1、自控原理与应用第五章：系统稳定性分析,能源与动力工程学院喻方平Yu_,5.1 稳定性的基本概念,从基本的物理概念上： 系统受到扰动后，输出量y(t)偏离原来的平衡状态；当扰动消除并经过足够长的时间，输出量仍能恢复原平衡状态，系统称为稳定系统。,李雅普诺夫第二方法或李雅普诺夫直接法。,俄国学者李雅普诺夫,5.1 稳定性的基本概念,大范围稳定和小范围稳定,稳定的线性系统，必定是大范围小范围都能稳定。,稳定性是系统的一种固有特性。,对于线性系统的稳定性，关心的是系统方程不受外界输入作用下，方程解在t趋于无穷时的渐近行为。,5.2 稳定的条件,线性系统微分方程：齐次微分方程：设系统k个实根r对共轭复根
2、各次方程的解：,（1）当i和i均为负数时，系统是稳定的。 当0时，表明存在共轭复根，所以系统输出是衰减振荡。0时，输出按指数曲线衰减。,（2）当i和i中有一个或一个以上是正数，系统不可能回到原平衡状态，即系统是不稳定的。,（3）当i中有一个为零，或i中有一个为零，其他的i和i均为负数，当时间趋于无穷时，输出回不到原平衡状态，而是趋于某一常数或者趋于等幅振荡。这是一个“临界稳定状态”。,系统稳定的条件？,5.2 稳定的条件,当i和i均为负数，即特征根的实部为负数，系统是稳定的；,或极点均在左平面。,5.3 代数稳定性判据,定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负实部。因此，判别其稳定性，要
3、解系统特征方程的根。为避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895年）分别提出的代数判据。,稳定性必要条件,（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。,（1）特征方程的各项系数ai都不等于零；,两项为例,5.3.1 劳斯(Routh)稳定性判据,要使全部特征根s1，s2，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：（1）特征方程的各项系数ai=(i=0,1,2,n)都不等于零。（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。,ai一般取正值，上述
4、两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件: 即:ai0。,5.3.1 劳斯(Routh)稳定性判据,满足必要条件，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。所以：同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。,5.3.1 劳斯(Routh)稳定性判据,1 ai0 ;2 劳斯阵列中第一列所有项均为正号;,同时，劳斯判据也指出：第一列各系数符号的改变次数代表特征方程正实部根的数目。,劳斯阵列,某位缺；第一列为零；某行为零；,例p159：设控制系统的特征方程式为,对于特殊情况：,某位缺；第一列为零；某行为零；,例：5-3 p160,思考题：分析劳斯判据与赫尔维茨判据的一致性。,例：如图闭环系统
5、：试求系统稳定的K值范围。,习题：1试画出典型反馈控制系统方块图，并简述其主要元件（或单元）及作用；2 试画出如图系统功能方块图，说明自动控制水位的过程；3 设杠杆比例系数为Kp，浮子和阀杆的传递函数为1，试求闭环传递函数。,输出量变化时会引起水箱水位的变化，带动浮球杠杆的变化，引起输入阀门变化，从而使输入水量随同输出水量的变化而变化，最终使水箱中水位标尺稳定。,分析Q2变化系统的响应,2. 如图双容水箱比例控制系统，设杠杆比例系数为Kp，浮子和阀杆的传递函数为1。（1）双容水箱的传递函数（2）系统框图（3）系统（闭环）传递函数（4）分析杠杆比例系数为Kp对系统过渡过程的影响。,习题讲解：,5
6、.4 Nyquist稳定性判据,1932年Nyquist提出稳定性判据，1940年得到广泛应用。其特点： 1 用开环乃奎斯特图判断系统闭环后的稳定性； 2 解决一些代数（Routh）判据不能解决的（如含延时环节的）稳定性问题； 3 指出系统的稳定性储备，即相对稳定性的定量指标。,5.4.1 引理：米哈伊洛夫(MJIOB)定理（幅角原理） 设n次方程D(s)=0有p个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上，其余n-p-q个根位于左半面，则当以s=j代入D(s)并命从0连续增大到时，复数D(j)的角增量应为：,系统特征方程：,Si可以为实数也可以为复数,S-Si可用矢量表示,J代替S,J,矢量的终
7、点在虚轴上,负实部（左根）,（1）设s1为负实根,（2）设s2，s3为具有负实部的共轭复根,n-p-q个左根总的角度变化量为(n-p-q)/2。,当s= j: =0变化时,令s=j=0,正实部（右根）,当s= j: =0变化时,（4）设sm+1，sm+2为具有正实部的共轭复根,（3）设sm正实根,p个右根的总角变化量为p(-/2)。,由此证明p165引理。,推论：如果n次方程D(s)=0所有的根都位于复平面的左半面，则以s= j代入D(s)，令从0连续增大到时，复数D(s)的幅角连续增大n(/2)。,闭环系统稳定的充要条件是特征多项式对应幅角连续增大n(/2)。,幅角原理:设n次方程D(s)=
8、0有p个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上，其余n-p-q个根位于左半面，则当以s=j代入D(s)并命从0连续增大到时，复数D(j)的角增量应为：,闭环系统,开环传递函数,5.4.2 Nyquist稳定性判据,极点在左平面系统稳定,特征函数与开环传递函数的关系？,闭环系统：,开环传递函数,闭环传递函数,分子分母阶次相同，为n阶。,特征函数：,5.4.2 Nyquist稳定性判据,1 特征函数的零点为闭环系统极点。,2 特征函数的极点为开环系统极点。,闭环系统：,特征函数,特征函数1GH（矢量）相对原点的角变化等同于开环传递函数相对（1，j0）的变化。,5.4.2 Nyquist稳定性判据,
9、1,G(j),G(j),G(j),3,闭环系统：,特征函数,5.4.2 Nyquist稳定性判据,（1）设开环的（极点）均在s左半平面，根据幅角原理 ：,开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为零，闭环后就是稳定的。,这时如果闭环系统是稳定的，即DB(s)的所有零点（系统特征根）均在左半平面：,闭环系统：,特征函数,5.4.2 Nyquist稳定性判据,（2）开环特征多项式有p个根在s右半平面，q个在原点，（n-p-q）个根在s左半面：,开环乃氏图相对（-1，j0）点角变化量为p+q/2时，系统闭环后就是稳定的。,这时如果闭环系统是稳定的，即DB(s)的所有根在左半平面：,乃奎斯特判据： 开
10、环p个特征根为右根，q个零根，则对于系统开环乃氏图，当从0连续增大到变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为p+q/2时，系统闭环后稳定。,例1：某反馈控制系统如右图所示。试问K为何值时，系统稳定。,解：系统开环传递函数为：,p=1，q=0，角度增量为,例2：p169开环传递函数：,P = 0，q = 1，增量应为/2,=0,=0.707,=,稳定,K小,K大,不稳定,闭环系统不稳定。,闭环系统稳定。,例3：开环传递函数：,P=0, q=0,5.4.3 Nyquist稳定性判据的另一种表述,（1）设开环特征方程的根（极点）均在s左半平面，开环乃氏曲线不包含（-1，j0），闭环后就是稳定的。,
11、P170（2）开环特征方程出现零根（开环系统临界稳定），为了一致性，设其为起点在实轴（模无穷小）。（3）开环特征方程有p个根在s右半平面，这时，开环乃氏曲线应包含（-1，j0）p圈，闭环后就是稳定的。,开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为零，闭环后就是稳定的。,开环乃氏图相对（-1，j0）点角变化量为p+q/2时，系统闭环后就是稳定的。,-1，j0,1、稳定；,2、临界稳定,3、不稳定,乃氏图与波德图之间对应关系,5.6 由对数频率特性判断稳定性P179,单位圆,L（）大于0,L（）小于0,如果开环稳定，且在 的所有值下，相角范围都大于 线，那么闭环系统是稳定的。,或相位小于，幅值小于1
12、,与单位圆交点处，定义剪切频率c,A（）大于1,一.相角裕度(Phase Margin),增益剪切频率(Gain cross-over frequency),相角裕度的含义：对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。,若系统稳定： 的轨迹离（1，j0）点越远，则闭环的稳定性程度越高；反之，越低；,5.7 控制系统的相对稳定性,二、幅值裕度Kg (Gain Margin),伯德图上表示幅值裕量时：,-1,如何看图判断？,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Stable System,0,dB,rad/s,则有,即,对应=
13、1 rad/s 处，,故, 90,或根据系统的开环传函：,习题： P192：4(1,2)、6(1,2)、9（1）,2、工程上要求 ；对数幅频特性在 上的斜率应 因此，为保证合适的相位裕量， 上的斜率等于,注：1、上述两个裕量可作为设计准则，但仅考虑一者不行；对于非最小相位系统来说，只有当,闭环稳定。,频域指标 与时域指标 和,通过对大量的开环传函GH（最小相位系统）实验，,且,即开环幅相特性曲线不包围(-1, 0j)点，故闭环系统稳定。,例1.,且,故闭环系统稳定。,故闭环系统不稳定。,故闭环系统稳定。,另一思路：,一个具有实系数的s多项式，解析成线性和二次因子，a、b、c均为实数：,只有a为
14、正线性因子给出的实根为负；只有b、c均为正，二次因子才能给出负实部的根；,和,系统的闭环特征方程为：,即,闭环系统临界稳定！,特征根为：,1）0型系统：,2）型系统：,故闭环系统不稳定。,例3：,即开环幅相特性曲线不包围(-1, j0)点，故闭环系统稳定。,例3：型系统：,即开环幅相特性曲线不包围(-1,j0)点，故闭环系统稳定。,故闭环系统稳定。,例4.,K 1时：,故闭环系统不稳定。,解:,Matlab作图演示,正穿越: 从下向上 负穿越: 从上向下,二、普遍情况：,另一种方法,系统在初始条件为零时，输入一个单位脉冲信号这时系统的输出便是脉冲过渡函数或脉冲响应。,系统的传递函数设特征方程式D(s)=0的不相等的根i展开为部分分式通过拉氏反变换可得,系统微分方程：齐次微分方程：有k个实根r对共轭复根各次方程的解：,5.2 稳定的 充要条件,常系数线性微分方程所描述的控制系统，特征方程式所有的根的实部全为负值。,特征方程式所有的根全部位于s平面的左半部，或称全部是左根,系统具有右根，系统肯定是不稳定的；系统有特征根位于s平面的虚轴上，则此系统处于稳定性的临界状态。,工程意义上讲，特征方程式在虚轴上有根的系统认为是不稳定的系统,知不务多，务审其所知。 孔子家语五仪解,不曰如之何如之何者，吾未知如之何也已矣。,
