1、专题 1 圆锥曲线的综合应用题型 1 直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线 与双曲线 的交点个数是( )A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 0答案详解 A解:双曲线 的渐近线方程为: ,因为直线 与双曲线 的一条渐近线平行,在 y 轴上的焦距为 3,所以直线 与双曲线 的交点个数是:1. 所以 A 选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为 的直线 l 与椭圆 交与不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 答案详解 A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入
2、椭圆 ，两边乘 ，则， ， ,或 所以3. 过双曲线 x2- =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若实数 使得|AB|= 的直线 l 恰有 3 条，则 = 【答案】 分析： 利用实数 使得|AB|= 的直线 l 恰有 3 条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为 4，再作验证，即可得到结论解答： 解：实数 使得|AB|= 的直线 l 恰有 3 条根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时 A，B 的横坐标为 ，代入双曲线方程，可得 y=2，故|AB|=4双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等
3、于 4，综上可知，|AB|=4 时，有三条直线满足题意 =4 故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘 ,求得关于 的方程求得 e.4. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足，如果直线 的倾斜角为 ，那么 。5. 已知椭圆 C 的中心在原点 ,焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 倍,其上一点到右焦点的最短距离为 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 与圆 相切,且交椭圆 C 于 A、B 两点,求当 的面积最大时直线 l 的方程.答案详解解:(1)设椭圆 右焦点则 由(1)得 代 得代(2)得(2) 与圆 相切由 消 y 得又
4、 ,当 时, ,当 时,(当 时“=”成立 )此时 且(3)式6. 已知 ， 是双曲线 的两个焦点，离心率等于 的椭圆 与双曲线的焦点相同，动点 满足 ，曲线 的方程为。（）求椭圆 的方程；（）判断直线 与曲线 的公共点的个数，并说明理由；当直线 与曲线 相交时，求直线 截曲线 所得弦长的取值范围。答案（）因为 是双曲线 的两个焦点，则 。因为椭圆 与双曲线的焦点相同，则可得 。则可解得 ，所以椭圆方程为 。（）动点 满足 ，所以 是椭圆 上的点，则。则可得 ， 。因为曲线 是圆心 半径 的圆，圆心到直线 的距离为，所以直线 与曲线 有两个公共点。设直线 截曲线 所得的弦长为 ，则 。对动点
5、，可得 ，则代入 的表达式可得 。题型 2 弦重点、中点弦问题7、平面直角坐标系 中，过椭圆 ： （ ）右焦点的直线 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 。（）求 的方程；（） ， 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形面积的最大值。答案详解（）设 ， ， ，则 ， ，。由此可得： ，因为 ， ，所以 。又由题意知， 的右焦点为 ，故，因此 ， ，所以 的方程为 。（）由 ，解得 或 ，因此 。又题意可设直线 的方程为 （ ）。设 ， ，由 得 ，于是 ，因为直线 的斜率为 ，所以 ，由已知，四边形 的面积 ，当 时， 取得最大值，最大值为 。所以四边形 的面积的最大值为8、已
6、知点 A、 B 的坐标分别是 ， .直线 相交于点 M，且它们的斜率之积为2.()求动点 M 的轨迹方程;()若过点 的直线 交动点 M 的轨迹于 C、D 两点, 且 N 为线段 CD 的中点，求直线 的方程.答案【答案】解：( )设 ，因为 ,所以 化简得: 6 分() 设 当直线 x 轴时,直线 的方程为 ,则 ,其中点不是N,不合题意。8 分设直线 的方程为 。将 代入 得(1) (2) 10 分(1)-(2)整理得 : 12 分直线 的方程为即所求直线 的方程为 14 分题型 3 对称问题9、已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等于（ ）。A: B: C: D: 答案
7、详解 C正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查抛物线与直线的关系。设直线 的方程为 ，与抛物线联立得， ，由韦达定理得 ，进而可求出 的中点 ，又因为 在直线上，代入可得， ， ，由弦长公式可求出。故本题正确答案为 C。10、已知椭圆 1 上的两个动点 P，Q ，设 P(x1，y 1)，Q( x2，y 2)且 x1 x2 2.(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A；(2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B，求|PB |的最小值及相应的 P 点坐标答案详解（1）见解析. (2) |PB|min . P 的坐标为(0 ， )解析:(1)证明 P(x 1， y1)，Q(
8、x 2，y 2)，且 x1x 22.当 x1x2 时，由 得 .设线段 PQ 的中点 N(1， n)，k PQ ，线段 PQ 的垂直平分线方程为 yn2n (x1)，(2x1) ny0，该直线恒过一个定点 A .当 x1 x2 时，线段 PQ 的中垂线也过定点 A .综上，线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A .(2)由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称，故点 B .2 x12，2x 22，x 12x 20,2，|PB|2 2y (x11) 2 ，当点 P 的坐标为 (0， )时，|PB| min .题型 4 求参数的取值范围及最值得综合题11、过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,
9、B 两点,点 O 是坐标原点,则 的最小值是( )A. 2 B. C. 4 D. 答案 C解:根据题意知,抛物线 y2 的焦点坐标为 ,当斜率 k 存在时,设直线 AB 的方程为 ,由 2x2 2 2 .设出 1，y 1)、 2，y 2）则 ,x1x2 .根据抛物线的定义得出 1 2 1x2+x1+x2+1,.当斜率 k 不存在时, .则 的最小值是 4.12、在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线 的距离大于 恒成立，则实数 的最大值为_ 。答案详解解析:本题主要考查双曲线的性质。由题可画图：由双曲线方程 ，可得 ， ，则双曲线的渐近线方程为。因为双曲线无线接近于渐
10、近线，直线 与 平行，两直线之间的距离 即为 的最大值， 故本题正确答案为 。13、若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上任意一点，则 最大值为 答案 6解析将椭圆方程 变形可得 ，所以 设 ， ，则 ， ， ，即 所以 的最大值为 6题型 5 定点与定值问题14、已知直线 ，圆 ，椭圆 的离心率 ，直线 被圆 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。（）求椭圆 的方程；（）过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值。答案详解（）圆心 到 的距离 ，则 ，又 ，则 ，椭圆的方程 。（）设点 ，则过点 的在椭圆 的切线方程为 ：，联立直线 与椭圆 的方程，得，消去 整理得：，因为直线 与椭圆 相切，所以 ，设满足条件的椭圆 的两条切线的斜率为 、 ，则 ，又 ，则 ，两切线斜率之积为定值 ，故证得切线斜率之积为定值。15、
