1、3 方向导数与梯度,一 、问题的提出,二、方向导数的定义,三、 梯度,例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一 问题的提出,方向导数图示,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,中,x,O,y,z,.,P0,P,l,沿,方向的方向导数,.,二、方向导数的定义,设函数,在,内有定义。,若点,沿射线 l 趋于,时,极限,存在
2、，则称该极限值为函数,在点,处沿 l 方向的方向导数。记为:,或,或,或,1. 方向导数与偏导数概念的比较,在方向导数中，分母,；,在偏导数中，分母,、,可正、可负。,即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时，,方向导数与偏导数的概念也是不同的。,所以：方向导数与偏导数是两个不同的概念,想一想，为什么？,怎么计算方向导数？,2. 方向导数与偏导数的关系,以三维空间的情形为例-设函数可微,定理17.6(方向导数的计算公式),若函数,在点,处可微，,则函数,在点,处,沿任一方向,的方向导数存在，且,其中, 各导数均为在点,处的值.,注1:在,在,中,中可表示为：,设, 求函数在点,沿方
3、向,的方向导数。,解：,例1：,1.定义：,设,则称向量,为函数,在点,处的梯度，记为,或,三、梯度的定义,梯度的模：,运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,2.方向导数与梯度的关系,一个问题：,在给定点,沿什么方向增加得最快？,该问题仅在,不同时为零才有意义。,可微函数,答案：函数沿梯度方向增加得最快，梯度方向的导数最大，梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,设,求,并求在点,处方向导数的最大(小)值。,解,从而,例2：,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,三、小结,
