1、矩阵方程求解方法 本文所述的矩阵方程是指形如 Ax=b 的方程，其中 A 是一个 mxn 的矩阵，称为方程的系数矩阵。 x 和 b 是 mx1 的矩阵。特别的，当 b=0 时，这种方程又称为齐 次方程。本文将讨论这种矩阵的有解条件和求解方法。 矩阵方程的有解 条件 为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。 一个矩阵方程的 增广矩阵 是系数矩阵 A 和 b 并在一起构成的矩阵 ，记作 (A,b)。 假定 , ,则矩阵方程的增广矩阵就是 矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩是 r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个 r 阶单位矩阵，其他
2、都是 0 的矩阵。矩阵 A 的秩记作 r(A)，其中 r 是英文单词 rank 的缩写。 有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了： 矩阵方程 Ax=b 的有解条件是矩阵 A 的秩等于增广矩阵 (A,b)的秩，也就是 r(A)=r(A,b)。 证明很简单，既然矩阵 A 的秩是 r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵 P,Q，满足 -1) 其中 Ir 表示 r 阶单位矩阵。 应用到原来的方程，可以得到 : -2) 我们把 Q-1x 当作一个未知的变量， PAQ 当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。而这个矩阵方程的左侧系数除了前 r 行是有 1 的之外，其余行是 0。为了它有解， P
3、b 的后 m-r 行必须也是 0。这样 (A,b)的秩必然是 r。 必须注意到 Q-1 是可逆的，因此以 Q-1x 为未知变量的方程有解意味着以 x 为未知变量的原方程也是有解的。 矩阵方程的解 对于矩阵方程 Ax=b，如果满足 r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。 为了求它的解， 我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文 2）式的形式，代入 1）式后得到： -3) 其中 Q-1x 和 Pb 是一个列向量，我们可以把它们分割成 rx1 和 (n-r)x1 的两个矩阵，分别记作 x1 和 x2，及 b1 和 b2。 则很显然我们可以得到： -4) 很显然， b2 必须为 0，因为展开后 b2 等于 0 x1 +0 x2 =0 而由 4 式可以看出， x1= b1， x2 可以为任意向量。 所以方程最后的解为： -5) 从解的形式可以看出解空间有如下特性： 1 方程 Ax=b 的解空间的秩是 n-r(A) 2 如果 A 是满秩的，则方程的解唯一。
