1、,第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,当,一、 无穷小,定义1 (P39). 若,时 , 函数,则称函数,例1 (P39) :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,说明 (P39):,2、 0是可以作为无穷小的唯一常数,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、无穷小不是很小的数,定理1,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 (P39
2、) . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷大,二、 无穷大,定义2 (P40) . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,注意(P40):,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例(P42题6), 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,例 2 (P40)
3、. 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明(P41):,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小无穷大关系,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2 (P41). 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2证明,证 设,取,当,时，有,即,所以,为当,时的无穷小.,反之，设,且,取,当,时，有,由,得,所以,为当,时的无穷大.,内容小结,内容小结,1
4、. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,3. 无穷小与无穷大的关系,思考与练习,P42 题1 , 3,P42 题3 提示:,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1 (P43). 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小
5、 !,例如，,( P56 , 题 4 (2) ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2,定理2 (P43) . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 (P44) . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 (P44) . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,例1 (P48例8). 求,解:,利用定理 2 (P43) 可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限四则运算法则,二、 极限的四则运算法则,则有,定理
6、3 (P44). 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明(P45): 定理 3 可推广到有限个函数相加、减、 乘的情形 .,推论,推论 1 (P45) .,( C 为常数 ),推论 2 (P45).,( n 为正整数 ),例2 (P46). 设 n 次多项式,试证,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4,定理4 (P45) . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 (P44) 直接得出结论 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,x = 3 时分母为 0 !,例3 (P46). 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明 (P47
7、): 若,不能直接用商的运算法则 .,例如.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,例4 (P47) . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由P41定理2有,例5,例5 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有理分式极限一般结果,一般有如下结果(P48)：,为非负常数 ),( 如P47 例5 ),( 如P47 例6 ),( 如P47 例7 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数极限运算,定理6 (P48). 设,且 x 满足,时,又,则有,说明(P
8、49): 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7,三、 复合函数的极限运算法则,例7. 求,解: 令,已知,( 见 P47 例3 ), 原式 =,( 见 P34 例5 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同
9、除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3题,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4题,4. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,作业,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
