1、第一讲 微分中值定理教学目的 使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理, 拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题教学重点 使学生深刻理解微分中值定理的实质教学难点 拉格朗日中值定理的证明教学学时 2 学时教学过程 上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法学习的目的在于应用, 这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础 微分中值定理包括 : 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图 1.设图 1 中曲线弧 AB是函数 )(xfy),ba的图形这是一
2、条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于 X 轴的切线，即 )(xf在 ),ba内处处可导且两端点处的纵坐标相等，即 f可以发现在曲线弧AB的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线如果记曲线弧 A的最高点 C的横坐标为 ，则 0f若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（）定理罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间 ba,上连续；(2) 在开区间 ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即bfa，则在 ,内至少存在一点 ，使得 0f为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马 Fermat定理费马定理 设函数 xf在点 0的某邻域 0()Ux内有定义，
3、并且在 0x处可导，如果对任意的 x，有0fx0ff或，则 0xf分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义不妨设 0()xU时， 0xf于是，对于00()x，有 fx，从而当 0x时，xff；当 0时，00xf由于函数 f在 0处可导，上述两式的左端当0x时极限皆存在，因此由极限的 保号性知 0lim000 xffxff， x所以， 0xf类似地可证明 0()U时， 0xf的情形通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)费马定理告诉我们，若函数在 0x点可导，且函数在 0x点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点处的导数一定为零，即 0xf由图 1
4、知，函数 f在 处取得了局部的最大值因此，根据费马定理不难证明罗尔定理罗尔定理的证明 由于 xf在 ba,上连续，所以xf在 ba,上必定取得它的最大值 M和最小值 m这样，只有两种可能的情形：(1) m此时对于任意的 bax,，必有 Mxf故对任意的 bax,，有 0xf因此，ba,内任一点皆可作为我们找的 (2) m因为 bfa，所以 M和 m中至少有一个不等于 af不妨设 M，则在 ba,内必有一点 ，使得 f又因为对于任意的 x,，有 fx，且 ()存在故由费马定理知， 0f类似可证afm的情形罗尔定理成立 例 1 不求出函数 321xxf 的导数，说明方程 0fx有几个实根，并指出它
5、们所在的区间 分析 讨论方程 0xf的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知， 实际上是方程 ()0fx的根而讨论这类问题的基本思路是，在函数 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点 ，使得 0f 即为方程 0xf的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程0xf至多有两个实根而由函数 xf的表达式知，321f因此， 1,2和 ,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程 0xf的一个实根解 因为 xf在 2,1和 3,上连续，在 2,1和 3,内可导，且 1230f，所以由罗尔定理知，
6、在 ,内至少存在一点 1，使得 1f，在 3,2内至少存在一点2，使得 02f 和 2都是方程 ()0fx的实根又由代数学基本定理知，方程 至多有两个实根，所以方程 0xf必有且只有两个实根，它们分别位于 2,1和 3,内小结 利用函数的性质讨论 0xf的根(也称为xf的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法二、拉格朗日中值定理罗尔定理中 bfa这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把 bfa这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个
7、问题，我们先从几何直观入手，见图 2设图 2 中曲线弧 AB是函数 )(xfy),ba的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即fafb不难发现在曲线弧 AB上至少有一点 c，使曲线在点处的切线平行于弦 若记 c点的横坐标为 ，则曲线在 c点处切线的斜率为 f而弦 AB的斜率为abf因此fabfff或若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日 Lagrne中值定理拉格朗日中值定理 若函数 xf满足(1)在闭区间 ba,上连续；(2)在开区间 ,内可导，则在 ba,内至少存在一点 ，使得 abff fabf或 （）从图
8、1 可以看到，在罗尔定理中，由于 bfa，弦 AB是平行于 x轴的，因此点 c处的切线不仅平行于x轴，实质上也是平行于弦 AB的由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理但在拉格朗日中值定理中，函数 xf不一定具备bfa这个条件，为此我们设想构造一个与 xf有密切联系的函数 x(称为辅助函数)，使 满足条件ba及罗尔定理的另外两个条件，并对 x应用罗尔定理，然后再把对 x所得的结论转化到 f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路
9、，那么怎样去构造辅助函数 x呢？若记图 2 中弦 AB的方程为 xLy，那么根据所构造的辅助函数 x需要满足的条件，通过对图 2 的观察，我们不难发现 xLf这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数为什么呢？首先，若我们记 xLfx，则函数 x与 f有着密切的联系；第二，由于曲线弧 AB与弦 在 BA,两点相交，因此，0afa， 0bLfb，即 ba；第三，由于函数 xfy和 xy在 a,上都连续,在 ,内都可导，因此 在 ba,上满足罗尔定理的条件至于对x在 ba,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明拉格朗日中值的证明 弦 AB的直线方程为axbfafxL因此，函数
10、abfafx, (2)且 abfxf对函数 x在 ba,上应用罗尔定理知，在 ba,内至少存在一点 ，使得 0，即 abff，fabf定理得证由上述证明可知，函数 x正是我们所需要的那个辅助函数现在回过头来看一看辅助函数 xLfx的几何意义是什么？在图 2 的闭区间 ba,上任取一点 x，并过 x作与纵轴平行的直线，交弧 AB于 M，交弦 AB于 N，则有向线段 NM的值恰好是我们所构造的辅助函数 xLfx其中 xf为 点的纵坐标， xL为 点的纵坐标几点说明：(1) 显然，公式 1对于 ab也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式(2) 设 x为区间 ba,上一点， x为该区间内的另一点 0或
11、，则公式（）可写成 xfxxf 10 3(3) 若记 f为 y，则 f，于是 式又可写成 xfy 10 4我们知道，若函数 xf在 处可微，则ydox这时可以用函数 fy的微分 xfdy来近似地代替函数增量 y，并且所产生的误差xdy是比 高阶的无穷小但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而 4式给出了自变量取得有限增量 x不 一 定 很 小 时，函数增量的微分精确表达式因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，4式也称为有限增量公式拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理利用它可实现用导数来研究函数的变化作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题我们知道，如
12、果函数 xf在某一区间上是一个常数，则 xf在该区间上的导数恒为零那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题定理 若函数 xf在区间 I上的导数恒为零，则xf在区间 I上是一个常数证 在区间 I上任取两点 21,x 21，应用 1式即得 1212xfxff 2x由题设知 0，所以 0f，即 1xff因为 21,x是 I上任意两点，所以 x在区间 I上是一个常数这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式例 2 证明当 0x时， xx1ln分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我
13、们知道，在拉格朗日中值公式中 ba,，而不知道 具体等于多少？但根据 在 ba,之间的取值却可以估计出 f的取值范围，或者说可以估计出 f取值的上下界分别用 f取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的 f，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数 ()fx和相应的区间 ba,那么怎样去找函数xf和相应的区间 ba,呢？注意，拉格朗日中值公式fab的左端是很有特点的，它恰好是函数xf在区间 ,b上的增量与区间 ba,的长度之比因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为abf的形式，就不难确定函数 xf和相应的区间,了对
14、于本例来讲，首先我们可以做如下的变形： 1ln1x，0x由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数 xf为x1ln，相应的区间为 ,如果我们对原不等式再做另外一种变形，即 1ln1x，l则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数 xf为 ln，相应的区间为 x1,确定了所需要的函数 f及相应的区间 ba,后，接下来就是对函数 xf在 ba,上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中 f取值的上下界了证 方法一设 xf1ln，显然 xf在区间 x,0上满足拉格朗日中值定理的条件拉格朗日中值定理得 11lnfxx0由于 x0，所以 ，即1ln1x， xx1ln方法二设 xfln，显然 f在区间
15、 ,上满足拉格朗日中值定理的条件对函数 x在区间 x1,上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中 f取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式具体证明过程请同学们课后完成总结(1) 例 2 中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领(2) 由例 2 的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数 xf并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线 xfy的弧 AB上，处端点外处处具有不垂直于 x轴的切线，则在该弧上至少存在一点 c，使曲线在 c点处的切线平行于弦 若我们不用 xfy来表示
16、连续的曲线弧 AB，而用参数方程来表示连续的曲线弧 AB，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧 AB由参数方程xfYFXba表示，见图 3 ，其中 x为参数那么利用参数方程求导公式，曲线上点 YX,处切线的斜率为 xFfdy， 弦AB的斜率为 aFbf假定点 c对应于参数 x，那么曲线上点 c处的切线平行于弦 AB可表示为 Ffabf与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西Cauchy中值定理柯西中值定理 若函数 ()fx及()Fx满足(1) 在闭区间 ba,上连续；(2) 在开区间 ,内可导；(3) 对任一 bax,， 0xF，则在 ba,内至少存在一点 ，使得Ffabf
17、5证 首先我们来证明在已给条件下 0显然函数 xF在 ba,上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有 abFab b由于 a，由假定知 0，又 0，所以 0Fb类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段 NM的值的函数 x作为辅助函数，见图 3 这里点 的纵坐标为 fY，点 N的纵坐标为aFxbFfafY，于是 aFxbffx 由假定知，函数 在 ,上连续，在 ba,内可导，且 0ba， xFabfxf 因此， x在 ,上满足罗尔定理的条件，故在 b,内至少存在一点 ，使得 0，即 0 Fabff由此得 Fabf，定理证毕很明显，如果取 x，那么 1,xFab，因而公式 5就可以写
18、成 fabf，这样就变成了拉格朗日中值定理由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广显然公式 5对于 ab也成立， 5式称做柯西中值公式最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧 AB上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点 c，使曲线在 c处的切线平行于弦 当弧 AB用 xfy表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧 AB用 xfy表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧 AB用参数方程xfYFX,bxa表示，我们就得到了柯西中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下：罗尔定理 ()0f 推 广 ()afb 特 殊 情 形拉格朗日中值定 ()f 推 广Fx 特 殊 情 形柯西中值定理
