1、第 1 页（共 16 页）“K”字型复习（三等角型相似三角形）引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。课前演练：1. 如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1 ）求证：BDE CFD（2 ）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 2. 如图，等腰ABC 中，AB= AC，D 是
2、 BC 中点，EDF =B，求证：BDE DFE3.（2012朝阳）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 边上一动点（不与 B、C 重合） 连接 AE，过点 E 作 EFAE，交 DC 于点 F（1）求证：ABEECF；（2）连接 AF，试探究当点 E 在 BC 什么位置时，BAE=EAF，请证明你的结论第 2 页（共 16 页）第 3 页（共 16 页）精选例题：例 1.（2015贺州）如图，在 ABC 中，AB=AC=15 ，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合） ，ADE=B= ，DE 交 AB 于点 E，且 tan= ，有以下的结论：ADE ACD；当 CD
3、=9 时，ACD 与DBE 全等；BDE 为直角三角形时， BD 为 12 或 ；0BE ，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）例 2. 如图，在ABC 中，AB=AC=5cm，BC =8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使APM=B；（1 ）求证：ABPPCM；（2 ）设 BP=x，CM=y求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域（3 ）当APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长当堂巩固：练习 1:.（2012 秋洛江区期末）如图，在ABC 中 AB=AC=6cm，BC=8cm点 E 是线段 BC 边上的一动点（
4、不含 B、C 两端点） ，连结 AE，作AED= B，交线段 AB 于点 D（1）求证：BDECEA；（2）设 BE=x， AD=y，请写 y 与 x 之间的函数关系式，并求 y 的最小值（3）E 点在运动的过程中， ADE 能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由第 4 页（共 16 页）2.（1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不ABC58BCPQCBAP与点 、点 重合） ，且保持 .APQ若点 在线段 上（如图 10） ，且 ，求线段 的长；P6若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；xyx（2）正方形 的边长为 （如图 12） ，
5、点 、 分别在直线 、 上（点 不与点ABD5BDP、点 重合） ，且保持 .当 时，写出线段 的长（不需要计算过程，请C901CP直接写出结果）.第 5 页（共 16 页）课后巩固练习：1. 如图，在ABC 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 在 边8ACB10DBCEAC上，且 ADE(1) 求证：ABDDCE ；(2) 如果 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的定义域；xByxx(3) 当点 是 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由C2. 已知：如图，在ABC 中， ， ，点 D 在边 AB5ACB6上， ，点 E 在边 BC 上又点 F 在边 AC 上，ABD且
6、F(1) 求证：FCEEBD ；(2) 当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使 EBDFCS4如果有可能，那么求出 BD 的长如果不可能请说明理由3. 如图，在ABC 中，AB =AC=5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一个大小与B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。（1 ）求证BPDCEP（2 ）是否存在这样的位置，PDE 为直角三角形？若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。4. 如图，在ABC 中，AB =AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点 (与 B、C不重合)，PE
7、 AB 与 E，PF BC 交 AC 与 F，设 PC=x，记 PE= ，PF =1y2（1 ）分别求 、 关于 x 的函数关系式1y2（2）PEF 能为直角三角形吗? 若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。5. 如图，在ABC 中，AB =AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点 (与 B、C不重合)，PE AB 与 E，PF BC 交 AC 与 F，设 PC=x，PEF 的面积为 y。（1 ）写出图中的相似三角形不必证明；（2 ）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；CPEABFCPEABDCPEABFAB CDEAB CDEF第 6 页（共 16 页）（3 ）
8、若PEF 为等腰三角形，求 PC 的长。6. 已知在等腰三角形 中， ， 是 的中点， 是 上的动ABC4,6ACDEBC点（不与 、 重合） ，连结 ，过点 作射线 ，使 ，射线 交射线DEFEADF于点 ，交射线 于点 .EBFH（1 ）求证： ；（2 ）设 .,xy用含 的代数式表示 ；B求 关于 的函数解析式，并写出 的定义域.yx7. 已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1 ）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足BPC A 求证；ABPDPC ，求 AP 的长（2 ）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，
9、PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么：当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx ，CQy ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程） 8. 如图，四边形 ABCD 中，ADBC， ， ， ， ，AMDC ，E、F 分别是线段 AD、AM 上的90B8A12D34tanC动点（点 E 与 A、D 不重合）且 ，设 ， .AMBFExDy（1 ）求证： ；M（2 ）求 与 的函数关系式并写出定义域；yx（3 ）若点 E 在边 AD 上移动时， 为等腰三角形，求 的值；EFx9. 已知在梯形 ABCD
10、中，ADBC，AD BC，且 BC =6，AB =DC=4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；HABC DEFCDABPA EFDB M C第 7 页（共 16 页）（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF=C，PF 交直线 CD于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= ，DF = ，求 关于 的函数解析式，并写出xyx函数的定义域；当 时，求 BP 的长BEPDFS4910. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/ BC，AB=CD=BC =4，
11、AD =2点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作EMF=B，射线 ME 交边 AB 于点 E，射线 MF 交边 CD 于点 F，连结 EF（1 ）指出图中所有与BEM 相似的三角形，并加以证明；（2 ）设 BE=x，CF =y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；EDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）AB CDMEF第 8 页（共 16 页）参考答案：课前演练：1. 解：（1）ABC 是等边三角形，EDF=60B=C =EDF =60EDC =EDF+FDC =B+BED ， BED= FDC ， BDE CFD（2 ） BDE CFD ， 。BD=1，FC=3 ，
12、 CD=5，BE= 。EDF35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。2. 解：AB=AC ，EDF =B ， B=C =EDF ， EDC=EDF +FDC =B+ BEDBED=FDC ， BDECFD ， 又BD =CD， 即FDFEEDF=B ， BDEDFE 。点评：三等角型相似中若点 D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点 D 是底边中点则有三对相似三角形，BDE 与CFD 相似后若得 加上 BD=CD 可证得CCFD 与DFE 相似。3. 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】 （1）有正方形的性质和已知条件证明BAE=FEC
13、 即可证明： ABEECF；（2）连接 AF，延长 AE 于 DC 的延长线相交于点 H，当点 E 在 BC 中点位置时，通过证明三角形全等和等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明BAE=EAF【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，B=C=90 ，BAE+ BEA=90 ，EFAE，AEF=90 ， BEA+ FEC=90 ，BAE=FEC ，ABEECF；（2）E 是中点时，BAE=EAF，理由如下：连接 AF，延长 AE 于 DC 的延长线相交于点H，E 为 BC 中点，BE=CE，ABDH，B=ECH，AEB=CEH，ABEHCE，AE=EH， EFAH，AFH 是等腰三角
14、形，EAF=H，ABDH，H=BAE，BAE=EAF ，当点 E 在 BC 中点位置时，BAE=EAF【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判断和性质以及等腰三角形的判断和性质的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和相似三角形的各种判断方法，此题难度不大精选例题：例 1. 第 9 页（共 16 页）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【专题】压轴题【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；由 CD=9，则 BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边成比例即可求得
15、【解答】解：ADE=B ，DAE=BAD ，ADEABD；故错误；作 AGBC 于 G，ADE= B= ，tan= ， = ， = ，cos= ，AB=AC=15，BG=12，BC=24，CD=9 ，BD=15 ，AC=BD ADE+BDE= C+DAC，ADE=C= ，EDB=DAC，在ACD 与 DBE 中， ，ACD BDE（ASA） 故正确；当BED=90 时，由可知： ADEABD，ADB=AED，BED=90，ADB=90，即 ADBC ， AB=AC ，BD=CD ，ADE= B= 且tan= ，AB=15， = ，BD=12当BDE=90时，易证BDECAD，BDE=90，CA
16、D=90，C= 且cos= ，AC=15 ，cosC= = ，CD= BC=24，BD=24 = ，即当 DCE 为直角三角形时，BD=12 或 故正确；易证得BDECAD，由可知 BC=24，设 CD=y，BE=x， = ， = ，整理得：y 224y+144=14415x，即（y12） 2=14415x，0x ，0BE 故错误故正确的结论为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质进行分类讨论是解决的关键例 2. 【思路分析】第（1） （2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与ABPP
17、CM 相关的结论解：（1）AB=AC ，APM=BAPM=B=CAPC=APM+ MPC=B+BAPBAP=MPC AB CPMAB CPM第 10 页（共 16 页）ABPPCM（2 ） BP=x，CM=y，CP =8-x MCBPA ，yx85x5812)0(（3 ）当 AP=PM 时， PC= AB=5，BP=3 ；当 AP=AM 时，ABPAPM =B= C ， PAM =BAC 即点 P 与点 B 重合，P 不与点 B、C 重合，舍去；当MP=AM 时，MAP =MPA ， MAP ABC ， ， 即85AM85AP，BP= 。85x39点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的
18、方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至ABP 和PCM 中简化运算。当堂巩固：1.【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【分析】 （1）根据BDE= CEA，B=C 证得结论；（ 2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例列出比例式 ，则把相关线段的长度代入即可列出 y 与 x 的关系式注意自变量 x 的取值范围要注明；（3）根据三角形外角性质和三角形的边角关系知 AEAD所以当ADE 是等腰三角形时，分两种情况： 当 AE=DE 时，BDE CEA；当 DA=DE 时，BAEBCA所以根据全等三角形
19、和相似三角形的性质来求线段 BE 的长度【解答】 （1）证明：BDE=180 DEBB， CEA=180DEBAED，又B=AED，BDE= CEA， AB=AC， B=C，BDE CEA；（2）解：BDE CEA， ，即 ， = （0x8） ， 当 x=4，y 有最小值是 ；（3）解：ADE 是BDE 的外角， ADEB， B=AED，ADEAED ，AE AD当 AE=DE 时，得BDECEA， BE=AC=6cm；当 DA=DE 时，BAE=AED=C，又 B=B，BAEBCA， ，即： ，ADE 为等腰三角形时， 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最
20、值等知识点解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解2. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不第 11 页（共 16 页）变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。解：（1） ， ， .BAPCPQAABCQCQP又 ， . . .BP ， ， ， ， ， .586268512（2）若点 在线段 上，由（1）知 . ， ，PCABCx8C ，又 ， ， ，即 .xBCyQ5yxy52故所求的函数关系式为 ，
21、 .xy582)80(若点 在线段 的延长线上，如备用图.P ， ，CPABQPABA， .又 ， ， ，180CQ180ACB. . . ， ，PCQABPBAxPxP8， ，5y ，即 .xy8x5812)0(（2）当点 在线段 上， ，或 .PBC2P25BP当点 在线段 的延长线上，则点 在线段 的延长线上， .QDC253BP当点 在线段 的延长线上，则点 在线段 的延长线上， .PCB 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变” 。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可
22、以沿用原来的方法求解。ABC备用图PQ第 12 页（共 16 页）课后巩固练习：1. 解：（1）AB= AC B=C ， ADC=ADE +CDE=B+BADBAD =CDEABDDCE 。（2 ） ABDDCE 。 ， ， ADExyAExDC10yx8 84512xy)10(（3 ） ， 是 的中点AD BC DAE+ ADE=90 ，ADE 是ACB EA直角三角形。2. 解：（1）AB=ACB =C ， BED +DEF =C+EFC =90又 BED = EFC， FCEEBDDEF（2 ） BD =x， BE= ， ，FCEEBD 若35xE3562)(BDCSEFEBDFS4 ，
23、 BD 不存在。4)6(2x1813. 解：（1）AB= AC B=CDPC =DPE+ EPC= B+BDP EPC =BDP ABD DCE（2）DPE= B 90若PDE=90，在 RtABH 和 RtPDE 中，cosABH =cosDPE= ，PC=4 53PEDAH53PCB 512BD若PED=90在 RtABH 和 RtPDE 中cosABH =cosPED= 53PDEABH35PCBPC=4 （舍去） 。综上所述，BD 的长为 。5320D124. 解：（1） 、 524)6(41xy xy3（2）FPE= B 90若PFE=90，在 RtABH 和 RtPFE 中CPEA
24、BDHCPEABDHCPEABFH第 13 页（共 16 页）cosABH=cosFPE= 53PEFABH12y5324x172x若PEF=90，在 RtABH 和 RtPFE 中cosABH=cosFPE= 53 3512y324xx5. 解：（1）PEBEPC（2 ） PC=x ， ，PF3)6(5xE)6(2514xEPH )(73214Hy即 x6752)0(（3 ）当 PE=PF 时，EPCPEB，PC= BE=x， 5649x当 PE=EF 时， ，cosEPH=cos B， PFH3213)(2x108当 FE=PF 时， ， cosFPM=cos B， )6(52xEM534
25、6x2综上所述，PC 的长分别为 、 、 。49310826. 解：（1） , ABCCDEFAH又 , EDFH（2） ，A 是 的中点， ， ，又 63,4CExB当 点在线段 的延长线上时， ， HB4xBH9CPEABFHCPEABFGHM第 14 页（共 16 页）当 点在线段 上时， ，HAB34xBH94x过点 作 DG AB,交 于点 DCG ， ，当 点在线段 的延长线上时，12GCAB,2AB， 。当 点在线段 上时，F94yx189094x，HGD 942yx81942x7. 解：（1）证明： ABP180AAPB，DPC 180BPCAPB ，BPC A， ABPDPC
26、 在梯形 ABCD 中，AD BC，ABCD ， A D ABPDPC解：设 AP x，则 DP5 x ，由ABPDPC，得 ，即CPB25x解得 x11 ，x 24 ，则 AP 的长为 1 或 4（2 ） 解：类似（1），易得ABPDPQ ， DQA即 ，得 ，1x 4yx2525xAP 2 或 AP3 8. 证明：（1）过点 M 作 交 于 GAD A/DCCB8B,90 tanta M346AD/BC，AB/MG AG=BM=6AD=12 AG=GD AM=DMAGD(2) MBFEFEEFAMCDAB P QE第 15 页（共 16 页） 222 6)-(8EM1086Ax yxx22
27、)6(8)6(810 定义域为：5y2x0(3) EMFMFAEF若 为等腰三角形，则 EF=EM 或 EF=FM 当 EF=EM 时,12- =10 =2x当 EF=FM 时 AE=EM MEFE 226)-(x8-1319. 证明：（1）在梯形 ABCD 中，ADBC ，AB=DC，B =C BE=2,BP=2,CP=4,CD=4， ，BEPCPD CDP(2) 又EPF=C=B，FEBEPF FPCBEBEPCPF， ， （ ）462yx4321x2当点 F 在线段 CD 的延长线上时FDM=C=B， ，BEPDMF FMDPCE， EPDMFS49xyF23又 ， ，0， 此方程无实数
28、根，21xy8故当点 F 在线段 CD 的延长线上时，不存在点 P 使 BEPDMFS49当点 F 在线段 CD 上时，同理 BEPDMF， ，又BEPCPF ，BEPDMFS49xyF23Cyx462 ， ，解得 ，321xy0891x82由于 不合题意舍去， ，即 BP=1，所以当 时，BP 的长为 181xBEPDMFS4910. 解：（1）CMFBEM，MEFBEM证明如下：在梯形 ABCD 中，ADBC ，AB=CD，B=C又EMF+ FMC=B+ BEM，EMF=B，FMC=BEM第 16 页（共 16 页）CMF BEM CMBEF又CM=BM， EMF=B，MEF BEM（2 ） CMFBEM， BM=CM=2， 所求函数的解析式为 ， （ ） 。yx2xy41
