概率论答案---李贤平版---第二章.doc-道客多多

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1、概率论计算与证明题 46第二章条件概率与统计独立性1、字母 M，A，X，A，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序 MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。3、若 M 件产品中包含 m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。4、袋中有 a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（）。35、从0

2、，1，2，9中随机地取出两个数字，求其和大于 10 的概率。6、甲袋中有 a 只白球，b 只黑球，乙袋中有吸白球，吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的 N 个袋子，每个袋子中将有 a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币 n 回，第一回出正面的概率为 c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为 p，求第 n 回时出正面的概率，并讨论当时的情况。n9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入

3、另一袋中，这样进行了若干次。以 pn，qn，rn 分别记在第 n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出 pn+1，qn+1 ，rn+1 用 pn，qn，rn 表出的关系式，利用它们求 pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当n时的情况。10、设一个家庭中有 n 个小孩的概率为 ,0,1npan这里。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭pap/)1(0,有个男孩的概率为。)1(k 1)2(kk11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。12、已知产品中 9

4、6%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。概率论计算与证明题 4713、设 A，B，C 三事件相互独立，求证皆与 C 独立。BA,14、若 A，B，C 相互独立，则亦相互独立。CBA,15、证明：事件相互独立的充要条件是下列 2n 个等式成立：n,21，)()()(2121 nnAPP 其中取或。iAii16、若 A 与 B 独立，证明中任何一个事件与中任何一个事件是相互独立的。,A,B17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中

5、概率分别为 0.4，0.5，0.7，试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。18、设相互独立，而，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件n,21 kpP)(中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。19、当元件 k 或元件或都发生故障时电路断开，元件 k 发生故障的概率等于 0.3，而元件 k1，k212k发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。20、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于 0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于 0.8，第一台车床制造了两个

6、零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。22、掷硬币出现正面的概率为 p，掷了 n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？24、甲，乙均有 n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。25、在贝努里试验中，事件 A 出现的概率为 p，求在 n 次独立试验中事件 A 出现奇数次的概率。26、在贝努里试验中，若 A 出现的概率为 p，求在出现 m 次 A 之前出现 k 次 A 的概率

7、。27、甲袋中有只白球和一只黑球，乙袋中有 N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交1N换放入另一袋中去，这样经过了 n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论 n时的情况。28、某交往式计算机有 20 个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为 0.7，求有 10 个或更多个终端同时操作的概率。29、设每次射击打中目标的概率等于 0.001，如果射击 5000 次，试求打中两弹或两弹以上的概率。概率论计算与证明题 4830、假定人在一年 365 日中的任一日出生的概率是一样的，在 50 个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少？31、一本 500 页的书，共有 5

8、00 个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每 1 毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入 5 只试管中，每试管放 2 毫升，试求：（1）5 只试管中都有细菌的概率；（2）至少有 3 只试管中有细菌的概率。33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一车的概率。34、若每蚕产 n 个卵的概率服从普阿松分布，参数为，而每个卵变为成虫的概率为 p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出 k 只小蚕的概率。35、某车间宣称自己产品的合格率超过 99%，检验

9、售货员从该车间的 10000 件产品中抽查了 100 件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？36、在人群中男人患色盲的占 5%，女人患色盲的占 0.25%，今任取一人后检查发现是一个色盲患者，问它是男人的概率有多大?37、四种种子混在一起，所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35，各种种子不同的发芽率是： 2%，3%，4%，5%，已从这批种子中任送一粒观察 ,结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少?38、对同一目标由 3 名射手独立射击的命中率是 0.4、0.5,和 0.7，求三人同时各射一以子弹而没有一发中靶的概率?39、有两个袋子，每个袋子装有 a 只黑球，b 只白球

10、，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一黑球的概率是多少？40、已知产品中 96%是合格的，现有一种简单的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。41、某射手用三支枪各向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为，结果恰有,ABC 0.4,3.5两弹中靶，问枪射中的概率为多少?42、已知产品中 96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概

11、率。43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个白球和两个黑球。此三个盒子外形相同，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的概率。44、用血清蛋白的方法诊断肝癌，令 “被检查者患有肝癌” ， “判断被检查者患有肝癌”。设CA现有一个人诊断患有肝癌，求他确有肝癌的概率。()0.4, (/)0.95,(/)0.9,PCAP概率论计算与证明题 4945、一批零件共 100 个，次品有 10 个。每次从其中任取 1 个零件，菜取 3 次，取出后不放回。示第 3次才取得合格品的概率。46、10 个零件中有 3 个次品，7 个合格品，每次从其中任取

12、 1 个零件，共取 3 次，取后不放回。求：（1）这 3 次都抽不到合格品的概率；（2）这 3 次至少有 1 次抽到合格品的概率。47、一批产品中有 15%的次品。进行独立重复抽样检查，问取出的 20 个样品中最大可能的次品数是多少？并求其概率。48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布。求（1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数不超过 10 的概率。49、有一汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001。在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于的概率。50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量服

13、从参数的泊松分布。问在月X4初进货时，要库存多少件才能以 99。2%的概率充分满足顾客的需要？51、从某厂产品中任取 200 件，检查结果发现其中有 4 件废品。我们能否认为该产品的废品率不超过0.005？52、若是三个独立的事件，则亦是独立的。,ABCABC.53、设 P(A)0，若 A 与 B 相互独立,则 P(B| =P(B)。)54、若相互独立，则和及与亦独立。, -55、设 P(A)0, P(B)0，证明 A 和 B 相互独立与 A 和 B 互不相容不能同时成立。56、求证：如果，则。(|)(P(|)(P57、证明：若事件与事件相互独立，则事件与事件相互

14、独立。58、设 A，B，C 三事件相互独立，求证皆与 C 独立。BA,59、若 A，B，C 相互独立，则亦相互独立。CBA,60、若 A 与 B 独立，证明中任何一个事件与中任何一个事件是相互独立的。,第二章解答概率论计算与证明题 501、解：自左往右数，排第 i 个字母的事件为 Ai，则，42)(,52)(11PA 21)(,31)(3423 APP。1234所以题中欲求的概率为 12345123412312154321)( APAAPAP 3012452、解：总场合数为 23=8。设 A=三个孩子中有一女，B=三个孩子中至少有一男，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为 6，

15、所以题中欲求的概率 P（B|A）为.768/)(AB3、解：（1）M 件产品中有 m 件废品，件正品。设 A=两件有一件是废品，B=两件都是废品，M显然，则， BA21/)(mCAP2/)(MmCBP题中欲求的概率为.)(/)(/)|( AB12/)21 MmM（2）设 A=两件中有一件不是废品，B=两件中恰有一件废品，显然，则 AB.,/)( 212MmMCCAP 21/)(mCP题中欲求的概率为.)(/)(/)|( ABAPB 12/)212 mMmM（3）P 取出的两件中至少有一件废品= .)(/21Cm4、解：A=甲取出一球为白球，B=甲取出一球后，乙取出一球为白球，C=甲

16、，乙各取出一球后，丙取出一球为白球。则甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得)()baAP概率论计算与证明题 51)|()|()( ABPAPB bababa111，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得 )|()|()|()|()( BACPBACPCC21)(2)1)( bababab )1)(1)( .baba)2)(1)(5、解：设 B=两数之和大于 10，A i=第一个数取到 i，。则，9,10i 10)(iAP;5,32,/)(|(,0)|()|(10 iiBPABPi ,9/2|jBj。由全概率公式得欲求的概率为9,876j.90 356041)|()(i iiA6、解

17、：设 A1=从甲袋中取出 2 只白球，A 2=从甲袋中取出一只白球一只黑球，A 3=从甲袋中取出 2只黑球，B=从乙袋中取出 2 只白球。则由全概率公式得 )(|()|()|() 321 APBPBPBP.222 CcCccbabaBAa7、解：A 1=从第一袋中取出一球是黑球，A i=从第一袋中取一球放入第二袋中，再从第袋中取一球放入第 i 袋中，最后从第 i 袋中取一球是黑球，。则i Ni,1.)(),)(11 baAPbaAP概率论计算与证明题 52一般设，则，得)()baAPk)()baAPk.)()|(|(111 baAPkkkkk 由数学归纳法得 .)()baAPN8、解：

18、设 Ai=第 i 回出正面，记，则由题意利用全概率公式得)(iip)(|()|)( 111 iiiiiii APAPAP。2(1ppp已知，依次令可得递推关系式cpi,2,1ni),()2(1pPnn,)1()(21 ppPn.22 cp解得 ,)12()12()1()(1)( 2 nnn pcppP当时利用等比数列求和公式得1p（*）11)2()(2)( nnn pcp .)12()12(nnpcp（1）若，则；Cnnlim,（2）若，则当时，；当时，。0p12kcpkn2cpn1若，则1cli,nn若，则不存在。2npclim,（3）若，则由（*）式可得10p

19、概率论计算与证明题 53.21)2()12(limli nnnn pcpp9、解：令分别表示第 i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概iiCBA,率公式得 )|()|()|()( 11111 nnnnnnnn CAPBAPAPPp ，nnqrq4040 )|()|()|()( 11111 nnnnnnnn BPBPABPBPq ，,22nnnrqprqp )|()|()|()( 11111 nnnnnnnn CPBCPACPPr .nnqrqp4040这里有，又，所以，同理有，再由1nr11nn 112nnpnnpq21得。所以可得递推关系式为nqp41

20、)2(4pp，112)(4nnnpqr初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由递推关系式得1,00qrnnn ppr214)1(41 1148)24(nnpp 212)1()(2023nnp概率论计算与证明题 54，211 13)(62)(6 nnnn.1111)(3 nnnnpq.2lim,6lilimnnnqr10、解：设 An=家庭中有 n 个孩子，n=0,1,2,，B=家庭中有 k 个男孩。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布得)21(p .2121)|( nknknCCABP由全概率公式得（其中） knnkn apBP21)|()( 0112ikkpakni012i

21、kCpa .)(11kp11、解：（1）设 A=至少有一男孩，B=至少有 2 个男孩。，由得 BA, 1)2(0p,)1(2)(12)()(11 papapAPkk ,22221 )1()(2)()( papapBPkk .APBA)()(|(概率论计算与证明题 55（2）C=家中无女孩= 家中无小孩，或家中有 n 个小孩且都是男孩，n 是任意正整数，则12)(anpCP )2(1321papapA1=家中正好有一个男孩=家中只有一个小孩且是男孩，则，且apAP21)(1，C1所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为.)()()|(111CPAAP )32(1)(322

22、papa12、解：设 A=产品确为合格品，B=检查后判为合格品。已知，98.0)|(ABP，求。由贝叶斯公式得96.0)(5.)|(APBP一 )|(BAP)|()|(|)(| ABP.970428.05.498.0613、证：（1） )()(BCAPBAP)()()(ABCPP，)()()() 与 C 独立。BA（2） )()()( CPABPPAB 与 C 独立。概率论计算与证明题 56（3） )()()( BACPBCAP )()(ABCP，)()()( 与 C 独立。BA14、证： )(1)()( BAPP)()1PAB1(，)(同理可证 ,CPA.)()(B又有 )(1)()(

23、 CAPCAPB )()()1 ABCPBB)()CPA，)(1()(1B )()(CPBA所以相互独立。CB,15、证：必要性。事件相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续 m 个集nA,21取的形式。当时，iAi m)()()()( 11221 nnnn APPP 。pA )(2nAP设当时有km概率论计算与证明题 57,)()( 1111 nknk APAAP 则当时km )()()( 112121 nknknkAP )()()( 1nknk APAPAPAP )1)( 211 nkkk ()(kk 从而有下列 2n 式成立：,)()()(2121 nnAPAP 其

24、中取或。iAii充分性。设题中条件成立，则, (1)()(11nnAPAP . (2)1 ,nnAA11 .)()( 1nAP(1)+(2)得。 (3)( 11nP同理有,)()()( 121121 nnnn AAPAP P两式相加得. （4）)()( 121121 nnn AAAP(3)+(4)得。)()()( 22121 nnP同类似方法可证得独立性定义中个式子，概率论计算与证明题 58 相互独立。nA,116、证： ),(0)(PP ),(1, P),()(BB,APAP)()( )()(BPABB，)(1)(PAAP同理可得。证毕。17、解：P三次射击恰击中目标一次 7.0

25、)51(4.)7.01(5.)4()7.01(5.4.0 36P至少有一次命中=1-P未击中一次 91.0)(.).(18、解：（1）P所有的事件全不发生。1nAPnkkpAP11)()()（2）P至少发生其一 )(1n。nknnn pAPAP111 )()（3）P恰好发生其一 )1()( 3221 nnpp np)(11。niijn iijip11 12概率论计算与证明题 5919、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记 =元件发生故障， =元件发生故障，0Ak1A1k=元件发生故障。则2A2kP电路断开 )()()( 210210210 PPAP。383.3. 20、解：以

26、表事件“A 于第 k 次试验中出现” ，，由试验的独立性得，前 n 次试验中 A 都kA)(k不出现的概率为。)()()(2121 nnAPAP n1于是前 n 次试验中，A 至少发生一次的概率为。)()()(21 nn这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件 A 至少发生一次的概率可以无限地向 1 靠近，从而可看成是必然要发生的。21、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得。2509.7.803一P22、解：利用二项分布得。npnP)1(1一一。1)()(1 npCpP一 )(n23、解：（1）设 A，B，C 分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是

27、一个的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获31)()(胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为。0203 31!131!0p24、解：利用两个的二项分布，得欲副省长的概率为概率论计算与证明题 60ni i，iPp0 一一一一。110 22 niininii Cni niC02221)(25、解：事件 A 出现奇数次的概率记为 b，出现偶数次的概率记为 a，则，20nnqpCa。31nnb利用，可解得事件 A 出现奇数次的概率为npqbaqpa)(,)(。nnp)21(12顺便得到，事件 A 出现偶数次的概率为。na)(26、解：

28、事件“在出现 m 次之前出现 k 次 A”，相当于事件“在前次试验中出现 k 次 A，1mk次，而第次出现 ”，故所求的概率为1AkmkmkqpCqpC11注：对事件“在出现 m 次之前出现 k 次 A”，若允许在出现 m 次之前也可以出现次 A，A1k次 A 等，这就说不通。所以，事件 “在出现 m 次之前出现 k 次 A”的等价事件，是“在2k出现 m 次之前恰出现 k 次 A”。而对事件“在出现 m 次之前出现 k 次 A 之前” （记为 B）就不一样，即使在出现 m 次之前出现了次 A，次 A 等，也可以说事件 B 发生，所以事件1k2B 是如下诸事件的并事件

29、：“ 在出现 m 次之前恰出现 i 次 A”，。,1i27、解：设经 n 次试验后，黑球出现在甲袋中，经 n 次试验后，黑球出现在乙袋中，A第 n 次从黑球所在的袋中取出一个白球。记 C ),(nAPp概率论计算与证明题 61。当时，由全概率公式可得递推关系式：,210,1)(npAPcnn 1n)(|(_)(| nAPp|( 11nnnCC,Nqpnn11 )(11nnpNp即。)(21pnn初始条件，由递推关系式并利用等比级数求和公式得0 nnn NNNp 221211。nnN21 n21若，则时，当时。N2kn0pk1np若，则对任何 n 有。1若，则

30、（N 越大，收敛速度越慢）。2N2limnp28、解：P= 有 10 个或更多个终端同时操作=P有 10 个或不足 10 个终端不在操作。1020298.)7.(3j jjjC29、解：利用普阿松逼近定理计算，则打中两弹或两终以上的概率为501.5.)9.()9.0(140p 956.05e概率论计算与证明题 6230、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用的3651p二项分布得欲求的概率为 150250361iiCp。037.4)92436(5082 31、解：每个错字出现在每页上的概率为，500 个错字可看成做 500 次努里试验，利用普阿松1

31、p逼近定理计算，，得501P某页上至少有三个错字= 1-P某页上至多有两个错字20 15015i iC.83)2(11ee32、解：每一毫升平均含一个细菌，每 2 毫升含 2 个，所以每只试管中含有细菌数服从的普阿松2分布。由此可得P5 个试管中都有细菌；483.0)1(52eP至少有三个试管中有细菌 .25215980)(i iieC计算时利用了的二项分布。21ep33、解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从的普阿松分布，则P1 分钟内无车 20201 .ln,.ei 61由此得，2 分钟内通过的汽车数服从的普阿松分布，从而 2 分钟内多于一车3.i的概率为.81021233e

32、.ep 概率论计算与证明题 6334、解：若蚕产 i 个卵，则这 i 个卵变为成虫数服从概率为的二项分布，所以in,pP蚕养出 n 只小蚕 kkikiiCe1)(! )kim一 epkpkMmk )(!)(!035、解：假设产品合格率，不妨设。现从 10000 件中抽 100 件，可视为放回抽样。9.0p9.p而 100 件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为 264.01.01).(1 190 e此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。）36、解: 设任取一人是男性任取一人是女

33、性任取一人检查患色盲 A B C则 1()2PB(|)0.5 (|)0.25 PCAP故所求概率为由 bayes 公式可得(|) ()|)20(|)|(|1PACBC37、解：设分别表示任取一粒种子属于甲、已、丙、丁的事件。,ABCD而表示任取一粒种子，它不发芽的事件，则 E()0.15 ()0.2 ()0.3 ()0.35 PBPCD又 (|).2 |.3 |.4 |.AEEE由 Bayes 公式，所求概率 ()| 6(|)(|()|73PAPD38、解：记 =第 i 名射手射中目标，则Ai PA().,().,().1230450相互独立。123,概率论计算与证明题 64所求概率P

35、)0.98PA(|)0.5PA故 |()|()|0.9680.984.543、解：31()()/iiipBPAp123()644、解：()()()CAP0.4.95.60.138概率论计算与证明题 6545、解：第 3 次才取得合格品，意味着前 2 次取得的是次品。记第 1 次取得次品，第 2AA次取得次品，第 3 次取得合格品。所求概率论为A12312131209()(|)(|)0.835pPPA46、解：（1）记第 1 次取得次品，第 2 次取得次品，第 3 次取得次品，则A A123121312()(|)(|)pPAP160.809872（2） “3 次至少有 1 次

36、抽到合格品”的对立事件是“3 次都抽不到合格品 ”，故0.9747、解：。当时，取得最大2,.15np120.153.inp iniipCq值。 23173084.7.60.248C48、解：（1）设为每分钟呼唤次数，则。故X()XP64.1!Xe（2） 41101!iiPP查附表 2，得，故.284X0.280.9716X49、解：。设事故次数为，则。因较大，很小，0.1,0pn (1,.)Bnp，近似服从泊松分布，故nX(.1)P0.1201!iiPeX0.10.10.1468ee50、解：设每月初库存件。依题意大利 k 40,12!iPei概率论计算与证明题

37、 6604.92!ikiPXe即要求，使得 k41.8!iike查附表 2，当时，1051、解：若该工厂的废品率不大于 0.005，则检查 200 件产品发现 4 件废品的概率应该不大于441020.5.9pC用泊松定理作近似计算 .得。410.53!ep这一概率很小。根据实际推断原理，这一小概率事件实际上不太会发生，故不能相信该工厂的废品率不超过 0.005。52、证: ABCPABP,()()独立从而由得()()AB故与独立，同理可证独立，也可证独立。,C一 C一另一方面: PABP()()(C()()()()CAB()PBPPC证毕 ()()A53、证：独立从而

38、,B()()PB()()PAB由条件概率公式 |()()A概率论计算与证明题 6754、证：因为相互独立，所以,ABC()() ()pABPpBCCAPPPABPBCAPPABBC()()()()()()()()()()1PAB)(55、证：若与相互独立，即，从而，于是与相容。反之, () ()PA()0AB若与互不相容, 即AB0B则于是与不相互独立. ()()P56、证：由那么: (|)(ABPABPAB()(|)()于是 P|()57、证：若事件与独立，则 AB()()PAB()()1P1-() ABP1-()P58、证：（1） )()BCAPBA)()(

39、)(ABCPP概率论计算与证明题 68，)()()() BAPCBPAC 与 C 独立。BA（2） )()()(PPAB 与 C 独立。（3） )()()( BACBA )()(ABCPPP，)()()( 与 C 独立。BA59、证： )(1)()( BAPP)()1PAB1(，)(同理可证 ,CPA.)()(B又有 )(1)()( CAPCAPB )()()1 ABCPBB()()CPA，(1()(1B )()(CPBA所以相互独立。CBA,60、证： ),(0)(PP),(1, P概率论计算与证明题 69),()(BPBP,AA（见本章第 17 题），)()()()(BPABPBP，)(1)(AA同理可得。证毕。

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