1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 tan,0,)k点到直线的距离 夹角公式：2AxByCd 21tank（3）弦长公式直线 上两点 间的距离：ykxb12(,)(,)AxyB21ABkx或2211()4122yk（4）两条直线的位置关系 =-1 121lk212121/bkl且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：21(0,)xymn且距离式方程： 22)(cxcya参数方程： os,inxayb(2)、双曲线的方程的形式有
2、两种标准方程：21(0)xymn距离式方程： 22|)(|cxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22bbpaa椭 圆 ： ； 双 曲 线 ： ； 抛 物 线 ：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一个动点 M 满21F、 1342yx足 则动点 M 的轨迹是（ ）21MA、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： 12tanFPPb在 椭 圆 上 时 ， S12co在 双 曲 线 上 时 ，（其中 ）22112 12|4,cos,|cs|FcFP PFP (6)、记住焦半径公式：（1） 0 0;xaexaey椭
3、 圆 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为，可简记为“左加右减，上加下减” 。（2） 0|xexa双 曲 线 焦 点 在 轴 上 时 为（3） 1 1|,|22ppy抛 物 线 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有1,yxA2,yxBbaM, 1342yxAB， ；两式相减得3421134202121y=21212121 yyxxABkba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办
4、？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代0入弦长公式，设曲线上的两点 ，将这两点代入曲12(,)(,)AxyB线方程得到 两个式子，然后 - ，整体消 1 2 1 2元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，就意味着 k 存在。ykxb例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 上，且点80542yA 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 AB
5、C 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为 ，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.09分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为 可09得出 ABAC，从而得 ，然后利用联立消016)(14221 yyx元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：（1）设 B（ , ）,C( , ),BC 中点为( ),F(2,0)则有1xy2xy0,yx620,2yx两式作差有 (1)016)()( 222121 yyxx 045kyxF(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得32
6、3021，代入（1）得20y56k直线 BC 的方程为 028yx2)由 ABAC 得 （2）016)(14221 y设直线 BC 方程为 ，得85,xbkxy代 入0850)54(22bxk，2212214kx代入（2）式得2121 580,548byky，解得 或06392b)(4舍94b直线过定点（0， ，设 D（x,y ） ，则 ，即)9 14xy0163292yxy所以所求点 D 的轨迹方程是 。)4(920)16(2 yyx4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 ，点 E 分有向线CDAB2段 所成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当AC时，求双
7、曲线离心率 的取值范围。432e分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设 C ，代入 ，求得 ，xOyhc, 212byaxh进而求得 再代入 ，建立目标函数,E 12byax，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对(,)0fabc(,)0fe可采取设而不求的解题策略,h建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.(,)fabc(,)0fe解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为 轴，直线 AB 为 轴，yx建立直角坐标系 ，则 CD 轴因为双曲线经过点 C、D，且以xOyyA、B 为焦点，由双曲线的对称
8、性知 C、D 关于 轴对称 y依题意，记 A ，C ，E ，其中 为0 ,ch, 20 ,x|21ABc双曲线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得h， 1210ccx 0hy设双曲线的方程为 ，则离心率2baxace由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 代入双曲线方程得， 142bhe 12bh由式得 ， 142ebh将式代入式，整理得 ，2142e故 3由题设 得，432421e解得 07所以双曲线的离心率的取值范围为 10, 7分析：考虑 为焦半径, 可用焦半径公式, 用 的横坐AEC,AEC,标表示，回避 的计算, 达到设而不求的解题策略h解法二：建系同解法一， ，,
9、ECAaexaex，又 ，代入整理 ，由211Eccx1C132e题设 得，432432e解得 107所以双曲线的离心率的取值范围为 10, 75、判别式法例 3 已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当12:xyCl,2Ak时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ，10k l2试求 的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 平行的直线，必l与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解
10、题思路：010)2(: kxkyl kkxyl: 的 值解 得 k解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ”，相当于化归l2的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：简解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直)2,(xM线 的距离为：l212kx10k于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程 有唯一10212kkx解由于 ，所以 ，从而有10kkx2 .
11、2kx于是关于 的方程x)1(22kk0)1( ,)(22xkxx.)( ,02)1(2)(22 kk由 可知：10方程 的二根同 02)1(2)1(22 kxkkxk正，故 恒成立，于是 等价于0)1(.)()( 2222 kkxkxk由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 0.52k点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 4 已知椭圆 C: 和点 P（4，1 ） ，过 P 作直线交椭圆于xy28A、 B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使 ，求动点 Q 的轨迹AB所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学
12、生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直),(yxQ线 AB 的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点kyx,kQ 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件： 来转化.APBQ由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 ，要建立 与 的)(824BAxxxk关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有
13、数. 将直线方程代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y = k (x4)+1，消去参数 k点 Q 的轨迹方程QBAP)(824BAxxkfx在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，kfx目的不过是得到关于 的方程（不含 k） ，则可由 解得yx, 1)4(xky，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过41xykkf程。简解：设 ，则由 可得：),(,21yxQByxA， QBAP，x21214解之得： （1）)(8241xx设直线 AB 的方程为： ，代入椭圆 C 的方程，消去)4(ky得出关于 x 的一元二次方程：y（2）08)1(2
14、)(41222 kxkk .128)(,1kx代入（1） ，化简得： .34x(3)与 联立，消去 得：1)4(xkyk.0)4(2xy在（2）中，由 ，解得 ，结合0462 12k（3）可求得 .906x故知点 Q 的轨迹方程为： （ ）.2yx 9069016x点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而 “引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法例 5 设直线 过点 P（0，3 ） ，和椭圆 顺次交于 A、B 两l xy2941点，试求
15、 的取值范围 .AB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却APBx一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析 1:从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由APBAx于有两个变量 ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想BAx,到利用第 3 个变量 直线 AB 的斜率 k. 问题就转化为如何将转化为关于 k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，BAx,消去 y 得出关于 的一元二次方程
16、，其求根公式呼之欲出.x所求量的取值范围把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA= f（k） ，x B = g（k）得到所求量关于 k 的函数关系式求根公式AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围简解 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得 ;l 51PBA当 与 x 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为：l )(,21yxA， l，代入椭圆方程，消去 得3ky y0449kxk解之得 .4956272,1kx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 的情0k形.当 时， ， ，0k49562721kx
17、4956272kx所以 = = = .2PBA218225918k由 , 解得 ，04918)54(k95k所以 ，522综上 .1PBA分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取k值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦k达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式 . 原因找到后，解决问21xPBA21,x题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.21,x简解 2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l 3kxy y（*）
18、045492xk则 .495,21kx把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去y 得到关于 x 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，x A xB = g（k ）构造所求量与 k 的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围令 ，则，21x.204531k在（*）中，由判别式 可得 ，,95从而有 ，所以 ，解得 536204k 536214.51结合 得 . 105综上， .PBA点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度
19、入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为 BA,， O
20、为椭圆中心， F为椭圆的右焦点，且 1FBA， O（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为 M，直线 l交椭圆于 QP,两点，问：是否存在直线 l，使点 F恰为 PQ的垂心？若存在，求出直线 l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：（） （）消元 2,1ab写出椭圆方程由 ，AFBO，()1acc1PQk由 F 为 的重心PQM,PQMF22yxm22340xm两根之和，两根之积0MPFQ得出关于m 的方程 解出 m解题过程： （）如图建系，设椭圆方程为21(0)xyab,则 1c又 1FBA即 2()acc， 2 故椭圆方程为2xy（）假设存在直线 l交椭圆于 QP,两点，且 F恰为 P
21、QM的垂心，则设 12(,)(,)PxyQ， (0,1),M，故 1PQk，于是设直线 l为 yxm，由 2yx得，22340xm 1221()()MPFQxy 又 (1,)iiyx得 12()0m 即2()x由韦达定理得224103m 解得 或 （舍） 经检验 43m符合条件点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆 E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 (2,0)A、 (,)B、 31,2C三点（）求椭圆 的方程：（）若点 D 为椭圆 E上不同于 A、 B的任意一点，(1,0)(,FH，当 内切圆的面积最大时，求 内心的坐FHDFH标；思
22、维流程：（） （） 得出 点坐标为D3,0由椭圆经过 A、B 、C 三点 设方程为 12nymx得到 的方程nm,组解出 nm,由 内切圆面积最大DFH转化为 面积最大DFH转化为点 的纵坐标的绝对值最大最大 为椭圆短轴端点面积最大值为F3内 切 圆周 长 rSDFH213内 切 圆r解题过程： （）设椭圆方程为 ， 将12nymx0,n(2,0)A、 (,)B、 3(1,)2C代入椭圆 E 的方程，得49mn解得 1,4n. 椭圆 的方程2143xy（） |2FH，设 边上的高为DFhSDFH21当点 在椭圆的上顶点时， h最大为 3，所以 的最大值DFH为 3设 的内切圆的半径为 R，因为
23、 的周长为定值 6所以，DFH621RS所以 的最大值为 3所以内切圆圆心的坐标为 3(0,).点石成金： 的 内 切 圆的 内 切 圆 的 周 长 rS21例 8、已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭)0(，C532yxC圆相交于 两点.AB，（）若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；12AB（）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求xM出点 的坐标；若不存在，请说明理由.M思维流程：（）解：依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为ABAB，(1)ykx将 代入 ， 消去 整理得 532yxy22(31)6350.kxk设 12() ()AxyB， ， ， ，则 4221236
24、1()0 (1). 2kkx，由线段 中点的横坐标是 ， 得 ，解得AB121231xk，符合题意。3k所以直线 的方程为 ，或 . 310xy310xy（）解：假设在 轴上存在点 ，使 为常数.(,)MmBA 当直线 与 轴不垂直时，由（）知 x22121635 . (3)3kkxx，所以 21212212() )()MABmyxmkx 将 代入，整理得 1().kxk3222 243(61)53224.()mk注意到 是与 无关的常数， 从而有 ， 此时MBA 761403m，4.9 当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为AxAB，当 时， 亦有 213， 、 ， 73m4.9M综上，
25、在 轴上存在定点 ，使 为常数.x703M， MBA点石成金：222 2114()3(61)53mkmkAB m226.(1)k例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M（2 ，1） ，平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为lm（ m0） ， 交椭圆于 A、B 两个不同点。l（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：（1）设椭圆方程为 )0(12bayx则 椭圆方程为81422baa解 得 128yx（）直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m又 KOM= 2 xl2
26、1的 方 程 为 ：由 0421282mxyx直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， 0,2,)4()(m且解 得（）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k 2，只需证明 k1+k2=0即可设 4,2),(),( 21121 mxxyxBA且则 ,21kk由 可 得042mx,211 而 )2()(1)1(2212 xyyxyk)2()1(442)()()(1211 1xmmx00)(2121k故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 021k例 10、已知双曲线 的离心率 ，过 的直12byax32e),0(,
27、bBaA线到原点的距离是 .3（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C， D)0(5kxy都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.思维流程：解：（1） 原点到直线 AB： 的距离,32ac 1byax,12bbd故所求双曲线方程为 .132yx（2）把 中消去 y，整理得 52kxy代 入.0783)1(2设 的中点是 ，则CDyxC),(,21 ),(0yxE. ,315350 200kxk kkBE,0y即 7,0,0315315 222 kkkk又故所求 k= .7点石成金: C， D 都在以 B 为圆心的圆上 BC=BD BECD;例 11、已知椭圆 C
28、 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1（）求椭圆 C 的标准方程；（II）若直线 y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点（ A、 B 不是:l左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l思维流程：解：（）由题意设椭圆的标准方程为 ，21(0)xyab由已知得： ，31ac，椭圆的标准方程为 221ab， ， 2143xy（II）设 12()()AxyB， ， ，联立 2.43km，得 ，则22()84(3)0kx2221264(3).mkmxk， 即 ，又 2212121123(
29、4)()()mkykxkxx因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，AB0D，即 . 1Dk121xy1212()40yxx 2223(4)(3)540mmk2276mk解得： ，且均满足 127k， 30当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾；l()ykx(2)，当 时， 的方程为 ，直线过定点 27kml 2707，所以，直线 过定点，定点坐标为 l 0，点石成金：以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 CACB;例 12、已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,)0,(12bayx 21F、点 P 在双曲线右支上.（）若当点 P 的坐标为 时, ,求双曲线的方程；)51643(21PF（）
30、若 ,求双曲线离心率 的最值 ,并写出此时双曲线的|3|21Fe渐进线方程.思维流程：解：（）(法一) 由题意知, , ,1PF)51643(c2PF)51643(c, （1 分）21PF,021)0)解得 . 由双曲线定义得: 5,c ,|21a2222 )56()413()16()435(2 a, 122,ba所求双曲线的方程为: 1692yx(法二) 因 ,由斜率之积为 ,可得解 .21PF（）设 ,|,| rr(法一) 设 P 的坐标为 , 由焦半径公式得)(yx,aearexar |,| 21, ， cx22),(3,3,2,acxc的最大值为 2,无最小值. 此时 ,e 31, 2eab此时双曲线的渐进线方程为 xy3(法二) 设 , .21PF,0(1)当 时, , 22121 43,rcrcr，且21ra此时 .42race(2)当 ,由余弦定理得 :），（ 0cos610cos22 2121 rrrc）（ ,602rae, ,综上, 的最大值为 2,但 无最小值. (以)1(cos)2(eee下法一)
