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类型第十章 线面积分.ppt

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:5698598
  • 上传时间:2019-03-13
  • 格式:PPT
  • 页数:33
  • 大小:1.26MB
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    第十章 线面积分.ppt
    资源描述:

    1、第十章 线面积分 (习题课),题组一:曲线积分的计算题,1. 求,其中 L 为曲线,从点(0,0)到,点(1,1)的一段.,解:,2. 计算,其中 L 为星形线,解:,3. 计算,其中 L 为双纽线,解:,双纽线 L方程用极坐标表示为,则L1方程为,所以,4. 计算,其中为球面,与平面,的交线.,解:,所以,5. 计算,其中 L 是沿逆,a 为半径的上半圆周.,时针方向进行的以原点为中心,解:,补线段,如图.,所以,6. 计算,其中 曲线 L 由点 A(-1,1)沿曲线,到点 O(0,0),再沿直线 y = 0 到点 B(2,0) 的路径.,解:,补线段,如图.,于是,7. 求,其中 L 是,

    2、自点 A(0,2) 到点B(,0) 的一段弧.,解:,注意题目所给A , B两点坐标为极坐标.,因为,所以积分与路径无关.,于是,8. 求,其中 :,(1) L 为圆周,的正向;,(2) L 为椭圆,的正向;,解: (1),所以点 (1,0)不在 L 所围区域 D 内,于是,解: (2),所以点 (1,0)在 L 所围区域 D 内,补曲线,于是,接8.,9. 确定参数 的值,使得在不经过直线 y = 0 的区域上,是某个函数 u (x,y) 的全微分,并求出 u (x,y) .,解:,由,得,接9.,取积分路径如图.,其中,题组二:线积分的应用题和证明题,1. 已知曲线 L 的极坐标方程为,L

    3、上任意一点的线密度为,求:,(1) 曲线段的弧长;,(2) 曲线段的重心;,(3) 曲线段关于极轴的转动惯量;,(4) 曲线与直线 y = 0 所围闭区域的面积.,解:,(1),接1.-1,(2),所以,故重心坐标为,(3),2. 在变力,的作用下,质点由原点,沿直线段移动到曲面,上第一卦限的点,处,问点 M的坐标为何时,力,所做的功,最大,并求最大功.,解 (1):,(2)求,在条件,下的最大值.,设,解之得,(3),3. 设曲线积分,与积分路径无关,且方程 F(x,y) = 0 所确定的隐函数的图形过点 (1,2),(其中F(x,y)是可微函数),求由 F(x,y) = 0 所确定的曲线.

    4、,解:,设,则,又,又知曲线过(1,2),故所求曲线为,4. 设 f (x) 在,(,+) 上具有一阶连续导数,且 f (1) = 1,对于任何闭曲线 L 都有,求 f (x).,解:,设,由,故所求函数为,5. 证明:,若 f (u) 为连续函数,且 L 为逐段光滑的闭曲线,则,解:,左=,设,因为 f (u)是连续函数,,故,显然,都是x,y的连续函数,,故,可微分,,且,于是,6. 设 L 是圆周,取逆时针方向,又,f (x) 为正值连续函数,证明:,解:,应用格林公式有,左=,积分区域D具有轮换对称性,题组三:曲面积分的计算与应用,1. 计算,其中是,上,部分.,解:,2. 设,计算,

    5、解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,接2.,3. 证明:,若是任一分片光滑的闭曲面,为一固定方向,则,其中 是上任一点的外法线,和 的夹角.,证明:,设,(常向量),则,高斯公式,4. 计算,其中是球面,是其外法线的方向角.,解:,高斯公式,5. 用三种方法计算,其中是介于 z = 1 与 z = 2 之间的锥面,部分的上侧.,解:,方法1:高斯公式,补,接5.-1,方法2: 利用第一类曲面积分转化,接5.-2,接5.-3,方法3: 直接计算,由对称性可知,取,取,所以,6. 计算,其中,(1) 为球面,(2) 为任一不经过原点的闭曲面的外侧.,的外侧.,解 (1) :,解 (2) :,(a)曲面不包围原点(x,y,z).,利用高斯公式得:,(b)曲面包围原点(x,y,z).,做一足够小的球面,并取其内侧,则在,上可用高斯公式.,接6.,于是,7. 计算,其中是由曲线,绕 y 轴旋转一周,而得的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角大于,解:,旋转曲面为,补,取右侧.,则,8. 求在圆柱面,上介于平面z = 0与曲面,之间部分的面积.,解:,取,利用对称性有,9. 若,满足拉普拉斯方程,求证:,解:,即,利用高斯公式有,

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