1、第 六 章 杆与板的稳定性6.1 概述6.1.1 稳定性的一般概念稳定性的一般概念 广义上理解稳定性问题广义上理解稳定性问题 ，与 考虑或忽略考虑或忽略 各种因素密切相关 强度评估时，在强度评估时，在 众多不稳定性因素中， 仅仅 研究与力和几何因研究与力和几何因素变化有关的不稳定性素变化有关的不稳定性 ， 与之相关的 稳定性狭义概念归结为稳定性狭义概念归结为要求结构物在使用中变形小要求结构物在使用中变形小2 以在端点沿中和轴 ox 方向受静压力 T 作用的等直梁为例进行分析 在强度检验时通常假定梁的中和轴是直线、等断面、力作用于中心、无侧向力作用等 应力变形状态由下列关系描述0 = -T/A
2、= w = 0 u = -Tx/(EA) (6.1.1) 实际上： 剖面面积沿长度有波动剖面面积沿长度有波动 (A + A )； 力随时间有波动力随时间有波动(T + T )且有偏心且有偏心 ； 中和轴是扭曲的中和轴是扭曲的(6.1.2)3 实际状态应为实际状态应为 式 (6.1.2)和式 (6.1.1)间 的 计算结果的差异， 仅能根据可能仅能根据可能的尺寸离散界限作出评估的尺寸离散界限作出评估 在一些条件下，离散的界限不大， 式 (6.1.1)给出可靠的应力描述 ； 变形过程是稳定的 在另一些条件下，离散的界限很大， 式 (6.1.1)的解给出不正确的应力描述， 变形过程是不稳定的 变形过
3、程开始从稳定状态到不稳定状态的条件称为变形过程开始从稳定状态到不稳定状态的条件称为 临界临界 条件条件 相应于这些条件的力和其他特征量称为 临界力临界力 、 临界应力临界应力 和临界位移临界位移 上述分析给出了变形过程稳定性的实质性概念，这对 静态条静态条件下判别结构稳定性件下判别结构稳定性 已足够详尽4 规定式规定式 (6.1.1)相对于式相对于式 (6.1.2)许可的偏差，实质上是选择稳定许可的偏差，实质上是选择稳定性准则的问题性准则的问题 在同一准则下，偏离理想形状愈大的梁就愈不稳定 未指明初始扰动的量值 (未考虑因素 )，一般情况下是不可能评估结构稳定性的 问题复杂性 结构稳定性分析中
4、很少采用上面叙述的方法 实际计算中，通常利用结构给定平衡形式的比较简单的稳定性分析结果 小扰动时，在力小扰动时，在力 T 的值接近欧拉力的值接近欧拉力 TE之前，式之前，式 (6.1.1)和式和式 (6.1.2)实际上实际上没有多大差别没有多大差别力和几何因素变化有关的不稳定性力和几何因素变化有关的不稳定性 5 TE 表征这样的 T 值，在达到它时直线平衡形式是不稳定的，即不论初始扰动多么小，梁只能平衡在弯曲状态即不论初始扰动多么小，梁只能平衡在弯曲状态 这意味着，在欧拉力这意味着，在欧拉力 TE 的的 作用下实际结构必定是不稳定的作用下实际结构必定是不稳定的， 为 TE 作为从稳定状态向不稳
5、定状态过渡的界限提供了依据 换言之，判断结构稳定性只要利用平衡稳定的分析结果，而不必考虑变形过程的稳定性 计算校核稳定性需要说明的一个重要问题式式 (6.1.1)采用了时间和两个空间坐标不变的假定，采用了时间和两个空间坐标不变的假定， 即在这些坐标中过程的变化是次要因素 由于稳定性的检验正是与评估这些因素有关，在进行稳定性评估时必须考虑已被忽略坐标的过程变化6 综上所述，从几何和力方面评价结构稳定性，必须指明结构变形情况或者平衡形式 (原始的应力应变状态 )被忽略的次要因素 (扰动 )哪些坐标的初始状态假定是不变的采用的不稳定性标准 (稳定性准则 ) 根据扰动的特征和离散程度，把结构稳定性分为
6、两类根据扰动的特征和离散程度，把结构稳定性分为两类 扰动的离散很小且在这种离散下结构的临界载荷彼此接近，则 稳定性按确定性方法研究稳定性按确定性方法研究 扰动和相应的临界载荷的离散 都很大， 则结构稳定性只能 在在概率的意义上评估概率的意义上评估 ；临界载荷取决于给定的允许失稳概率 显然，稳定性总是具有概率特性的显然，稳定性总是具有概率特性的 实际评估时常采用确定性方法，此时 在计算中引入了这些扰在计算中引入了这些扰动量的某个规定值动量的某个规定值76.1.2 平衡稳定性平衡稳定性 小扰动稳定性准则小扰动稳定性准则 由于扰动而偏离给定平衡状态的机械系统，在扰动消失后可能有 3 种情况系统趋于回
7、到原始状态 稳定平衡稳定平衡系统继续偏离原始状态 不稳定平衡不稳定平衡系统既不趋于偏离原始状态也不回到原始状态 随遇平衡随遇平衡 根据系统平衡对 使其偏离原始状态的扰动使其偏离原始状态的扰动 的灵敏度可分为：小扰动稳定性小扰动稳定性 (相对于无限小的扰动相对于无限小的扰动 )大扰动稳定性大扰动稳定性 (相对于有限的扰动量相对于有限的扰动量 ) 小扰动时稳定而大扰动时不稳定 (例如直立而未固定的柱 ) 大扰动时稳定而小扰动时不稳定 (具有负稳性高度的船舶 ) 平衡在小扰动时和大扰动时都是稳定的或都是不稳定的小扰动稳定性定义小扰动稳定性定义 一个不很严格但简单的小扰动稳定性的定义一个不很严格但简单
8、的小扰动稳定性的定义随着扰动的减小，系统对于无扰动的平衡状态的偏离可以变得任意小，则系统称为小扰动稳定的 系统小扰动平衡严格定义在小扰动动力稳定性学科中给出系统小扰动平衡严格定义在小扰动动力稳定性学科中给出对 平衡位置平衡位置 无限小的初始偏离、无限小的初始速度和无限小作用力的变化，在后续时间里仅引起无限小的偏离后果和无限小的速度后果，则平衡状态是小扰动稳定的 在实际计算中通常仅限于研究初始偏移和初始速度等扰动形式对系统的影响 由于实施动态准则的复杂性，在分析小扰动平衡稳定时采用小扰动静力稳定性准则8小扰动稳定性静态准则小扰动稳定性静态准则 根据这个准则在 静载荷作用下处于平衡状态的系统静载荷
9、作用下处于平衡状态的系统 被认为失去稳定性，只有 当该静载荷能产生其他可能当该静载荷能产生其他可能 (相邻相邻 )的平衡位置的平衡位置 ，不管其多么接近原平衡位置 在这个准则中，显然假定过程随时间不变，扰动假定无限小 根据静态准则研究稳定性称为欧拉稳定性根据静态准则研究稳定性称为欧拉稳定性 根据动态准则研究稳定性称为李雅普诺夫稳定性根据动态准则研究稳定性称为李雅普诺夫稳定性 在分析小扰动平衡稳定性时采用能量法较为方便，该方法依据 定理：若一个在稳定保守力系作用下和在理想约束控制下具有 n个自由度的机械系统， 在静态平衡位置势能最小在静态平衡位置势能最小 ，则这个位置在任何时间 都是小扰动稳定的
10、 9106.1.3 静态和动态准则的适用范围静态和动态准则的适用范围 在研究小扰动稳定性时，动态准则不会导致原则的错误，特别是当系统的动力 (惯性和阻尼 )特性能够充分再现时 动态准则的实际应用通常伴随着很大的计算困难动态准则的实际应用通常伴随着很大的计算困难 静态准则有局限性，但简单，在实际计算中得以广泛应用 静态准则的适用范围还没有严格的证明，只能根据具体问题的求解结果作出评论 非保守系统，根据静态准则获得的结果有不正确的情况 计算非保守系统时推荐应用动态准则。 尽管原则上存在应用静态准则不会得出错误结果的非保守系统 解决保守系统稳定性问题的大量实践表明可利用静态准则116.1.4 应用静
11、态准则的一般步骤应用静态准则的一般步骤 建立完全确定所研究系统平衡状态的方程 查明可能的邻近的平衡形式 建立完全确定邻近平衡形式的方程 在描述两个相邻平衡形式的两组方程的基础上，建立从一种平衡形式向另一种平衡形式过渡的补充量 (力、位移等的增量 )的方程 这些方程称为中性平衡方程这些方程称为中性平衡方程 ；如果结构不是明显非线性的，这些方程是线性齐次的 研究这些中性平衡方程获得非零解的条件 (力 )； 相应于中性平衡方程式获得非零解的最小力取为临界力 T = Tcr时，只知道杆可能偏离原直线形式而不知道偏移量。这在数学上归结为求特征值问题126.1.5 船体结构稳定性船体结构稳定性 分析方法分
12、析方法一个结构中 只要有受压的构件只要有受压的构件 存在就有 可能发生失稳现象可能发生失稳现象竖杆受压失稳并导致整个刚架变形刚架刚架失去稳定性失去稳定性一杆受压失稳而导致整个板架变形板架失去稳定性板架失去稳定性梁弯曲时下翼板受压发生侧向弯曲并导致整个梁的扭曲梁失去梁失去 “ 侧向稳定性侧向稳定性 ”当压力或剪力大到一定程度时，板不能保持平面平衡状态而发生弯曲，叫做 板失板失去稳定性去稳定性 又称 平平板板 “ 皱折皱折 ” 13船体结构稳定性船体结构稳定性 平板承受中面压力或剪力 平板承受中面压力或剪力平板承受中面压力或剪力 一般船底结构比甲板结构强，船体梁剖面的中性轴距甲板远，因此 甲板骨架
13、和甲板板失稳的可能性比船底的要大得多甲板骨架和甲板板失稳的可能性比船底的要大得多 高强度钢的应用使得构件断面的尺寸减小，从而增大了构件高强度钢的应用使得构件断面的尺寸减小，从而增大了构件失稳的可能性失稳的可能性6.2 单跨杆的稳定性单跨杆的稳定性 单跨等断面压杆，描述 小变形平衡状态的中性平衡微分方程式小变形平衡状态的中性平衡微分方程式可由 梁的复杂弯曲微分方程式 导得146.2.1 解析法解析法临界载荷是结构处于临界状态的载荷，它取决于 结构的尺寸 、形式 和 材料 ， 是一个结构的固有值其解为式中： C0， C1， C2， C3为积分常数；将杆件边界条件代入即可求出杆件的临界力将杆件边界条
14、件代入即可求出杆件的临界力 No. 压杆的结构型式 欧拉力15312416不论杆的固定情况如何，不论杆的固定情况如何，单跨杆的欧拉力均可用一单跨杆的欧拉力均可用一通式表示通式表示在 杆件长度与断面均相同杆件长度与断面均相同 的条件下，杆的欧拉力全自由全自由 (没有约束没有约束 )自由支持刚性固定自由支持刚性固定 (约束最大约束最大 )杆端的固定情况不清或无法准确决定，通常都假定杆端为自由支持，这样算出来的欧拉力最小，误差偏于安全相当长度或折算长度相当长度或折算长度即杆件弯曲时弯矩为即杆件弯曲时弯矩为零的点之间的长度零的点之间的长度176.2.2 能量法能量法自由支持变断面压杆，惯性矩的变化如图
15、示解：断面惯性矩为且有 I1= 0.4 I， I2 = I。 试用能量法试用能量法 (一次近似一次近似 )求压杆的欧拉力求压杆的欧拉力设坐标系原点在左端点， y 轴向下；取挠曲线方程：18考虑对称性，压杆变形能为考虑对称性，压杆变形能为并设 则有 x = 0 u = 0， x = cl u = c，将 代入19力函数为由由 (x)取得取得 正确可得到正确的解正确可得到正确的解误差偏于危险误差偏于危险失稳压力与杆件尺度间的关系曲线206.2.3 非弹性稳定性非弹性稳定性杆件在弹性范围外失稳造船界中造船界中 在弹性范围外失稳的力叫做 临界力临界力在弹性范围内失稳的力叫做 欧拉力欧拉力求解方法求解方
16、法 理论分析理论分析实验方法实验方法 柱子曲线柱子曲线最简单的是 切线模数理论切线模数理论临界力远小于理论欧拉力临界力远小于理论欧拉力将弹性范围的弹性模数 E用 非弹性阶段应力 应变曲线的切线斜率 Et = d/d代替Et称 为材料的 “切线模数 ”断面断面面积面积21杆件的柔度定义杆件的柔度定义断面的惯性半径断面的惯性半径断面断面惯性矩惯性矩两端自由支持压杆两端自由支持压杆柱柱子子曲曲线线 较小时杆件短粗，较小时杆件短粗， 失稳时材料超过弹性范围，失稳时材料超过弹性范围， 曲线为曲线为 图图中中 AB部分部分 (钢质材料可用钢质材料可用 二次抛物线二次抛物线 作较好的趋近作较好的趋近 ) 较
17、大时杆件细长，较大时杆件细长， 失稳压力在弹性范围，失稳压力在弹性范围， 曲线与欧拉公曲线与欧拉公式一致式一致 (图图 中中 BC部分部分 )是一条双曲线是一条双曲线 ，称为 欧拉双曲线欧拉双曲线 相当小时相当小时 压杆不会失稳破坏，而是 强度破坏强度破坏 ( y)对于 y = 240 MPa的钢材，区别 弹性与非弹性失稳弹性与非弹性失稳 的柔度 p 100，对应的应力为材料的 比例极限比例极限 p两端自由支持的压杆，临界应力公式为两端自由支持的压杆，临界应力公式为由由 = ( )曲线依次找出不同曲线依次找出不同 值相应的值相应的 Et，假设曲线 AB的方程式相配合相配合画出柱子曲线画出柱子曲
18、线代入上式求出代入上式求出 ，cr = a - b2 = 0 时， cr = y； = p 时， cr = p比例比例极限极限二次抛物线二次抛物线实际材料的 y 与 p 在一定范围内变化，实用上取 p = y /2稳定性分析中，常要用到 切线模数 Et 与 弹性模数 E 的 比值比值 取 p = y/2已知已知已知已知取决于取决于 cr236.3 多跨压杆的稳定性多跨压杆的稳定性 24根据中根据中间支座间支座分为两分为两种情况种情况甲板纵骨在横梁之间受压失稳时，甲板纵骨在横梁之间受压失稳时，纵骨就是在刚性支座上的连续压杆纵骨就是在刚性支座上的连续压杆，此时横梁为甲板纵骨的刚性支座，此时横梁为甲
19、板纵骨的刚性支座刚刚性性支支座座如果整个甲板板架失稳如果整个甲板板架失稳 ，则纵骨将，则纵骨将成为在中间弹性支座上的连续压杆成为在中间弹性支座上的连续压杆，此时横梁为甲板纵骨的弹性支座，此时横梁为甲板纵骨的弹性支座弹弹性性支支座座256.3.1 刚性支座上连续压杆的稳定性刚性支座上连续压杆的稳定性研究杆在弯曲情况下的中性平衡条件，即可求出杆的欧拉力研究杆在弯曲情况下的中性平衡条件，即可求出杆的欧拉力可以用力法进行计算可以用力法进行计算用力法求解杆弯曲平衡状态的基本结构型式等断面双跨压杆，在轴向等断面双跨压杆，在轴向压力作用下处于平衡状态压力作用下处于平衡状态给双跨压杆以小偏移给双跨压杆以小偏移
20、 (即使杆在某种干扰下发生弯曲即使杆在某种干扰下发生弯曲 )26支座 1端面的转角连续方程按梁的复杂弯曲、或附录 B方程式中最小的一个根 u1 所对应的轴向力即为所需的 TEM 0u2 = l2 u1/l1仅包括 u1即轴向力 T27l2 = 2l1求解比较困难求解比较困难可以用图解法来做可以用图解法来做图解法图解法(_) l2 = l1 时时 图解法图解法 最小根为最小根为 u1 = /228讨论讨论(2) 当当 l1 = l2 时，双跨压杆的时，双跨压杆的 TE 和每一个跨单独的和每一个跨单独的 TE 一样一样失稳时的变形形状反对称于中间支座， 变形曲线在中间变形曲线在中间支座处必然是一个
21、反曲点支座处必然是一个反曲点(1) 当当 l1 l2 时，时， TE 在以下范围内在以下范围内将双跨杆在中间支座处切开， 可分成两根情况完全相同可分成两根情况完全相同的两端自由支持的单跨压杆的两端自由支持的单跨压杆多跨连续压杆只要跨度等间距、等断面，且两端自由支持，这时欧拉力都等于每跨单独时的欧拉力断面没有弯矩断面没有弯矩船体结构中的纵骨船体结构中的纵骨296.3.2 弹性支座上连续压杆的稳定性弹性支座上连续压杆的稳定性考虑中间支座发生位移的中性平衡状态，将双跨杆在中间支座断面切开， 中间支座的转角连续方程中间支座的转角连续方程 为两端自由支持、中间为两端自由支持、中间为弹性支座的等断面等跨弹性支座的等断面等跨度双跨压杆度双跨压杆中性平衡时可能中性平衡时可能有两种弯曲形状有两种弯曲形状仍用力法建立方程计算仍用力法建立方程计算相当于中间支座相当于中间支座是一个刚性支座是一个刚性支座30联立求解联立求解转角连续方程转角连续方程
