1、树的基本性质,定义 一个连通且不含闭迹的无向图称为树,例子 下面哪些图是树？, 1 , 2 是树， 3 , 4 不是树,定义 一个不含闭迹的无向图称为森林,一个森林的每个连通分支都是树,性质 1 若图 是树, 的结点数为 , 边数为 . 则,=1,证明 用数学归纳法，对结点数 作归纳,假设 =1.,假设当 = 时命题成立 (1), 即任意具有 个结点的树都有 1 条边 (归纳假设),设树 的结点数 =+1, 边数为 ,因为 中无闭迹, 由前面学到的引理, 中必存在度数为 1 的结点, 设这个结点为 .,令 =,则 仍是树，设 有 个结点,故 有 1 条边 (归纳假设),从而 = 1 +1=1,
2、则 =0, =1 成立,性质 2 若图 是森林， 的结点数为 , 边数为 , 连通分支的个数为 . 则 =,推论 若图 不含闭迹，则 1,证明 设 的连通分支为 1 , , ,设 的结点数为 , 边数为 , =1,由性质 1, 有 = 1,故 = 1 + = 1 1 + 1,= 1 + =,定理 设图 的结点数为 , 边数为 . 若满足 =1 且 连通 ，则 是树 若满足 =1 且 不包含闭迹，则 是树,例 饱和碳氢化合物(获称烷烃)与树,我们可用图去表示分子的结构: 用结点代表原子, 用边代表原子间的化学键,饱和碳氢化合物是指具有分子式 C H 2+2 的化合物(如甲烷, 乙烷),证明：饱和
3、碳氢化合物分子所对应的图是树,分子式为 C H 2+2 的分子具有 个度数为 4 的结点，2+2 个度数为 1 的结点,结点数 ：+2+2=3+2,边数 : 4+ 2+2 2 =3+1,证明 显然一个分子所对应的图是一个连通图,因此有 =1,故饱和碳氢化合物分子所对应的图是树,证明：,定理 设图 的结点数为 , 边数为 . 若满足 =1 且 连通 ，则 是树 若满足 =1 且 不包含闭迹，则 是树,a. 我们需要证明 不包含闭迹. 用反证法,假设 包含闭迹,若 1 中还有闭迹，则继续去掉 1 的闭迹中的一条边得到连通图 2,按照这个方法不断地去掉闭迹中的边，最终可以得到连通图 , 不包含闭迹。设 的结点数为 ,边数为 ,去掉 的闭迹中的一条边得到连通图 1,由性质 1, 有 = 1,=1,=,矛盾,设 有 个连通分支，由性质 2, =,而 =1,故 =1, 是连通的,b. 我们需要证明 连通,
