1、第二章 平面汇交力系,1 按力系中各力的作用线是否在同一平面内,分为平面力系和空间力系两类,2 按作用线是否相交,分为汇交力系、力偶系、平行力系和任意力系,平面汇交力系-是一种基本力系，它是 研究复杂力系的基础，所以我们先来研究它。,若各力的作用线在同一平面内且 汇交于一点,则称为平面汇交力系.,平面汇交力系,在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多,例如:起重机的吊钩受钢绳拉力Tl、T2和T3的作用,例如: 砖砌基座上的锅炉受重力G和反力NA和NB的作用,在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多,2.1 求平面汇交力系的合力,1 几何法:, 两个汇交力的合成:,应用平行四边形法则(力三角形法),
2、合力等于两分力的矢量和或几何和，如图所示。,O,A,F1,B,F2,C,R,合力的大小和方向由 F2 和 F1 所构成的平行四边形的对角线表示,合力的作用点即为原来两力的交点。,在用力的平行四边形法则求合力时，只要 画出其中任一半，即力三角形成够了如图 所示因此力的平行四边形法则又称为力三角 形法,O,A,F1,C,F2,R,O,B,F1,C,F2,R,(2)平面汇交力系的合成:,应用力的多边形法则:,设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示),(2)平面汇交力系的合成:,应用力的多边形法则:,设刚体上受到F1、F2、F3及F4等
3、许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示),F1,A1,F2,F3,A2,A4,A3,O,F4,求合力时，连续利用 力的三角形法则，依 次求出合力R1,R2,R3 和R.,求整个力系的合力，中间的合力 R1 R2可以 不必画出，可顺次将力Fl、F2、F3等首尾 相接，最后将F1的起点和F4的终点连接起来， 即得合力 R (如图)。,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,所得出的多边形ABCDE称为力多边形， AE称为力多边形的封闭边。,平面汇交力系的合成结果是一个力,它的作用线:过交汇点,大小和方向: 由力多边形的封闭边表示,用矢量公式表示为:,画力多边形时，各力
4、的次序是任意的，改变 各力的次序，只影响力多边形的形状，而不 影响合力 R 的大小和方向,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,画力多边形时，各力的次序是任意的，改变 各力的次序，只影响力多边形的形状，而不 影响合力 R 的大小和方向,A,B,C,D,E,画力多边形时，各力的次序是任意的，改变 各力的次序，只影响力多边形的形状，而不 影响合力 R 的大小和方向,A,B,C,D,E,已知平面汇交力系受力图求合力时， 按比例作矢量合成图。此法多用于 理论推导，求解实际问题时不方便、 不准确，特别当分力多于两个以上时， 更不用此法求解。,！,力在轴上的投影,A,B,F,a,b,FX,A,B,F,a
5、,b,FX,X,X,力在轴上投影的大小: 等于此力的模乘 以此力与投影(不一定是与投影轴的正向) 所夹锐角的余弦,2 解析法求平面汇交力系的合力,力在轴上投影的正负:则可直接观察确定: 当 为锐角时,力的投影为正; 当 为钝角时,力的投影为负.,力在坐标轴上的投影,a,b,a,b,FX,FY,当力F 在直角坐标 轴分解为 FX和 FY 两分力时，这两 分力的大小分别 等于力在两轴上 的投影的绝对值。,合力投影定理:,合力在任一轴上的投影 等于各分力在同轴正投 影的代数和 . 这就是合 力投影定理.,A,B,F1,C,F2,D,F3,R,a,b,c,d,合力的投影为: ad,各分力投影 的代数和
6、为: ab+bc+cd,=, 解析法平面汇交力系的合力:,将分力投影在直角坐标轴上;,求分力在坐标轴上的代数和:,RX = FX RY = FY,合力的大小和方向用 R, 角度 , 表示,RY,Y,X,RX,R,大小,方向,例1 一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图 所示,已知F1=2000N，水平向左；F22500N， 与水平成30角；F3l 500N,铅直向下.试用 解析法求合力的大小及方向，,解: 取坐标轴如图。 分别计算各力的 投影。,F2X = - F2 cos30= - 25000.866= - 2170N,F3X = 0,F1X = - F1 = 2000N,F1Y = 0,F2Y
7、= - F2 sin30 = -25000.5 = -1250N,F3Y = - F3 = -1500N,解: 取坐标轴如图。 分别计算各力的 投影。,RX,R,RY,RX = FX = -2000 2170 + 0 = - 4170N,RY = FY = 0 1250 - 1500 = - 2750N,合力的大小:,RX = FX = - 4170N,RY = FY = - 2750N,合力的方向:,由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 = 33.5 ,2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用,1 平衡的几何条件:,要使平面汇交力 系成为平衡力系，,力的多边形 自行封闭,必要充分条件
8、,设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:,F1,F2,F3,F4,若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.,例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小相等,彼此夹72角,F4,F3,F2,F1,F5,F1,F2,F3,F4,F5,力多边形为正五边形,力矢量自行闭合,用作图法求解平面汇交力系的平衡问题:, 按比例先画出封闭的力多边形, 用尺和量角器在图上直接量得所要求的未知量,也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。,起重机吊起的减速箱盖重W900 N，
9、 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 45， 30试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。,例1,例1 起重机吊起的减速箱盖重W900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 45， 30试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。,选箱盖为研究对象，画它的受力图,解:,三个力必汇交于吊环中心A。,画力三角形,选箱盖为研究对象，画它的受力图,解:,三个力必汇交于吊环中心A。,画力三角形,b,c,TAB,a,TAC,W,45,30,如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:,如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算
10、:,如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:,如果在画力三角形时，主动力W是按比例尺 画出，则可在力三角形中直接量出结果,TAB = 460N TAC = 660N,平面汇交 力系平衡,力系中各个力在两个 坐标轴上投影的代数 和分别等于零。,由:,得:,该式为平面汇交力系的平衡方程,2 平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程),2 平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程),在列平衡方程时注意:,坐标轴是可以任意选取的，,可以列出任意数目的平衡方程，,独立的平衡方程只有两个, 因而可以求解两个未知量。,支架如图所示，出 AB 和 AC 杆组成。 A、B、C三点均为铰链
11、连接，在A点悬挂重 力 P kN 的重物. 杆自重忽略不计. 求 AB 和 AC杆所受的力。,例2,解 (1)根据题意，选销钉A为研究对象。,(2)画受力图。显然这是一个平面汇交的平衡力系。,B,A,A,C,SAC,SAC,SAB,SAB,A,SAB,SAC,T,解 (1)根据题意，选销钉A为研究对象。,(2)画受力图。显然这是一个平面汇交的平衡力系。,A,SAB,SAC,T,列平衡方程式，求末知量。选坐标轴如图所示。,Y,X,A,SAB,SAC,T,列平衡方程式，求末知量。选坐标轴如图所示。,Y,X,X = 0,Y = 0,SAB = 0.5 T,SAC = 0.866 T,60,- SAB
12、+ Tcos60= 0,SAC - Tcos30= 0,A,SAB,SAC,T,Y,X,60,SAB SAC均为正值， 表示假定指向与实际 相同.AB受拉伸，AC 受压缩。,X = 0,Y = 0,SAB = 0.5 T,SAC = 0.866 T,- SAB+ Tcos60= 0,SAC - Tcos30= 0,杆AC，B C在C处铰接， 另一端均与 墙面铰接. 如图所示. Fl 和F2 作用在销钉C 上，F1=445(N)， F2=535(N)，不计杆重， 试求两杆所受的力。,解： 1取销钉C为研究 对象画受力图, 此 为平面汇交力系的 平衡问题。,例3,C,F2,F1,3,4,SAC,S
13、BC,X,Y,2. 选力系汇交点C为坐标原点. 建立坐标如图所示.,3列平衡方程,C,F2,F1,3,4,SAC,SBC,2. 选力系汇交点C为坐标原点. 建立坐标如图所示.,X,Y,3列平衡方程, Y = 0, X = 0,30,解方程: SAC = 207(N) SBC = 164 (N),水平力P作用在刚架的B点. 如题图所示。 如不计刚架重量, 试求支座A和D的约束反力。,P,a,2a,A,B,C,D,RD,RA,解：1 几何法 取刚架为研究对象. 受力如图 所示. 图中反力的指向为假设方向。,例4,P,A,B,C,D,RD,RA,2画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的
14、箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 力三角形见图,2画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 力三角形见图,P,RD,RA,2,1,3 列算式: 由自行封闭的力三角形中的几何关系求 反力的大小,解，2 解析法: 1取刚架为研究对象，受力如图所示:,2选力系汇交点C为坐标原点，建立坐标轴:,3列平衡方程:,在简支梁A B的中点C作用一个倾斜 45的力F，力的大小等于20(KN)，如题 图所示。若梁重不计， 试求二
15、支座的反力。,A,B,C,F,45,解一：几何法:1取梁A B为研究对象，受力如图所示。未知力的指向可由力三角形中 “首尾相接”的条件 确定其正确的指向,45,RB,O,RA,例5,2画力三角形。在力三角形中标注出必要 的几何关系，如图所示。,45,F,RB,RA,3列算式:由力三角形的几何关系求反力的大小,3列算式:由力三角形的几何关系求反力的大小,解二：解析法 1取梁AB为研究对象，画受力图，如图所示。,A,B,C,F,45,45,RB,RA,2选力系汇交点0为坐标原点，建立坐标如图:,Y,X,O,3列平衡方程,3列平衡方程,X = 0,Y = 0,RA = 22.4 (KN) RB =
16、10 (KN),结构由两弯杆ABC和DE构成。构件重量 不计，图中的长度单位为cm。已知F=200(N)， 试求支座A和E的约束反力.,RE,O,RA,解：解析法 1. 取整体研究，受力如图所示,例6,2. 建立坐标轴.,3列平衡方程,Y,X,RA=RE=167N,解：几何法;1取整体为研究对象， 受力如图所示。 反力 RA、RE的方位由高宽 比3：4表示。,2画力三角形。 力三角形是一个 等腰三角形。,2画力三角形。 力三角形是一个 等腰三角形。,RE,RA,F,4,3,3列算式：由力三角形的几何关系求支座反力的大小。,2画力三角形。 力三角形是一个 等腰三角形。,3列算式：由力三角形的几何
17、关系求支座反力的大小。,重为G 的圆柱搁在倾斜的板A B与墙面 之间，如题图所示。 若板与铅垂线的夹 角是30,圆柱与 板的接触点 D 是 AB的中点，BC 绳在水平位置 ， 各接触点是光滑 的 . 试求绳BC的 拉力T和A铰的约 束反力NA的大小。,例7,解：1取圆柱为研究对象，画受力图. 并建立坐标，列平衡方程。,NE,ND,X,Y,30,2取板A B为研究对象，画受力图,T,ND,O,再作力三角形， 由力三角形的几何 关系求T和RA的大小:,RA,30,30,2取板A B为研究对象，画受力图,再作力三角形， 由力三角形的几何 关系求T和RA的大小:,T,RA,ND,30,30,2取板A
18、B为研究对象，画受力图,再作力三角形， 由力三角形的几何 关系求T和RA的大小:,T,RA,ND,30,30,例8,压紧机构如图 所示.AB与BC长度 相等,自重略去不计. A、B、C三处均为 铰链连接,油压活塞 产生的水平推力为P. 求滑块C加于工件上 的压紧力为多大?,解：1 应先取销钉B为研究对象，求出连杆所受之力。,S1,S2,X,Y,2 作滑块C 的受力图，取坐标轴 如图所示，列平衡方程。,S2,N,RC,X,Y,平面汇交力系平 衡问题的方法和步骤,1根据问题的要求，选取合适的研究对象。 对于较复杂的物体，要选两个甚至更多的研 究对象。,2正确画出研究对象的受力图。所有作用 于研究对
19、象上的力(包括主动力和约束反力) 都应画出，特别是约束反力，要根据约束性 质去分析。要注意作用力与反作用力的关系， 并能正确运用三力平衡汇交定理。,平面汇交力系平 衡问题的方法和步骤,3根据平衡条件，求未知量。,几何法：应画出研究对象的示意图、受力图和该力系的封闭力多边形或力三角形。按力多边形和诸力首尾相接的次序，确定未知力的指向。,而后用比例尺和量角器量出未 知量或用三角公式计算。,平面汇交力系平 衡问题的方法和步骤,3根据平衡条件，求未知量。,解析法： 选取合适的坐标轴，尽量使力的投影计算简便，一般应使坐标轴与较多的力平行或垂直。,计算力的投影时要注意正负号,列平衡方程，求未知量。,4必要时应分析或讨论计算结果。,库,YA,XA,
