1、龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 1 页椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆 相内切，且过点 ，求这个动圆圆心2:(4)10Cxy(4,0)A的轨迹方程； M例 2. 方程 所表示的曲线是 223(1)()2xyxy练习：1.方程 对应的图形是（ ）22()(3)6xyxyA.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程 对应的图形是（ ）22(3)()10A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程 成立的充要条件是（ ）2222()(3)xyxyA. B. C. D. 1561592165xy2195xy4.如果方程 表示椭圆，则 的取值范围是
2、 2222()()xymxym5.过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆相交于 两点，则 两点与椭圆29411F,AB,的另一个焦点 构成的 的周长等于 ；2F2AB6.设圆 的圆心为 ， 是圆内一定点， 为圆周上任意一点，线段()5xyC(,0)Q的垂直平分线与 的连线交于点 ，则点 的轨迹方程为 ；AQQM题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例 1.方程 的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的2165xy点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 ，求椭圆的方(3,0)P龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 2 页程；（三）
3、用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 、1(6,)P，求椭圆的方程；2(3,)P例 4.求经过点 且与椭圆 有共同焦点的椭圆方程；(,)29436xy注：一般地，与椭圆 共焦点的椭圆可设其方程为 ；21ab2221()xykbakb（四）定义法求轨迹方程；例 5.在 中， 所对的三边分别为 ，且 ，求满足ABC, ,abc(1,0)(,BC且 sinB，sinA，sinC 成等差数列时顶点 的轨迹；bac A练习：1.三角形 ABC 中，B （-2,0 ） ，C（2，0） ，AB、AC 边上的中线长之和为 30，求三角形ABC 的重心的轨迹方程。2.已知
4、动圆 C 和定圆 O：（x-3） 2 +y2 = 64 相内切，且 A（3，0）在动圆 C 上，求动圆圆心的轨迹方程。（五）相关点代入法求轨迹方程；例 6.已知 轴上一定点 A(2， -3)， 为椭圆 上任一点，求 的中点 的轨xQ214xyAQM迹方程； （六）直接法求轨迹方程；例 7.设动直线 垂直于 轴，且与椭圆 交于 两点，点 是直线 上满足lx24xy,ABPl龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 3 页的点，求点 的轨迹方程； 1PABP（七）列方程组求方程例 8.中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标(0,5)F32yx为 ，求此椭圆的方程； 12题型
5、三.焦点三角形问题例 1.已知椭圆 上一点 的纵坐标为 ，椭圆的上下两个焦点分别为 、 ，2165xyP532F1求 、 及 ；1PF212cosF题型四.椭圆的几何性质例 1.已知 是椭圆 上的点，的纵坐标为 ， 、 分别为椭圆的两个焦点，P21xyab531F2椭圆的半焦距为 ，则 的最大值与最小值之差为 c12FPA例 2.椭圆 的四个顶点为 ，若四边形 的内切圆恰21xyab(0),ABCDABC好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例 3.若椭圆 的离心率为 ，则 ；214xyk2k例 4.若 为椭圆 上一点， 、 为其两个焦点，且P2(0)ab1F2， ，则椭圆的离心率为 0125F217
6、5F题型五.求范围龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 4 页例 1.方程 表示准线平行于 轴的椭圆，求实数 的取值范围；221()xymxm题型六.椭圆的第二定义的应用例 1. 方程 所表示的曲线是 22(1)()xyxy例 2.求经过点 ，以 轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程；,M12例 3.椭圆 上有一点 ，它到左准线的距离等于 ，那么 到右焦点的距离为2159xyP5P例 4已知椭圆 ，能否在此椭圆位于 轴左侧的部分上找到一点 ，使它到32yxyM左准线的距离为它到两焦点 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能12,F找到，请说明理由。例 5已知椭圆 内有
7、一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是1592yx)1,(AF2 P椭圆上一点求 的最小值及对应的点 的坐标23PFAP题型七.求离心率例 1. 椭圆 的左焦点为 ， ， 是两个顶21xyab(0)1(,0)Fc(,)Aa(0,)Bb点，如果 到直线 的距离为 ，则椭圆的离心率 1FAB7be例 2.若 为椭圆 上一点， 、 为其两个焦点，且 ，P2(0)xyab1F2 12PF，则椭圆的离心率为 21F龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 5 页例 3. 、 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点， ，且1F2 2F,PQ1FP，则椭圆的离心率为 ；1PQ题型八.椭圆参数方
8、程的应用例 1. 椭圆 上的点 到直线 的距离最大时，点 的坐标 2143xyP270xyP例 2.方程 ( )表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围；22sincosxy0题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例 1. 当 为何值时，直线 与椭圆 相切、相交、相离？m:lyxm29164xy例 2.曲线 （ ）与连结 ， 的线段没有公共点，求 的22xya0(,)A(2,3)Ba取值范围。例 3.过点 作直线 与椭圆 相交于 两点， 为坐标原点，)0 ,3(Pl2341xy,ABO求 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。OAB例 4.求直线 和椭圆 有公共点时， 的取值范围co
9、sin2xy236xy。 (0)龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 6 页（二）弦长问题例 1.已知椭圆 ， 是 轴正方向上的一定点，若过点 ，斜率为 1 的直线21xyAxA被椭圆截得的弦长为 ，求点 的坐标。34；(2,0)A例 2.椭圆 与直线 相交于 两点， 是 的中点，21axby1xy,ABC若 ， 为坐标原点， 的斜率为 ，求 的值。|ABOC2,ab例 3.椭圆 的焦点分别是 和 ，过中心 作直线与椭圆交于 两点，若12045yx1F2O,AB的面积是 20，求直线方程。2ABF（三）弦所在直线方程例 1.已知椭圆 ，过点 能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 ；
10、2164xy(2,0)Pl P龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 7 页例 2.已知一直线与椭圆 相交于 两点，弦 的中点坐标为 ，24936xy,AB(1,)M求直线 的方程；AB例 3. 椭圆 中心在原点 ，焦点在 轴上，其离心率 ,过点 的直线 与椭EOx32e(1,0)Cl圆 相交于 两点，且 C 分有向线段 的比为 2.,ABAB（1）用直线 的斜率 表示 的面积；l(0)k（2）当 的面积最大时，求椭圆 E 的方程O解：（1）设椭圆 的方程为 ，由 ，a 2=3b2E12byax3ce故椭圆方程 ；23xy设 ，由于点 分有向线段 的比为 212(,)(,)AB(1,0)
11、CAB ，即0321yx21)(yx由 消去 y 整理并化简得(3k 2+1)x2+6k2x+3k23b 2=0)(xkyb由直线 l 与椭圆 E 相交于 两点12(,)(,)AxBy1360)3)(4322122kbxbkk而 2222233|(1)|1|OABSyyykxkx由得: ，代入 得： .31xk|0OABS龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 8 页（2）因 ,23| 312|OABkSk当且仅当 取得最大值,3kOAB此时 ，又 ， ；12x12x12,x将 及 代入得 3b2=5，椭圆方程 ,3k 35y例 4.已知 是椭圆 上的三点， 为椭圆的左焦点，102(,)
12、(,)AxyBCxy214xF且 成等差数列，则 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。,FA（四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线2143xym对称； ym例 2.已知中心在原点，焦点在 轴上，长轴长等于 6，离心率 ，试问是否存在直y32e线 ，使 与椭圆交于不同两点 ，且线段 恰被直线 平分？若存在，求出直l ,AB1x线 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十.最值问题龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 9 页例 1若 ， 为椭圆 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求(2,3)P2F1652yx的最大值和最小值。
13、2M分析：欲求 的最大值和最小值2可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点。21FaF解： ，连接 ，延长 交椭圆于点 M1,延长 交椭21MPaM1PF1FP圆于点 由三角形三边关系知 当且仅当 与 重合时取右等号、 与 重合时取左等号。1 2因为 ，所以 , ；20,2aPFmax()1PF2min()8PF结论 1：设椭圆 的左右焦点分别为 , 为椭圆内一点，12byx120y为椭圆上任意一点，则 的最大值为 ,最小值为 ；(,)My2M1a12aPF例 2 , 为椭圆 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 的6P2F1652yx 2M最大值和最小值。分析：点 在椭圆外，
14、 交椭圆于 ，此点使 值最小，求最大值方法同例2 2PF1。解： ，连接 并延长交椭圆于点 M1，21MPFaF1则 M 在 M1 处时 取最大值 ； 最大值是 10+ ，最小值是 。2374结论 2 设椭圆 的左右焦点分别为 ， 为椭圆外一点，12byax12,F0(,)Pxy为椭圆上任意一点，则 的最大值为 ，最小值为 ;(,)M2MP1aF2P2.二次函数法例 3求定点 到椭圆 上的点之间的最短距离。(,0)Aa12byxF2F1M1M2o龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 10 页分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示 ，转化为 的函数求最小值。PA,xy解：设 为椭圆
15、上任意一点，(,)Pxy222221()()1Aaxaxa由椭圆方程知 的取值范围是 ,（1）若 ，则 时，2axa2min1PAa（2）若 ,则 时in（3）若 ,则2amin2PAa结论 3：椭圆 上的点 到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题，可以12byx(,)Mxy用两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例 4求椭圆 上的点 到直线 的距离的最值；12yx(,)xy:24lxy解：三角换元 令 45d12Rsinco则 2cosinsin()4当 时 ；当 时,sin()14min4521
16、0di()1结论 4：若椭圆 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最max520d2byax值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线 将 代入椭圆方程整理得 ，:20mxyc2xyc22840yc龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 11 页由=0 解得 , 时直线 与椭圆切于点 ，2c2:20mxyP则 到直线 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线 与 的距离，Pl l所以 ；min4510d时直线 与椭圆切于点 Q，则 Q 到直线 l 的距离为最
17、大值，且2c:2xy最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以 。max45210d结论 5：椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线 m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。例 5.已知定点 ，点 为椭圆 的右焦点，点 在该椭圆上移动时，(2,3)AF216xyM求 的最小值，并求此时点 的坐标；（第二定义的应用）MM例 3已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆内一点 的坐标为1F221064xyM， 为椭圆上的一个动点，试分别求：(2,6)P（1） 的最小值； （2） 的取值范围253M2PF综上可知， 的取值范
18、围为 ;2PMF10,3三角形法：椭圆 （b 2=5, a25）的左焦点为 F，直线 x=m 于椭圆相交于点 A,B,三角形 FAB12yax的周长的最大值为 12， 则该椭圆的离心率为 题型十一.轨迹问题龙鳞数理化 高二数学精品教程MRgong 第 12 页例 1到两定点 ， 的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 ( )(2,1),) A 椭圆 双曲线 直线 线段例 2已知点 ，点 在圆 的上半圆周上(即 y0) ，AOP 的平分线交(3,0)P21xy于 Q，求点 Q 的轨迹方程。P例 3.已知圆 及点 ， 是圆 C 上任一点，线段 的垂直平2:(3)10Cxy(3,0)APPA分线 l 与 PC 相交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程。题型十二.椭圆与数形结合例 1关于 的方程 有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围.x20xkk例 2求函数 的最值。46tt
