1、- 1 -圆的基本性质考点 1 对称性圆既是_对称图形，又是_对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的_。它的对称中心是_。同时圆又具有旋转不变性。温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。考点 2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_并且平分弦所对的两条_。常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于_，并且平分弦所对的两条_。温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在 3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径
2、定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；考点 3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也_。常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_ _，所对11的弦_ _。12（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_ _，所对的弧_13_。14方法
3、点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。考点 4 圆周角定理及其推论定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_ _，都等于这条弧所对的圆心角的15- 2 -_ _。16推论：半圆或直径所对的圆周角是_ _，
4、90的圆周角所对的弦是_ _。17 18方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦” 。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。例 1：如图 1，正方形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 在劣弧 上不同于点 C 得到任意一点，则ADBPC 的度数是（ ）A B C D45607590例 2：如图，在 中， 的度数为 是 上一点， 是 上不同的两点（不与OABmC， ABDE， AB两点重合） ，则 的度数为（ ）AB， DEA B C Dm1802
5、902例 3：高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 =10 米，净高 =7 米，则此圆的半径 =（ ）OAA5 B7 C D37537训练一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1 （09 年南宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30,O 的半径为 ，则弦 CD 的长cm3为（ ）A B C D3cm23cm23cm9cO PDCBA例 1 图A BCD EO例 2 图ODA BC例 3 图- 3 -2 （09 年天津市）如图，ABC 内接于O，若OAB28，则C 的大小为（ ）A28 B56 C60 D623 （
6、09 南宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E,CDB30, O 的半径为 ，则弦 CD 的长为cm3（ ）A B C Dcm23c23cm9c4 （09 年安徽）如图，弦 CD 垂直于O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD ，BD ，则 AB 的长为（ ）23A2 B3 C4 D55 （09 年安徽）ABC 中，ABAC，A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为ACD 的内切圆圆心，则AIB 的度数是（ ） A120 B125 C135 D1506 （09 年重庆）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径若BOC80，则A 等于（ ）A60 B50 C40 D30BCDA
7、7 （09 年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为( )A5 米 B8 米 C7 米 D5 米 38 （09 年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）A0.4 米 B0.5 米 C0.8 米 D1 米9 （09 山西省太原市）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，若以点 C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长等于（ ）A B5 C D6535210.( 09 年云南省)如图，A、D 是O 上的
8、两个点，BC 是直径，若D 35，则OAC 的度数是（ ）A35 B55 C65 D70 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图- 4 -二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11 （09 年长沙）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，BOC44，则A 的度数为 12 （09 年长春）如图，点 在以 为直径的 上， ，则 的长为 ABO 103AB， BC13. （09 年福州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上 ，ODAC，若 BD1，则 BC 的长为 14 （09 年北京市）如图，AB 为O 的直径，弦
9、 CDAB，E 为 上一点，若CEA ，则ABD28. DA BC E15 （09 年山东青岛市）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，ACD42，则BAD _.16 （09 年新疆乌鲁木齐市）如图，点 C、D 在以 AB 为直径的O 上，且 CD 平分 ，若ACBAB2,CBA15，则 CD 的长为 17 （09 年广东省）已知O 的直径 AB8cm ，C 为O 上的一点，BAC30 则 BC_cm.18 （09 年山西省）如图所示， A、 B、 、 是圆上的点， 1704， ， 则 度ABCDO19.( 09 年上海市) 在O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半
10、径 OA 20(09 成都)如图，ABC 内接于O，ABBC，ABC120，AD 为O 的直径，AD6，那么第 10 题图 第 11题图 第 12 题图 第 13 题图第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图第 18 题图 第 20 题图- 5 -BD_三、解答题（共 60 分）21(本题 6 分)（09 年广西钦州）已知：如图，O 1与坐标轴交于 A（1，0） 、B（5，0）两点，点 O1的纵坐标为 求O 1的半径522(本题 6 分) (09 年四川省内江市)如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E、F 在 AC 上，ABAD，BFCBA
11、D2DFC.求证：（1）CDDF；（2）BC2CD.23(本题 6 分)（09 年甘肃庆阳）如图，在边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中，AC 是对角线，P 为边 CD 的中点，延长 AP 交圆于点 EE 度；25(本题 7 分)（09 年株洲市）如图，点 、 、 是 上的三点， .ABCOA/BC（1）求证： 平分 .ACO（2）过点 作 于点 ，交 于点 . 若 ，EBP2，求 的长30OP第 22 题图第 25 题图第 23 题图第 22 题图第 21 题图B A O 图 2 xy1- 6 -26. (本题 9 分) (09 年潍坊)如图所示，圆 O是 ABC 的外接圆， BAC与
12、的平分线相交于点 I，延长 AI交圆 O于点 D，连结 B、 （1）求证： CI；（2）若圆 的半径为 10cm， 120，求 D 的面积参考答案基础知识回放轴 中心 对称轴 圆心 弦 弧 弦 弧 相等 相等 相等 相等 11 12相等 相等 相等 一半 直角 直径13 14 15 16 17 18例 1、A 例 2、B 例 3、C中考效能测试1B 【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为30 0，所以60 0，所以在直角中， ，根据勾股定理可得 ，所以2132323 cm.2D【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对
13、的圆心角的一半，所以AOB=2C。OA=OB，OAB=OBA, 又OAB=28, AOB=124，所以C=62.故选 D.3【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为30 0，所以60 0，所以在直角中， ，根据勾股定理可得 ，所以2132323 cm.4B 【解析】由垂径定理，可得 DH= ,所以 BH= 又可得DHBADB.,所以有21,BDH.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。22,(3)1,3DHABA5C【解析】由 CD 为腰上的高,I 为ACD 的内心，则IAC+ICA=,0001 1()(8)(89)45222BCDC第 27 题图- 7 -所以
14、 又可证 AIBAIC,得0 0018()18453.AICIABCAIB=AIC= 。356C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以A 是BOC 的一半，答案为 C.7B【解析】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度 AB=24m，拱所在圆半径为 13m，所以找出圆心 O 并连接 OB，延长 CD 到 O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出 DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故选 B。8D【解析】考查点：本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下图形：AOBCD
15、设圆的半径为 R，则 OA=R，由垂径定理可得 AC= ，OC=R-0.2，在 中，利用勾股定理4.0821OACRt可得： ，解得 R=0.5，故该圆的直径为 （米） 。22).0(4. 1259A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接 CD，C90，D 是 AB 中点，AB10，CD AB5，BC5，根据勾股定理得 AC ，故选 A12 310B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法 1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的 2 倍，所以270 0，而中，所以，而1800110 0，所以55 0.法 2：因为是直径，所以90 0，则90 0，而中，所以，而35 0，从而问题
16、得解。1122【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为 。00214125【解析】因为 AB 是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又 ，根据在直角三角形中，103AB， 30 度角所对的直角边等于斜边的一半，则 BC=5。132【解析】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为 AB 是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以 ODBD,根据垂径定理,可知,D 为 BD 的中点,所以 BC=2BD=2.- 8 -1428【解析】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可
17、知弧 AC=弧 AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知ABD=28.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。1548【解析】连接 OD，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得， ,又因084AODOD=OA，所以 。000 48)18(2)18(2AODADOB16 【解析】本题考查了垂径定理的基本图形.连接 OC，过点 O 作 OE，使 OECD，垂足为点 E，因为3ABC=15，OB=OC，所以OCB=15，OCE=BCD-OBC=45-15=30，在 Rt OCE 中，CE =OCcos30=1 ,所以 CD= .2331
18、74【解析】本题考察的是圆周角定理.根据直径所对的圆周角为直角可以得到C 为直角.再根据 30 度角所对的直角边等于斜边的一半,所以 BC= AB=4cm.121830【解析】1=A+B, B=30,又C=B=30.（同弧所对的圆周角相等）本题主要考查同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而得到C=1=35.21195【解析】本题考查垂径定理与勾股定理。如图，在O 中，AB=6，OCAB 于 C，则 AC= AB=3，在 Rt12AOC 中， .22435OAC- 9 -203 【解析】因为 ABBC，ABC120，则CAB=ACB=3
19、0，又 AD 为O 的直径，则ABD=90，又 AD6，AB=3，则 BD=3 。3提炼知识。解：过点 O1作 O1CAB，垂足为 C，则有 ACBC B A O 图 2 xy1C由 A（1，0） 、B（5，0） ，得 AB4，AC2在 中，O 1的纵坐标为 ，RtOC 5O 1C O 1的半径 O1A 3221()C22证：（1）设DFC，则BAD2在ABD 中，ABAD， ABDADBABD12（180-BAD）90-又FCDABD90-FCD+DFC90CDDF（2）过 F 作 FGBC 于 G在FGC 和FDC 中 ，FCGADBABDFCDFGCFDC90,FCFCFGCFDCGCC
20、D 且GFCDFC又BFC2DFCGFBGFC- 10 -BC2GC， BC2CD.23解：（1）45（2）ACPDEP理由：AEDACD，APCDPE， ACPDEP（3）方法一： ACPDEP， .APCDE又 AP 52，AC 22， DE 510方法二：如图 2，过点 D作 FAE于点 在 RtAP 中， AP 25,P又 1DS ， DF 52 10FE24AB 是O 的直径，ACB90又CDAB 于点 D，BCD90ABCAFBCD F，FBCCBGFBCCBG CBFG BFGC225 （1） ， ； ， /AOAOOAC 即 平分 . （2） 又 ， E12EB30E90P60OAE， ，设 ，则 ，根据勾股定理得 ，解130APPAx2PAx221()x- 11 -得 （或者用 ）3xtanPEA即 的长是 .PE26 （1）证明： I平分 BCBADD，I平分 I， A，C，又 BICBIDABID，DBID， 为等腰三角形 I，（2）解：当 120A时， A 为钝角三角形，圆心 O在 C 外，连结 BD、 、 ， 210B，6，C为正三角形 又知 10cmOB， 32sin6210cmD223()754BCS.答： BDC 的面积为 753cm2
