1、第四章 不定积分一、不定积分的概念和性质1原函数：若 ，则称 为 的一个原函数)(xfF )(xFf2不定积分：若 ，则 Cd)(3不定积分的基本性质：（1） 或 ；)()(xfdf xfxf)(（2） 或 CF F)(例 1 （1）若 是 的一个原函数，求 ；ln)(f f（2）若 是 的一个原函数，求 ；)(xsi )(2xd（3）若 是 的一个原函数，求 ；ef fe（4）若 ，求 ；Cedx1)( )(xf（5）求 ；f3（6）若 ，求 xe)(dxf)(ln解 （1）因为 ，所以1fxf)(（2）因为 ，所以xFsin)(dxxdd2222 sinsin （3）因为 ，则 ，所以)(
2、xef xef)(Ce （4）因为 ，所以 xxef 121)(f)(（5） )(33xdxf（6） CxeCxfdf x 1)(ln)(lnln ln二、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法例 2 计算下列不定积分：（1） ； （2） ； dx2)( dxea（3） ； （4） ； 2 )(21（5） ； （6） ；dx41dxsin（7） ； （8） ；cosin 2ico（9） dxx244i解（1） dxx)()( 2123 Cx213254（2） aeCaedxea ln()ln()（3） xx rct1122（4） d
3、xd)( C1at（5） x222411 xrctan3（6） xdd)sin(cossin（7） dxxx )sin(cosiico2Ccon（8） xdd12122 sinisinxt（9） dxx 2424244 cosicosicosidxx)cot(tan22seCtt三、换元积分法1第一换元积分法（凑微分法）设 ，则CuFdf)()( dufxudxfx )()( CF)(常用的凑微分公式：（1） ； )()( baxdfadxbf1（2） ； )nnnn（3） ； )()( xfxf2（4） ；l)(lndd1（5） ；xfxf 12（6） ；)()(xee（7） ；xxdfdf
4、（8） ；)(sinicos)(in（9） ； coff（10） ； )(tate)(taxdxd2（11） ；csoff（12） ；)(sectn)(（13） ； xdfxdf（14） ；)(arsin)(rcsi)(arcsif21（15） ； cooxdfdxf（16） ；)(arctn)(rt)(arctnxdfdxf21（17） oo注 结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式； 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式；分部积分法中也会用到凑微分公式例 3 计算下列不定积分：（1） ； （2） ； xd2sinxd3sin（3） ； （4）
5、； 4 5（5） ； （6） ；xl x)(arct1（7） ； （8） ；d35sectan dosin2（9） ； （10） ；xx21)( x22c（11） ； （12） ；d44cossindsin1（13） ； （14） ；x252x（15） )(xe1解（1） dxd2cossin2 Cx41sin（2） )(co(c)(i23 dsc31（3） dxxd24osindxx)cs(2214d)coscs(1Cxx32483ini（4） )(cos)s()(cossnsin xdd25 1d41Cxx5312cossco注 注意区分以上积分中 的幂指数为奇数或偶数时的解法若将in换为
6、 ，解法相同xsincos（5） Cxxdxdx ln)l(nl)(llln 21（6） )(arctarct)(arct)(art d21212Cxtn（7） )(secasectanxdxd435c)(se22)(sexx46C35711ssc（8） )(inicosinxddx221)si(sinx1x)2sinl(（9） Cededxex x22 2211)(（10）被积函数的分子、分母同除以 ，得cosxx222tancossin)(tantxd2rc1（11） dxxdx2244 12cososicossin12sin)(sx2Cxcoart（12） dxddx 211 cosin
7、)sin)(i(sinx2tatec)1(e（13） dxxd)sin(icosin26214C4co注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幂指数，简称降幂法是常用的积分方法（14） xdxxdx 2115212arctn)(（15） )()()( xxx edeeeCarctn*例 4 计算下列不定积分：（1） ； （2） ；dx2)ln( dxx)(lnl1（3） ； （4） ；x49 cosital（5） ； （6） ；dcosin1dx142（7） xx25)l(解 （1）因为 ，所以ln)l(1Cxxddx ln)l()(n122（2）因为 ，所以
8、)(1l)l( dxxdxx 1l)ln()(1 ln)(Cx2l)1l(2（3） xxxx ddd32139413492ln Cxx3212lnl Cx2321ln)(l（4）因为 ，所以xxcosi)ta(l Cxdd tanl)tan(ltlcosin21（5）因为 ，所以x21)()cosi(cosisi x12)nl(（6）被积函数的分子、分母同除以 ，得2 xdxdxdx 11112242CxC21arctnarctn（7）因为 ，所以2215)1ln(xxdx2l 5)1ln(5)1ln( 2x C2332第二换元积分法设 ，则tFdtf)()(CxFtfx )()()()( 1
9、1注 （1）当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用常见的代换有：含有形如 的根式时，作代换 ；nbaxtbaxn含有形如 、 、 （ ）的根式时，2220分别作三角代换： ， ， ；taxsintxatxsec（2）当被积函数中分母关于 的次数比分子关于 的次数至少大 时，1可考虑倒代换： ；t1（3）当被积函数为 所构成的代数式时，可考虑指数代换：xtax例 5 计算下列不定积分：（1） ； （2） ； dx)(arctndxe1（3） ； （4） ；l a2)()(0（5） ； （6） dxa42)(0dx9解 （1）设 ，则 ，trct
10、ntan， ，tx2ax2sea于是CxCtd 221)(arct)(rt（2）设 ，则 ， ，于是tex)ln(1txdt12etdtdxx 21lnlCxex)ln(1（3）设 ，则 ， ， ，于t2tl12t dt12是 tdttdx321)(ln Cxxlnlln1213 x)(（4）设 ，则 ，于是taxtda2secttd 211332 sino)(由 得tn， ，axtrcn221axttansi所以 Cdx 321r)(（5）设 ，则 ，于是tsitdxcostdataa 224242 1csinCt3221o)(c由于 ，所以xtt2sinsicotaxdxa32242)(（
11、6）设 ，则 ，于是tsec3tdnsectx )o(n9221si|as|l Ct由 得tsec3， ， ，3x39tn2xxt9in2所以 d291lCxx922ln例 6 计算下列不定积分：（1） ； （2） ； 22axd)(27d（3） ； （4） ； 1xe1（5） xd42解（1）令 ，则 ，于是tdt21taaxd22 )(2221tadtaCxaCat221（2） dtxd767)( )(772114tdtxxt |ln|2|ln|21|ln47（3） dtxdx221)(1tttCxxCtt 122arcsinarcsin（4）令 ，则 ，于是texdt dtttdx 22
12、2 111)()(CeeCxxarcnarcn（5）令 ，则 ，于是txdt2l dtttdx 4321ln1ln421Ct23arc2ln Cx31arctnl例 7 计算下列不定积分：（1） ； （2） ； dx)( dx21（3） ； （4） 12 )(解（1） )()()( xdxdxdx121Cxxdx )1ln(l2)(12（2） dx223dxdx21dx221 )1(3)()(Cxxarcsin3（3） ddx)(1122 dxx22)(32xC31)（4） dxxdxx )()(1d1)(xxx213)(C23255 )(注 例 7（2）中使用加项、减项的方法， （3） 、
13、（4）中是将分母有理化若利用第二换元积分法求解，计算过程较烦琐，读者自行验证四、分部积分法设 、 都是可微函数，且 、 都有原函数，)(xuv)(xvu)(x则，ddxv简写为 uvd注 （1）应用分部积分公式 的关键，是正确选择vuu和 一般把六种基本初等函数“反对幂指三常” （口诀）中位置在前u的函数作为 ；（2）常用的一个不定积分： Cexde)1(例 8 计算下列不定积分：（1） ； （2） ；dxe21)( xd253cos)（3） ； （4） ； xarctnxln(2（5） ； （6） ； 2 d3sec（7） ； （8） ； dxe)1( x21)(（9） ； （10） ；x2
14、2tand3sinco（11） ； （12） dexrco xe1解（1） xxed2221)()( dxex221)(41dxCeexx22)()(341（2） xdxxdx 2152253 sin)(cos)(sin)13in1xdxx2co(2s)52( 23 ds3s)13in1 xxxx 2in12co(2s)52(3Ccos4s)13in1Cxxx2cos6(4s)52( 23注 （1） 、 （2）中应用分部积分公式的次数与多项式的次数是相同的，因而计算过程较烦琐（3） 21xdxdarctnarctn)(arctnx2dx211arctnC2)(（4） dxxdx211ln)ln
15、(arctn)(2（5）设 ，则 ， ，于是tarctase tdtdtdx )(a)(nt1222，Ctt 21|cos|lna1a由 得txan，2211xttaseco所以 Cxxd 221 )(arctnlnartarctnxx211t)l(ct注 被积函数中含有对数函数或反三角函数时，先作变量代换可使计算容易些，当它们的幂指数大于 时尤甚 （6） dxdsectantsec)(tansesec 23x)3， dt移项、整理得 )sectan(secsec xxxd213C|tan|l（7） )()( xxxx ededee 1112Cxexe11（8）法一 设 ，则 ，于是tantd
16、2scttdx 22 ini)(由 得txan， ，xarctn221xttasi所以Cxdx 2211rctn)(法二 )()()( 1122xddxxd212arctn（9） dexe )(t)(tan122 xxtscdan)(tan22xdedeexx tat2Ct2（10）法一 )(cotcsotsincoxxdxdx3 d22211)(Cxxcotts2法二 xdxdxdx 233 11sin)(insisincoCcotsi2（11） )(arcotarcot xx eddedxeexx21arcot )(xxe2arcotxxxx dee221Ce)ln(lxexxarcot2
17、（12） dedxx211csisineex2tanc dxexx2tantaddx2ttan C注 虽然（12）和（9）中两个积分在形式上差异较大，但解法相同五、有理函数和三角函数有理式的积分1有理函数的积分（1）如果真分式的分母有一次因式 ，则化为部分分式后，单因ax式 对应形如axA的简单分式； 重因式 对应形如kkax)(， ， ，12 kax)(的简单分式（2）如果真分式的分母有不可分解的二次因式 （其中qp2） ，则化为部分分式后，单因式 对应形如04qp 2qpxCB2的简单分式； 重因式 对应形如kkx)(， ， ，qpxCB2122 kkqpxCB)(2的简单分式例 9 计算
18、下列不定积分：（1） ； （2） ；dxx273 dxx254132（3） ； （4） ；)(17（5） ； （6） dx03 dxex21解 （1）设，117273 xCBAxx)(上式两端同乘以 ，得)(2721BA)()令 ，得 ；0x令 ，得 ；3B令 ，得 2C所以 dxxdx213723C|ln|l|ln（2）设，2121254132 xBxAxx )()(上式两端同乘以 ，得)(2CBA将上式左端展开，并比较两边 的同次幂的系数，得.1203A，解得 ， ， 于是4A2B5C dxxdxx 25413 )(C|ln1|ln（3）因为，225541xx)(所以 dxdxdxdx 2
19、22 151521541)(Carctn)ln(|ln（4）因为，12431732xxx所以 ddx17232 )1(1|ln2xxCx)l(|2（5）令 ，则 ， ，于是ux1du dud10310303 6)(2)(2)6109897 Cuu98763441xxxx 98979 )1(3)1()1()(8注 对于大指数幂，若不进行变量替换，计算往往很复杂或很困难（6）设 ，则 ， ， ，于是ue22exulnd2 uddx 1)1(1222 Cuu|ln|lneexx)(2212三角函数有理式的积分三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，由于各三角函数都可用 及 的有
20、理式表示，所以三角函数有理式xsinco就是 、 的有理式三角函数有理式的积分一般是经过万能代换xsinco（或半角代换）转化为有理函数的积分来计算的，即令 ，则 ，于是u2tauart2； ；221uxxtansi 221uxxtancos； 221xxtat dux21例 10 计算下列不定积分：（1） ； （2） ；dx)cos(sinxx)(cosin1（3） ； （4） ta1d解 令 ，则 ，于是u2uxarctn2， ， ， 1xsin1cos21xdux21（1） dudx2)(inCu|ln4xx2121taltat（2） ududxx |ln)(cosin43Cx2142t
21、alncot（3） duududxx 1212)()(tansi 12|l Culn|lxx21tanl2tal（4） dududx 22111)(sincoCln|l2x22tatal xx211sectalnseclntln CCoil2osil2x)n1(注 （1）三角函数有理式的积分需要化为有理函数的积分，而有理函数的积分往往比较繁琐，因此这种代换不一定是最简捷的代换如例 4，用凑微分法很简便： Cxxddx )sinl()sin(sisinco11（2）一般地，三角函数有理式的幂较高时，有理函数的幂也较高，积分就越困难3、三角函数有理式积分的一般思路和特殊方法三角函数有理式的积分方法
22、不一，纷繁复杂，一题多解很常见，但基本思路是：（1）通过分子、分母同时乘以某个因式，将分母转化为形如 或xksin的单项式；xkcos常用的转化公式有 ； ；2sinx 2cos1x ； ；cos)1)(i( xin)( x2ico（2）将分母看作一个整体；（3）借助恒等式： x2ssn例 11 计算下列不定积分：（1） ； （2） ；dxcosi1dxcos1in（3） ； （4） ；xn i（5） 53cosi解 （1） dxxdx2cos2sin1cosin1Cxx tan1ltat1ta1e2（2） dxdx2cosincosinxtae1Cdxd2tntan（3） xxcosi1)(
23、s21cosindxnixx)4cs(21)cs(21C 4cotloin（4） dxxdx2csisi1Cx2cosinosin（5）因为 xx532253csicosin1x3cosin1on1x22522csixcosin1oino33xxx335 sincosicoin2si ，263所以， dx53cosin1 dxxxcssincoi2sin335C|2ot|l1e4习 题 四1求下列不定积分：（1） ； （2） ；dxe dxsincot（3） ； （4） ； 221arcsin 5)(（5） ； （6） ；xdx34osxd42cosi（7） ； （8） ； 65i 321)(
24、ar（9） ；（10） ；dxexe)()(1322 0x（11） ； （12） ；dxarcsin dex2)(（13） ； （14） ；xe21)( x21arctn（15） ； （16） ； dx348 de)(（17） ； （18） ； x)(12x1（19） ； （20） dxcosindtan2设 ，求 xdffsin)(i)( )(xf参 考 答 案1 （1） ；Cex（2） ；sin（3） ；xarc（4） ；C41)os(i（5） ；Cxxcossc4152031936（6） ；x69641inisin（7） ；xx197csoc（8） ；Cx|l2ars122（9） ；e3)(3（10） ；xx)()ln(|l 1010（11） ；Cxx2222 44arcsinarcsi（12） ；Ce（13） ；x2（14） ；21arctn（15） ；Cxxx)l()l(444（16） ；e21arcsi（17） ；x)1ln(6|1|l3tn352（18） ；exxarcsi)l(2（19） ；C)osl(tarct214（20） Cxxtanrctantln1212212 Cx)sil(
