1、c+ 容易的实现椭圆曲线加密算法c+ 简单的实现椭圆曲线加密算法椭圆曲线算法椭圆曲线密码体制来源于对椭圆曲线的研究，所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程：y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1)所确定的平面曲线。其中系数 ai(I=1,2,6)定义在某个域上，可以是有理数域、 实数域、复数域，还可以是有限域 GF（pr），椭圆曲线密码体制中用到的 椭圆曲线都是定义在有限域上的。椭圆曲线上所有的点外加一个叫做无穷远点的特殊点构成的集合连同一个定义的加法运算构成一个 Abel 群。在等式mP=P+P+P=Q (2)中，已知 m 和点 P 求点 Q 比较
2、容易，反之已知点 Q 和点 P 求 m 却是相当困难的，这个问题称为椭圆曲线上点群的离散对数问题。椭圆曲线密码体制正是利用这个困难问题设计而来。公钥算法是基于数学函数（如单向陷门函数），公钥密码体制根据其所依据的难题一般分为三类：大整数分解问题类、离散对数问题类、椭圆曲线类。本文是在素域 Zp上的，以 Menezes-Vanstone形式的椭圆加密算法。在素域上的曲线函数为y2 = x 3 +a* x + b a，b 为小于 p 的非负数，且 4*a3+ 27*b2 !=0对于在素域上的加法中，对于所有的点 P,Q 属于 E(Zp),有加法 规则：1。P + O = O + P = P ,P
3、+ (-P) = O;O 为椭圆曲线上的零点或者称为无限远的点，但是 O 在椭圆曲线的加法域上。2.加法的分配率和结合律，对 于 s,t 属于 Zp,有（s + t ）* P = s * P + t* P;3.对于 P = (x1,y1),Q = (x2,y2) ,并且 P != - Q,则 P + Q=（x3，y3），x3 = k2 - x1 -x2;y3 = k*(x1-x3) - y1;k = (y2-y1)/(x2-x1) if P != Q;k = (3x12 + a)/(2*y1) if P = Q;椭圆曲线在素域上的运算用到除法，而在除法的规则是 a / b = c mod p
4、即计算 a x b-1 = c mod p ，其中 b-1 为 b 的乘法逆元， 即 b x b-1 = 1 mod p。对于乘法逆元，当 b 与 p 互素时，存在唯一解，而这里 p 是一个素数，且 b 不可能为 1，则肯定有解。对于求乘法逆元，一般使用欧几里德算法，如下：int getX_1(int x,int mod)int Q,X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,T1,T2,T3;X1 = 1;X2 = 0;X3 = mod;Y1 = 0;Y2 = 1;Y3 = (x%mod + mod) %mod;/获得正整数while(Y3 != 1) Q = X3 / Y3;T1 = X1 - Q
5、 * Y1;T2 = X2 - Q * Y2;T3 = X3 - Q * Y3;X1 = Y1;X2 = Y2;X3 = Y3;Y1 = T1;Y2 = T2;Y3 = T3;return Y2;乘法运算规则：1. 对于任意 k 属于 Zp，有 k * P = P + . + P (k 个 P 相加）2. 对于任意 s,t 属于 Zp，有 s *(t *P) = (s*t)*P对于 Menezes-Vanstone 的椭圆加密算法：1. 产生密钥，任选一个整数 k ,0#include using namespace std;const int k = 9;const int a = 5;co
6、nst int b = 37;const int p = 127;const int r =7;int getX_1(int x,int mod)int Q,X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,T1,T2,T3;X1 = 1;X2 = 0;X3 = mod;Y1 = 0;Y2 = 1;Y3 = (x%mod + mod) %mod;/获得正整数while(Y3 != 1) Q = X3 / Y3;T1 = X1 - Q * Y1;T2 = X2 - Q * Y2;T3 = X3 - Q * Y3;X1 = Y1;X2 = Y2;X3 = Y3;Y1 = T1;Y2 = T2;Y3 = T3;r
7、eturn Y2;/获得其乘法逆元struct pointint x;int y;point A,B;/公钥typedef pair twopoint;bool operator = (point pa,point pb)return pa.x = pb.x point operator + (point pa , point pb)int k;if(pa = pb)k = (3 * pa.x * pa.x + a) * getX_1(2* pa.y ,p) % p ;/必须使用正整数。这里 pa.y的值不能取 0./当取 0时，这就不能进行这个计算了，因为 pa = -pb 了，则，应该进行
8、一个判断。但是，这样的结果是 O，是不在椭圆曲线上的，不能进行输出的值。/这里是有一个周期数在，对于容易一个基值的也就是先给出的 A来说，它有一个周期 n，使 nA = O，而这里所有参数的选取值/都小于 n，使其不会达到 O，保证了不会出错，应该是这样吧。elsek = (pb.y - pa.y) * getX_1(pb.x - pa.x , p) %p;point c;c.x = (k*k - pa.x -pb.x) %p;c.y = (k * (pa.x - c.x) - pa.y)%p ;c.x = (c.x + p) %p; c.y = (c.y + p) %p; return c;point operator * (point n = n -1;for(int i = 1 ; i s;couts;return 0;
