3、拉氏二法：,取：,63,广义力的求法一般有两种方法:,1、按广义力定义求解,2、采用虚功方法进行求解,由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都是采用虚功方法。,64,例：如图示机构，求平衡时,机构自由度数为3，构件1、4、7运动定义为广义坐标，即,平衡时，在平衡位置的虚功为零，又广义力为零,可以求出三个未知数,分析：,65,例：五杆机构，取,构
16、件1由 控制，构件4由 控制，件2、3由 共同控制。,第二章 两自由度机构动力学分析,2-1 两自由度机构的运动分析,1.构件上某点速度：,上式也可以表示为：,分析：,称为类线速度（矢量）,66,的物理意义：,当 时， 的大小、方向即为 的大小方向量纲由广义坐标决定,2.构件角速度,注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量,如研究杆2、杆3：,不是传动比,第i个件对广义坐标1，2的类角速度（标量）,的物理意义？,67,2-2 利用拉格朗日方程建立两自由度机构 的动力学方程,拉格朗日方程：,一、惯性系数,求1个构件动能：,68,对于 ：,与 和 均相关件的质量和转动惯量才能计入，,则系
17、统动能：,说明：,对于 ：,件i 的运动必须与 有关，,即与 相关件的质量和转动惯量才能计入，,惯性系数,为正；,可为正、为负、为零。,69,例1：已知： 求：,分析：广义坐标可以设为：,则：,则：,70,71,例2：已知差动轮系,轮2、3质量略，H转动惯量略。求：,分析：广义坐标可以设为：,则：,72,73,二、计算动能,用惯性系数表示的动能：,74,则拉氏方程为：,两个自由度的拉氏方程,75,例3：已知：,求：建立运动方程,分析：选广义坐标:,则：,求类线速度:,76,常数,77,求广义力：,方程：,此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。,78,例4：已知差动轮系中：,，各轮质量略。,分
18、析：取广义坐标：,则：,求：,79,方法1：,方法2：,同理,求：,即H不动，则：,即1轮不动，则：,求：,80,计算广义力：,动力学方程：,差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。,81,例5：已知：,重力略，建立运动方程。,分析：选广义坐标：,则：,82,计算广义力：,动力学方程：,83,达郎伯原理,虚位移原理,动普方程,拉格朗日方程,例,第三章 多自由度机构的动力学分析,3-1 拉格朗日方程,84,85,3-2 多自由度机构的动力分析,一、运动关系,1、某构件运动与一个广义坐标相关,2、某构件运动与几个广义坐标相关,3、各构件在广义坐标下的表示,4、构件速度、角速度表示,5、构件质心的
19、坐标、速度表示,类线速度,类角速度,86,二、系统动能,87,以平面4自由度为例(表格形式)：,88,89,的下标的含义：与i、j广义坐标同时有关的构件的等效质量或惯量。,如,以3自由度第3个方程为例：,90,空间任一运动的刚体,证明,91,如果质心速度为零，刚体动量也为零,根据转动惯量计算公式,92,系统动能：,三、系统势能,势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用“U”表示。,四、广义力,广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力,常见势能有哪些
20、？,93,例1：如图，已知各转动惯量、力矩,其余略，求动力学方程,分析：系统自由度为：,设：,94,广义力用虚功原理求解,动能均为角速度(广义速度)的函数，,95,注：轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。,96,例2：如图，杆长已知，质心位置已知，各杆受力矩、转动惯量已知。建立系统动力学方程。,分析1：系统为平面N自由度开链机构，广义力为重力、外力矩和手爪部外力。,分析2：动能函数为质心速度、角速度函数，势能为广义坐标函数。,问题1：广义力如何求？,问题2：T或L函数的表达？,思考：动能、势能的广义力表达式,97,各杆转动部分仅与各自的广义坐标有关。,98,广义力:,通式:,99
21、,例3：如图已知：,其余略，求动力学方程。,100,分析1：系统自由度数？,分析2：各构件与广义坐标关系,动力学方程：,101,分析3：计算类角速度。,102,系数如下：,103,分析4：系统广义力？,104,例4：一空间五自由度手臂动力学分析，机构如程序，机构简图见右侧，基本几何参数见右下，,分析：分析自由度数， 广义坐标定义；描述运动学关系；选择动力学模型；模型关键部分求解；进行求解。,105,运动学齐次变换如下（混合法）,106,选择拉氏方程建立动力学模型,系统动能表示？系统势能表示？见程序,进行求解。（本问题为动力学逆问题，且为理想情况，选MATHEMATIC进行符号运算）结论见文件,
22、空间多自由度问题特点：问题复杂，动力学模型选择非常关键，求解困难，多数为数值解,107,算例：这里设运动的初始位置各关节转角均为0度，运动的末位置分别为肩部-20度、大臂30度、小臂45度、腕部45度、手部90度，运动所经历的时间是10秒。由于一般运动规律都有加速阶段、近似匀速阶段和减速阶段，因此这里各关节采用正弦曲线的运动规律模拟关节转动。,108,一阶微分方程组数值解法4阶龙格库塔,Milne与Hamming（米尔尼公式与哈明公式）建立的预测-校正系统,109,广义力求法：,轮系类问题：,1、以 为广义坐标求广义力,2、以 为广义坐标求广义力,3、以 为广义坐标求广义力,110,开式链杆系
23、统类问题：,111,闭式多杆系统类问题：,求解方法：根据速度瞬心求解,虚位移,微小时间段,速比,瞬心,112,第四章 考虑摩擦时的动力学分析,4-1 利用机械效率进行动力学分析,一、典型实例： 已知各轮转动惯量、 力矩，动力分析?,分析：当无摩擦时，利用等效力学模型有：,则，微分方程为：,113,有摩擦时：以能量角度进行分析,即功率传到轮2损失一部分，进一步传递到轮3又损失一部分，后抵消阻力矩做功。,定义为有摩擦的等效力矩,定义为有摩擦的等效转动惯量,二、功率流 当力的传递路线与功率流一致时乘以效率；当力的传递路线与功率流相反时除以效率。,114,注意：,首先确定功率流；,注意效率乘除关系；,
24、注意正反行程可能效率不同；,有些没有效率可用但考虑摩擦的问题不适用本方法。,115,例1：已知如图,分析：无摩擦,分析：有摩擦,若等效力矩大于零功率流由1到2，否则反之。,注意：正向、逆向时等效惯量也不同。,116,例2：已知力矩如图均为驱动力矩,分析：无摩擦,分析：首先判断功率流向，即当1、2独立时，若1的角加速度大则功率由1流向2，否则反之。,分析：假设功率由1流向2，有：,117,例3：已知力矩如图均为驱动力矩,分析：首先判断功率流向，方法同上。最终流向可能是到1、2、3、4、5，共5种可能。,118,练习1：已知：,分析：首先判断功率流向。取3为等效件：,求有、无摩擦时轮3角加速度。,
25、119,图示机构中， ，转动惯量为 ,若传动效率,求由静止启动到10秒时轮2的角速度？,练习2：,120,分析：无摩擦时,1、2拆开后： 能量由2流向1,摩擦时,如果力矩1反向，结果？,121,4-2 利用逐次逼近法进行动力学分析,定义：一种求方程(近似)解的方法。步骤：先取解的一个初始估计值,然后通过一系列 的步骤逐步缩小估计值的误差，直到误差可 以接受为止。,122,一、典型实例 已知：,其余如图。1.求平衡且无摩擦时2.若B点f=0.2，轴径2cm，求,分析： 无摩擦时，根据虚位移原理有：,1、先假设无摩擦时，求出B点约束反力。,123,、应用虚位移原理,、根据第一步方法求约束反力，,根
26、据第二步方法求得：,、重复上一步计算,注意 对于有摩擦的平衡问题，一般解是一范围值。,124,逐次逼近法计算过程（一般应用于逐次逼近法都是对考虑摩擦时的问题） ：,首先进行无摩擦的系统计算，一般是应用虚位移、达朗伯原理等，求出目标理想值；,根据理想值引入摩擦后对系统进行校正，原理方法同，计算带有摩擦的校正惯性力、力矩，重新计算目标值；,重复过程，比较目标值的变化，直到目标计算精度符合要求为止。这里一般精度有两种，准确到几位有效数字和相对误差在一定百分比之内。,125,例：已知,分析1 先假设无摩擦时,水平面运动，只考虑处转动摩擦，求 。（设此时为初始启动位置）,可以看出，如果摩擦不影响运动的话
27、力矩1为驱动力,126,分析 根据达朗伯原理，有：,件,处约束反力方向如图，大小：,分析 重复上一步,127,第五章 考虑构件弹性时的动力学分析,前面在进行动力学分析时，都是认为目标系统的够构件是刚性的（弹簧除外，一般对弹簧的研究一般都是仅计弹性不计质量），对于大多数情况下这种假设是合理的。,随着机械向轻量化方面的发展，有一部分机构，构件的刚度降低弹性增加，即在运动过程中有必要对“柔性”加以考虑，研究“柔性”变化系统运动学、动力学的影响。（有精度要求，同时铰链等间隙也不得不考虑在内）,齿轮轮齿啮合过程中变形；凸轮机构中从动件受力变形；轴变形（振动）；空间并联柔性机器人变形；,5-1 问题的提出
28、,128,方法：有限元法和KED（kineto-elastodynamic analysis）； Lagrange方程。,变形：,刚体：理论力学，机械原理，刚体动力学等。,小变形：材料力学，机械振动，弹性力学。,弹塑性变形：弹性力学-塑性力学(板壳)。,129,思路：一般境况下，系统中具有弹性变化的构件，如果不考虑构件内部的阻尼，即构件的弹性能可以类似于弹簧势能（质量除外），这时可以对系统引入一个弹性势能进行动力学研究。,根据以上思想可以采用如下拉格朗日方程形似：,5-2 求解思路,130,问题：考虑构件弹性后，应用前面的拉格朗日方程广义力可以解决了，但是系统势能如何表示，即广义坐标如何变化？
29、 考虑系统中构件弹性后，弹性变形是受力、力矩、惯性力和构件形状的的影响，因此动力学问题将复杂化。在应用拉格朗日方程（拉氏方程最大的特点是从能量出发研究动力学问题，忽略不做功的约束和约束反力）时，对于弹性变化要谨慎对待。,一般对具有弹性变化的系统进行动力学研究时，都会对模型进行一定程度的简化，本课程的研究集中于单元杆横向变形、纵向变形和其组合时的问题。,131,5-3 横向变形单元杆的动力学分析,一、单元杆均质，单位长质量为、长为l 的杆，截面积A ，弹性模量为E，有纵向分布力f（x，t）和其上C点集中力FC，节点力 ，其变形分别为 。,分析：广义坐标可以设为,根据拉格朗日方程，需要求出系统动能
30、、势能和广义力。这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。,132,考察系统（单元杆）的边界条件如下：,单元杆在节点上有两个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示,133,二、单元杆的动能 T,三、单元杆的弹性势能 U,134,四、拉格朗日方程,矩阵形式：,135,五、广义力,虚功：,136,5-4 纵向变形的单元杆的动力学分析,一、杆的参数均质，单位长质量为、长为l 的杆，弹性模量为E，有横向分布力f（x，t）和其上C点集中力FC，节点力 ，其变形分别为 。,分析：广义坐标可以设为,根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能，这些量的计算与节点变形、杆变形有关，
31、因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。,137,考察系统（单元杆）的边界条件如下：,单元杆在节点上有四个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示,138,二、单元杆的动能 T,二、单元杆的弹性势能 U,单元杆的横向变形是由剪切变形和弯曲变形共同作用。由于剪切变形相对较小故而忽略，这里的推导仅考虑弯曲变形的作用。,139,弯曲应变能：,140,四、拉格朗日方程,矩阵形式：,141,五、广义力,虚功：,142,5-5 具有横向和纵向变形单元杆的动力分析,考察一具有横向和纵向变形的均质杆，如图：,分析：杆具有六个广义坐标，即横向和纵向叠加。,根据前面的方法，可以用矩阵形式表示杆的动力学方程：,143,
32、根据横向和纵向方程，质量矩阵分别为：,横向和纵向合并后质量矩阵为：,144,根据横向和纵向方程，刚度矩阵分别为：,横向和纵向合并后刚度矩阵为：,145,横向变形方程：,纵向变形方程：,转角方程：,根据以上方程可以求出集中力、分布力和力矩的功，进而得到广义力。,146,例：如图四杆机构，考虑弹性变形,分析：一个独立的单元杆考虑弹性变形的时候有六个广义坐标，但是在系统中，有些广义坐标是非独立的。考察上面的四杆机构：,AB杆：由于A点不动且为原动件（A处转角已知，因此认为没有转角相关的广义坐标），因此AB杆有三个广义坐标，即B点处三个广义坐标。,BC杆：四（6-2）个广义坐标。,CD杆：D点不动，二
33、（4-2）个广义坐标，即D点一个转角，D点三个广义坐标。,5-6 系统弹性运动分析,147,广义坐标如下：A点无B点x，y向坐标 AB杆B点转角 BC杆B点转角C点x，y向坐标 BC杆C点转角 CD杆C点转角D点 CD杆D点转角,以各杆为参考件广义坐标如下：AB杆：B点变形 B点转角BC杆: B点变形 B点转角 C点变形 D点转角CD杆: C点变形 C点转角 D点转角,148,系统节点上变形与单元杆节点变形变化关系：（坐标变换）,分析：单元杆上变形是以横向和纵向给出的，系统广义坐标是根据系统特点定义的，如直角坐标，因此需要一对应关系。,如图则有：,杆1：,149,将上式组合有如下形式：,150,广义力：,1、已知外力、外力矩；,2、B、C点处的约束反力；（B、C处对应的广义坐标的广义力）,问题：如果AB杆有驱动力矩作用，那么对哪个 广义力有影响？,以上题为例，有变形动力学方程13个，变形关联4个（2-2），约束反力4个（B、C点）,151,应用说明：对于一个实际问题，如果考虑弹性变形的时候， 变形量往往与相关力（约束反力）有关。求解基本是采用迭代或近似计算。考虑弹性变形是一个很复杂的动力学过程，除去 一些简单情况，其余往往要借助于相应工具进行 求解。图示机构既为真实机构。,152,153,154,155,156,
