1、一、投资项目的选择例1：华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益见下表：,整数规划的应用,该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术原因，投资受到以下约束：在项目1、2和3中必须有一项被选中；项目3和4只能选中一项；项目5被选中的前提是项目1必须被选中。 如何在上述条件下，选择一个最好的投资方案，使收益最大。,解：令 1 选中项目i 0 未选中项目I (i=1,5),xi=,Max Z=150 x1 + 210x2 + 60x3 +80x4 + 180x5 s.t.210 x1 + 300x2 +100x3 +130x4 + 260x5 600 x1 + x2 + x
2、3 =1 x3 + x4 1 x5 x1 xi=1或0(i=1,5),解得（1，0，0，1，1）Max Z=410即投资项目1、4、5，可以获得410万元。,整数规划的应用,二、固定成本问题 例2高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划
3、，使获得的利润为最大。,解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）。 引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500 2x1 +
4、3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj 0 yj 为0-1变量，i = 1,2,3,三、指派问题（分配问题）(Assignment Problem) 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例3(P65例4.6)某游泳队拟选用A、B、C、D四名运动员组成一个4100混合游泳接力队，参加运动会，他们的100m自由泳，蛙泳，蝶泳，
5、仰泳的成绩如下表，如何安排游泳才能最大可能得取得好成绩？,解：引入01变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i名队员游第j种姿势)或0（当不指派第 i名队员游第j种姿势)这可以表示为一个0-1整数规划问题：Min z=56x11+74x12+61x13+63x14+63x21+69x22+65x23+71x24+57x31+77x32+63x33+67x34+55x41 +76x42+62x43+62x44s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (A只能游一种姿势) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (B只能游一种姿势) x31+ x32+ x33+ x34=
6、1 (C只能游一种姿势) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (D只能游一种姿势) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( 自由泳只能一人游) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( 蛙泳只能一人游) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( 蝶泳只能一人游) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( 仰泳只能一人泳) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4,四、分布系统设计例5（P73练习4.8）某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A
7、3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小?,解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5这可以表示为一个整数规划问题：Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4
8、x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53（其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。）s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52
9、= 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij 0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0-1变量，k =2,3,4,5。 b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?,五、投资问题 例7（P74练习4.9）某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第四年每年年初可以投资，并于次年末回收本利115%， 但第一年如果投资则最低金额为4万元，第二、三、四年不限；项目B：第三年初可以投资，到第五年末能回收本利128，但规定最低投资金额为3万元，最高金额
10、为5万元； 项目 C：第二年初可以投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?,解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i 1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是01变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B投资，否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设y2C 是非负整数变量，并
11、规定：第2年投资C项目8万元时，取值为4；第 2年投资C项目6万元时，取值3；第2年投资C项目4万元时，取值2；第2年投资C项目2万元时，取值1；第2年不投资C项目时，取值0； 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C=20000y2C D x1D x2D x3D x4D x5D,2）约束条件：第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000；第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C
12、+x2D = 1.06x1D；第三年：年初的资金为 1.15x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D；第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D；第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D。 关于项目A的投资额规定: x1A 40000y1A ，x1A 200000y1A ，200000是足够大的数；保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，x1A 40000 。 关于项目B的投资额规定
13、: x3B 30000y3B ，x3B 50000y3B ； 保证当 y3B = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，50000 x3B 30000 。 关于项目C的投资额规定: x2C = 20000y2C ，y2C = 0，1，2，3，4。,3）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D = 1.15
14、x3A+ 1.06x4D； x1A 40000y1A ， x1A 200000y1A ， x3B 30000y3B ， x3B 50000y3B ； x2C = 20000y2C ， yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5 y2C = 0，1，2，3，4 xiA ，xiB ，xiC ，xiD 0 ( i = 1、2、3、4、5）,六、电力规划问题 例6 某地区在制定十年电力规划时，遇到这样一个问题，根据电力需求预测，该地区十年以后发电装机容量需要增加180万千瓦，到时年发电量需增加100亿度，根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：,扩建原有火电站，但最多只能安装5
15、台10万千瓦机组；新建水电站，但最多只能安装4台25万千瓦机组；新建火电站，但最多只能安装4台30万千瓦机组。 通过调研和计算，获得有关参数如下：,注：负荷因子=全年满功率运行天数/全年总天数。方案1：241天；方案2：146天；方案3：255天；,建立模型：设置决策变量 设备选方案1，2，3的装机台数分别为x1、x2、x3，它们的年发电量分别为x6、x7、x8亿度，备选方案1无前期土建工程要求，备选方案2和3都需要前期土建工程，这两个前期土建工程是否施工用变量x4、x5代表。,则x1取值0-5之间的整数，x2、x3取值0-4之间的整数， x4、x5只能取0或1， x6、x7、x8大于零。约束
16、方程满足装机容量需求约束： 10x1+25x2+ 30x3 180满足规划年发电量需求约束： x6+x7 + x8 100,各电站容量与发电量平衡方程：机组年发电量等于单机容量乘全年小时数，再乘以负荷因子，换算亿度量纲，即：方案1： x6=(0.66*8760*10/10000)* x1方案2： x7=(0.4*8760*25/10000)* x2,方案3： x8=(0.7*8760*30/10000)* x3得三个约束方程：5.782 x1 - x6 = 0 8.76 x2 - x7 = 018.39 x3 - x8 = 0,每个方案最多的装机台数约束：方案1：不需前期土建工程； x1 5方
17、案2：前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数； x2 4 x4方案3：前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数； x3 4 x5,变量取值限制x1、x2、x3 0 且整数x6、x7、x8 0 x4或x5=1 前期土建工程要求 x4或x5=0 无前期土建工程要求,设计目标函数目标函数：年成本费用最低。成本包括两大部分：可变成本与发电量有关的成本，如：原材料，燃料，动力和活劳动消耗等。即参数表中年运行成本。不变成本指与装机容量及前期土建投资有关的成本。,方案1：单机投资*回收因子=21*0.103=2.163(百万元）方案2：单机投资*回收因子=70*0.0578=4.046(百万元
18、）方案3：单机投资*回收因子=65*0.103=6.695(百万元）方案2和3的前期土建投资的年资本回收成本分别为504*0.0578=29.131(百万元）240*0.103=24.72(百万元）,对方案1，2，3每发一亿度电的运行成本分别为4.11,2.28,3.65百万元。则数学模型如下：Min Z = 2.163x1+4.046x2+ 6.695x3 + 29.131x4+ 24.72x5 + 4.11x6 + 2.28x7 + 3.65x8s.t. 10x1+25x2+ 30x3 180 x6+x7 + x8 100,5.782 x1 - x6 = 0 8.76 x2 - x7 = 018.39 x3 - x8 = 0 x1 5 x2 4 x4 x3 4 x5x1、x2、x3 0 且整数x6、x7、x8 0 x4、x5=1或0,求解得到： x1 =2 x2 =4 x3 =3 x4 =1 x5 =1 x6 =11.56 x7 = 35.04 x8 =55.17 Z=423.24百万元。,扩建原有火电站，安装2台10万千 瓦发电机组；新建水电站，安装4台25万千瓦发电机组；新建火电站， 安装3台30万千瓦发电机组。总装机容量达：2*10+4*25+3*30=210万千瓦,
