1、放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和一先求和后放缩例1正数数列 的前 项的和 ，满足 ，试求：（1）数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项的和为 ，求证：解：（1）由已知得 ， 时， ，作差得：，所以 ，又因为 为正数数列，所以 ，即 是公差为2的等差数列，由 ，得 ，所以（2） ，所以注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前 项和能直接求和或者通过变形后求
2、和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列 满足条件 ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和二先放缩再求和1放缩后成等差数列，再求和例2已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,且 .(1) 求证： ；(2)求证：解：（1）在条件中，令 ，得 ， ，又由条件有 ，上述两式相减，注意到 得 所以， ，所以（2）因为 ，所以 ，所以；2放缩后成等比数列，再求和例3 （1）设 a，nN *，a2，证明： ；（2）等比数列a n中， ，前 n 项的和为 An，且 A7，A 9，A 8成等差数列设，数列b n前 n 项的和为 Bn
3、，证明：B n 解：（1）当 n 为奇数时，a na ，于是， 当 n 为偶数时，a 1 1，且 ana 2，于是（2） ， ， ，公比 3放缩后为差比数列，再求和例4已知数列 满足： ， 求证：证明：因为 ，所以 与 同号，又因为 ，所以 ，即 ，即 所以数列 为递增数列，所以 ，即 ，累加得： 令 ，所以 ，两式相减得：，所以 ，所以 ，故得 4放缩后为裂项相消，再求和例5在 m（m2 ）个不同数的排列 P1P2Pn 中，若 1 i j m 时 Pi P（即前面某数大于后面某数） ，则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序 .一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数 . 记排列 的逆序数为 a
4、n，如排列 21的逆序数 ，排列 321的逆序数 j（1）求 a4、a 5，并写出 an 的表达式；（2）令 ，证明 ，n=1,2,.（2）因为 ，所以 .又因为 ，所以= .综上， .注：常用放缩的结论：（1）（2） 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式如例要证明的结论 、 为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论 为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论 为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可
