1、 一对一个性化辅导数列通项公式的求解方法一、公式法例 1 已知数列 na满足 123nna， 12，求数列 na的通项公式。二、累加法例 2 已知数列 na满足 112na， ，求数列 na的通项公式。例 3 已知数列 n满足 113nn， ，求数列 n的通项公式。例 4 已知数列 na满足 112nnaa， ，求数列 na的通项公式。三、累乘法例 5 已知数列 na满足 112()53nna， ，求数列 na的通项公式。例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 n满足11231()(2)n naaa，求 a的通项公式。一对一个性化辅导四、待定系数法例 7 已知数列
2、 na满足 112356nna， ，求数列 na的通项公式。例 8 已知数列 n满足 114nn， ，求数列 n的通项公式。例 9 已知数列 na满足 21 135nana， ，求数列 na的通项公式。五、对数变换法例 10 已知数列 na满足 5123nna， 17，求数列 na的通项公式。六、迭代法例 11 已知数列 na满足 3(1)25nna， ，求数列 na的通项公式。七、数学归纳法例 12 已知数列 na满足 1 1228()8139nnaa， ，求数列 na的通项公式。八、换元法例 13 已知数列 na满足 1 1(42)6nnnaa， ，求数列 na的通项公式。九、不动点法例
3、14 已知数列 na满足 1124nna， ，求数列 na的通项公式。一对一个性化辅导例 15 已知数列 na满足 11723na， ，求数列 na的通项公式。十、特征根法例 16 已知数列 na满足 11123()nnaa， ，求数列 na的通项公式。一对一个性化辅导习题练习1在数 1 和 100 之间插入 n个实数，使得这 2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作 T，再令 ,lgaT1 .（）求数列 na的通项公式；（）设 1tnb求数列 nb的前 项和 nS.2 已知等比数列 na的公比 3q，前 3 项和 31() 求数列 的通项公式；() 若函数 ()si(2)0,)fx
4、A在 6x处取得最大值，且最大值为 3a，求函数 的解析式3. 设 0,b数列 n满足 11=,(2)nnba,(1)求数列 na的通项公式；(2)证明：对于一切正整数 n,12nba4. 已知数列 n的前 项和为 nS，且满足： 1a(0)， nrSa1 (N*，,1)rR.（）求数列 na的通项公式； （）若存在 k N*，使得 1kS， ， 2k成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且 2， 1m， ， 2ma是否成等差数列，并证明你的结论.5. 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列一对一个性化辅导nb中的 3、 4、 5b。(I) 求数
5、列 n的通项公式；(II) 数列 的前 n 项和为 nS，求证：数列 54nS是等比数列。6.（本小题满分 16 分）设 M 为部分正整数组成的集合，数列 na的首项 1，前 n 项和为 nS，已知对任意整数 k 属于 M，当 nk 时， )(2kknSS都成立.（1）设 M=1 ， 2a，求 5的值；（2）设 M=3，4 ，求数列 n的通项公式.7. 已知两个等比数列 na， b，满足 )0(1a， 11ab， 22，33ab.（1）若 ，求数列 n的通项公式；（2）若数列 n唯一，求 a的值.8. 已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10（I）求数列 an的通项公式；（II）求数
6、列 12na的前 n 项和9. 等比数列 na的各项均为正数，且 21362,9.aa（)求数列 的通项公式；（）设 31323logl.log,n nbaa求数列 1nb的前 n 项和.10. 设等差数列 n满足 35， 109。（）求 a的通项公式； 一对一个性化辅导（）求 na的前 项和 nS及使得 n最大的序号 的值。11. 设数列 n满足 10且 1nna.（）求 na的通项公式；（）设 1nnb，记 1nkSb，证明： 1nS.12在数列 na中， 10，且对任意 kN， 2121,kka成等差数列，其公差为kd（）若 2k，证明 212,kka成等比数列；（）若对任意 N， 成等
7、比数列，其公比为 kq() 设 1q,证明 1k是等差数列;() 若 2a,证明23nka.13. 在数列 n中， 10，且对任意 N， 2121,kka成等差数列，其公差为2k（）证明 456,a成等比数列；（）求数列 n的通项公式；（）记223nTaaL证明 32nT14. 已知数列 n满足： 21且 nan11（ N）一对一个性化辅导（）求证：数列 1na为等比数列，并求数列 na的通项公式；（）证明： 2.321 an（ N） 。15. 已知公差不为 0 的等差数列 na的首项为 )(Ra，且 1， 2a， 4成等比数列（）求数列 na的通项公式；（）对 *N，试比较 naa23221
8、.1与 的大小16. 已知 na是以 a 为首项， q 为公比的等比数列， nS为它的前 n 项和（）当 1S、 3、 4成等差数列时，求 q 的值；（）当 m、 n、 l成等差数列时，求证：对任意自然数 k， mka、 nk、lk也成等差数列17. 已知数列 na中， nS是其前 项和，并且 1 142(,)nSa ，设数列 ),21(1b，求证：数列 nb是等比数列；设数列 ,2ncn，求证：数列 nc是等差数列；求数列 na的通项公式及前 项和。18. 数列 中， ,841且满足 nnaa12 *N 求数列 n的通项公式；设 |21naS ，求 nS；设 nb= )(n )(),( *2
9、1* NbbTNn ，是否存在最大的整数 m，使得对任意 *，均有 n3m成立？若存在，求出 m的值；若不一对一个性化辅导存在，请说明理由。19. 在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),(21 nyxPyxP，对一切正整数 n，点 nP位于函数 43xy的图象上，且 n的横坐标构成以 25为首项，1-为公差的等差数列 n。求点 n的坐标；设抛物线列 ,321ncc中的每一条的对称轴都垂直于 x轴，第 n条抛物线 nc的顶点为 nP，且过点 )10(2D，记与抛物线 nc相切于 D的直线的斜率为 k，求： nkk1321 。设 1,4|,| nyTNnxS ，等差数列 na的任一项 Tan
10、，其中 1a是 S中的最大数， 25260a，求 的通项公式。一对一个性化辅导例题答案解析例 1解： 23nna两边除以 12n，得 132na，则 132na，故数列是以 1为首项，以 3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得()22n，所以数列 na的通项公式为 ()nna。评注：本题解题的关键是把递推关系式 123nn转化为 132na，说明数列 2na是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ()n，进而求出数列 n的通项公式。例 2解：由 12na得 12na则23212()()()()211()()aannn 所以数列 a的通项公式为 2na。评注：本题解题的关键是把递推关
11、系式 12na转化为 12na，进而一对一个性化辅导求出 12321()()()()nnaaaa ，即得数列 na的通项公式。例 3解：由 1231nna得 231nna则12321211()()()()333()(3nnnnn a 所以 1.na评注：本题解题的关键是把递推关系式 1231nna转化为 1231nna，进而求出 122()()()()nna ，即得数列 na的通项公式。例 4解： 1321nna两边除以 13n，得 1123nna，则 11nn，故 2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaa一对一个性化辅导因此1(3)2(1)213 3n
12、n na，则 .nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 1321nna转化为11233nna，进而求出1223211()()()()3n nna a，即得数列 3na的通项公式，最后再求数列 n的通项公式。例 5解：因为 112()53nnaa， ，所以 0na，则 12()5nn，故132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnn 所以数列 na的通项公式为(1)235!.nna评注：本题解题的关键是把递推关系 1()nna转化为 12()5nn，进而求出 13212naa ，即得数列 n的通项公式。例 6解：因为 1231()(2)n naaa 一对一个性化辅导所以
13、1231()n naaa 用式式得 1.nn则 1()2)nna故 1()n所以 13222 !(1)43.naanna 由 1231()()n n ， 212a取 得 ，则 1，又知 a，则 ，代入得 !345na 。所以， n的通项公式为 !.2n评注：本题解题的关键是把递推关系式 1()2)nna转化为1(2)na，进而求出 3212n ，从而可得当 na时 ， 的表达式，最后再求出数列 na的通项公式。例 7解：设 1152(5)nnnaxax将 123nn代入式，得 13525n nnxax，等式两边消去a，得 1525nx，两边除以 ，得 ,1,则 代入式得一对一个性化辅导152(
14、)nnaa由 160及式得 50na，则152na，则数列 5na是以15a为首项，以 2 为公比的等比数列，则 1n，故 1n。评注：本题解题的关键是把递推关系式 1235nna转化为152()nnaa，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 5na的通项公式，最后再求出数列 n的通项公式。例 8解：设 1123(2)nnnnaxyaxy将 1354nn代入式，得123(2)nnn naxyaxy整理得 (5)4n。令 234xy，则 52xy，代入式得115()nnnaa由 1230及式，得 5na，则11523nna，故数列 2n是以 1为首项，以 3 为公比的等比数列，因此 153nn
15、a，则 1352nnna。一对一个性化辅导评注：本题解题的关键是把递推关系式 13524nna转化为11523(52)nnnaa，从而可知数列 n是等比数列，进而求出数列 n的通项公式，最后再求数列 的通项公式。例 9解：设 2 21()(1)()n naxynzaxyz 将 21345n代入式，得22 2(1)()()n naxnyzaxyz，则2 2(3)45n nx等式两边消去 na，得 2 2(3)(4)(5)yxyzxnyz，解方程组 2452xyz，则3108xz，代入式，得2 213()0(1)(3)n nana 由 2180及式，得 23108na则213()0(1)2nan
16、，故数列 2n为以2183为首项，以 2 为公比的等比数列，因此1302nna，则 43108na。评注：本题解题的关键是把递推关系式 2145nn转化为2 213()0(1)8(308)nana，从而可知数列一对一个性化辅导23108na是等比数列，进而求出数列 23108na的通项公式，最后再求出数列 n的通项公式。例 10解：因为 511237nnaa， ，所以 10nna， 。在 5123nnaa式两边取常用对数得 lgllg2n设 1l()5(l)n naxyaxy11 11将式代入11 式，得 lgl3g2()5(lg)n nxnyaxy，两边消 11去 5lgna并整理，得 (3
17、)5xy，则l3g25xy，故lg43216y代入11 式，得 1lglglg3lg2l()5()444164n naa 12 1112由 lg3l2l3l2710466a及12 式， 12得 llg014n，则1l3l2lg()65g44na，所以数列 l3l216na是以 lg3l27416为首项，以 5 为公比的等比数列，则 1ggl (l)44n，因此一对一个性化辅导1111 16 6444411 661444455lg3l2lg3lg2lg(7)5llll(32)lg(32)lg7(nnnn nna1641)l32nnn则11545647nna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递
18、推关系式 5123nnaa转化为1lg3lg2lg3lgl()5()4164464n na，从而可知数列是等比数列，进而求出数列 llg2164n的通项公式，最后再求出数列 na的通项公式。例 11解：因为 3(1)2nna，所以 121323(1)3nnaa2(2)13(2)13()()112(3)2(1)()12(1(2)3()!nnnn nnnnaa 又 15，所以数列 na的通项公式为(1)23!5nna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 3(1)2nna两边取常用对数得 1lg()lgnna，即 1l3()2nn，再由一对一个性化辅导累乘法可推知(
19、1)23!13212lglgl lg5nnaa，从而1()3!25na。例 12解：由 1228(1)3nna及 189a，得21223422()458183()(3)9041a由此可猜测 2(1)na，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当 时，21()89，所以等式成立。（2）假设当 nk时等式成立，即2(1)ka，则当 1nk时，1228(1)3kak一对一个性化辅导222222222(1)8(1)3()()138(1)()()()31()kkkkk由此可知，当 1nk时等式也成立。根据（1） ， （2）可知，等式对任何 *nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列
20、的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。例 13解：令 124nnba，则 21()4nb故 11()nna，代入 14)6nnna得221)4()46nnbb即 221(3n因为 40nnba，故 11240nnba则 123n，即 13nn，可化为 1()2nnb，所以 3n是以 11432413a为首项，以 21为公比的等比数一对一个性化辅导列，因此 1232()nnnb，则 21()3nb，即 214()3na，得1()4na。评注：本题解题的关键是通过将 124na的换元为 nb，使得所给递推关系式转化132nnb形式，从而可知数列 3b为等比数列，进而求出
21、数列 3nb的通项公式，最后再求出数列 na的通项公式。例 14解：令 214x，得 204x，则 123x， 是函数()f的两个不动点。因为124214(1)326139733nn nnnnnaaa。所以数列 23na是以 124a为首项，以 93为公比的等比数列，故 12()9nna，则13()9nn。评注：本题解题的关键是先求出函数 214()xf的不动点，即方程 214x的两个根 123x， ，进而可推出 139nnaa，从而可知数列 3na为等比数列，再求出数列 na的通项公式，最后求出数列 n的通项公式。例 15解：令 723x，得 240x，则 1x是函数 31()47xf的不动
22、点。一对一个性化辅导因为 172513nnna，所以12212(1)555nnn nnaa，所以数列 na是以 12为首项，以 为公差的等差数列，则12()5n，故 83na。评注：本题解题的关键是先求出函数 1()47xf的不动点，即方程 723x的根1x，进而可推出 125nna，从而可知数列 na为等差数列，再求出数列 na的通项公式，最后求出数列 na的通项公式。例 15解： 113(2)nna的相应特征方程为 2310，解之求特征根是1255，所以 125nac。由初始值 12a，得方程组111223535()()cc求得 125c一对一个性化辅导从而 5235235()()nnna。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 21c， ，从而可得数列na的通项公式。
