1、银川一中 2019 届高三年级第五次月考理 科 数 学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合 , ,则 ( )5213,MxxR=-()80,NxxZ=-MN=A. B. C. D. ()0,2,0,12【答案】D【解析】集合 ,集合|5213,|2,MxxRxR=-=-()|80,|08,NZZ |x故选 D2.在等比数列 的值为293579
2、11,43,n aaa=中 若 为A. 3 B. C. 3 D. 1【答案】A【解析】【分析】利用等比中项的性质可知,a 3a11a 72,a5a9a 72,代入题设等式求得 a7,进而利用等比中项的性质求得的值291【详解】根据等比数列的性质得到 a3a5a7a9a11a 75243a7 3,而根据等比数列的性质得到 2719a= a73291故选:A【点睛】本题主要考查了等比数列的性质解题过程充分利用等比中项 G2ab 的性质等比中项的性质与数列的项数有关3.已知复数 和复数 ,则 为1cos23inz=+2cos37inz=+12zA. B. C. D. 2i-1ii2i-【答案】C【解
3、析】【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出【详解】z 1z2(cos23+isin23)(cos37+i sin37)cos60+isin60 132i+故答案为 C【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.4.下列命题错误的是A. 三棱锥的四个面可以都是直角三角形;B. 等差数列a n的前 n 项和为 Sn(n=1,2,3),若当首项 a1 和公差 d 变化时,a 5+a8+a11 是一个定值,则 S16为定值;C. 中,sinAsinB 是 的充要
4、条件;ABCDABD. 若双曲线的渐近线互相垂直,则这条双曲线是等轴双曲线【答案】B【解析】【分析】A,找到满足题意的特殊图形即可; B,根据等差数列的性质可得到命题正确;C,根据正弦定理得到大边对大角,进而得到结论;D,设出双曲线方程,求出渐近线方程,通过斜率之积为定值-1 ,得到 a,b 的关系.【详解】对于 A,三棱锥的四个面可以都是直角三角形正确,如三条侧棱两两垂直,底面是直角三角形,A 正确;B. 等差数列a n的前 n 项和为 Sn(n=1,2,3),若当首项 a1 和公差 d 变化时,a 5+a8+a11=3 ,则8a不一定是一个定值,故 B 错误;对于 CABC 中,由正弦定理
5、可得 ,因此()1689=Sa+ sinbAB=sinAsinBab AB,因此 sinAsinB 是 AB 的充要条件,正确;D 设双曲线的方程为:,渐近线方程分别为 ,斜率之积为定值-1,则 ,故双曲线是2xy- ,byxa=- 21ba等轴双曲线.故答案为:B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断,通常要推翻一个命题,只需要举出反例即可,而要证明一个命题的正确性则需要证明普遍性;此题型涉及的知识点较多,比较广,应多注意积累这些基础的结论.5.在椭圆 中,焦点 若 、 、 成等比数列,则椭圆的离心率21(0)xyab+=(,0)Fcabce=A. B. C. D. 232-512-21-【
6、答案】C【解析】【分析】根据题意列出式子: ,消去 b,得到关于 e 的方程,解得即可.222,bac=+【详解】椭圆 ,焦点 , 、 、 成等比数列, 21(0)xy(),0Fcabc222,bacba=+故得到 两侧除以 得到 .22ac+-=2a1ee+-=512-故答案为:C.【点睛】这个题目考查的是椭圆的离心率的求法;求离心率的常用方法有:定义法,根据椭圆或者双曲线的定义列方程;数形结合的方法,利用图形的几何特点构造方程;利用点在曲线上,将点的坐标代入方程,列式子。6.实数 满足条件 ,则 的最小值为( ),xy402,xy+- 2xy-A. 16 B. 4 C. 1 D. 【答案】
7、D【解析】有题得如下可行域:则过 时, 的最小值为 ,故选 D。()0,12xy-127.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)则该几何体的体积为( )m 3A. B. 7392C. D. 4【答案】C【解析】【分析】三视图复原的几何体,下部是放倒的四棱柱,上部是正方体,根据三视图的数据,求出几何体的体积【详解】三视图复原的几何体,下部是放倒的四棱柱,底面是直角梯形,也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体,边长分别为:3,2,1, ;2高为:1;上部是正方体,所以几何体的体积为:31 3+ .127故选:C【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对
8、正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.8.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且 ,其中 O 为坐标原点,则实数 aOBA+=-的值为A. 2 B. 2 C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由题平方可得 ,化简得到 ,得出垂直关系,可得圆心到直线的距离,22OA
9、B+=-0OAB=由点到线的距离公式,列式即可得解。【详解】由 得 , , ,-22+-OAB三角形 AOB 为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为 ,即 ,a2,=故选 B【点睛】向量是既有大小,又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征,通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化,所以向量是数形结合的桥梁9.已知函数 ,则 的值域为44()sincofxx=+()fA. B. C. D. 1,22,2,12,【答案】A【解析】【分析】通过同角三角函数的基本关系得到函数解析式的化简式子,进而求得值域.【详解】函数 ,()4sincofxx=+22 2221sics1incossinfx xx
10、-=-=-,故函数的值域为 .2in0,1 ,故答案为:A.【点睛】1.本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式的知识,注意切弦互化这一转化思想的应用 ;2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍;3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.10.已知函数 的图像上,相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆 上,()3sinxfxRp= 22xyR+=则 的最小正周期为()fA. 3 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】先用 R 表示出周期,得到最
11、大值点和最小值点的坐标后,代入到圆的方程可求出 R 的值,最后可得答案【详解】x 2+y2R 2,x R,R函数 f(x)的最小正周期为 2R,最大值点为( ) ,相邻的最小值点为( ),,3-,32R代入圆方程,得 R2,T4故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质周期性属基础题三角函数两相邻的最大值与最小值正好等于半个周期11.已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AFx 轴,2(0)ypx=21xyab-=则双曲线的离心率为A. B. C. D. 21+31512+21+【答案】A【解析】【分析】根据题意,画出示意图:由双曲线得 AF 的值,由抛物线也可求
12、得 AF 的值,两者相等得到关于双曲线的离心率的等式,即可求得双曲线的离心率【详解】由抛物线 与双曲线 有相同的焦点 F,2(0)ypx=21xyab-=点 A 是两曲线的交点,且 AFx 轴,作出图象,由双曲线性质,得:AF ,2ba由抛物线性质,得:AFp2c,2c ,ba又c 2a 2+b2,2acb 2c 2a2,e22e10,由 e0,解得 e 21双曲线的离心率 +1故选:A【点睛】本题主要考查关于双曲线的离心率的问题,属于中档题,本题利用焦点三角形中的边角关系,得出 a、c 的关系,从而求出离心率对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),
13、常见有两种方法:求出 ,代入公式 ;只需要根据一个条件得到关于,accea=的齐次式,结合 转化为 的齐次式,然后等式(不等式) 两边分别除以 或 转化为关,bc22bca=-, a2于 的方程(不等式),解方程(不等式) 即可得 ( 的取值范围).e e12.若函数 的图象与曲线 C: 存在公共切线,则实数 的取值范围为21fx+)10xga=+A. B. C. D. 26e, 280,e2e, 24,e【答案】D【解析】【分析】设公切线与 f(x)、g(x)的切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出 a 后构造函数,利用导数求出函数的单调区间、最值,即可求出实数 a 的取值范
14、围【详解】设公切线与 f(x)x 2+1 的图象切于点(x 1, ),2x+与曲线 C:g(x) aex+1 切于点( x2, ),2ae2x1= ()22 112ae+-=化简可得,2x 1 ,得 x10 或 2x2x 1+2,21x-2x1 ,且 a0,x 10,则 2x2x 1+22,即 x21,2e由 2x1 得 a2()224xxe-=设 h(x) (x1) ,则 h(x) ,()4-e-xh(x)在(1,2)上递增,在( 2,+)上递减,h(x)maxh(2) ,2e实数 a 的取值范围为(0, ,24e故选:D【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式,导数与函数的单调性、最值问
15、题的应用,及方程思想和构造函数法,属于中档题利用导数求函数在某一点处的切线方程;步骤一般为:一,对函数求导,代入已知点得到在这一点处的斜率;二,求出这个点的横纵坐标;三,利用点斜式写出直线方程.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13.若双曲线的焦点在 轴上,离心率 则其渐近线方程为_y2,e=【答案】 3x=【解析】【分析】根据双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,双曲线的离心率为 2 能够得到 ,由此能够推导出双曲线的2ca=渐进方程【详解】离心率为 2 即 ca=设 c2k 则 ak又c 2a 2+b2b k3又双曲线的焦点在 y 轴上双曲线的渐进方程为 y x xab3故答案为
16、: .3=【点睛】本题主要考查关于双曲线的几何意义的应用,考查了双曲线的离心率与双曲线的渐近线的关系的应用,一般在计算双曲线的 a,b,c 时都会涉及公式 c2 a2+b2的应用,题型较为基础.14.从抛物线 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则24yx=MPF 的面积为_【答案】10【解析】【分析】根据抛物线方程设出点 P 的坐标,根据|PM |5 求得|y 0|,最后利用三角形面积公式求得答案【详解】设 P( ,y0)24则|PM | +1520所以|y 0|4所以MPF 的面积 451012故答案为:10【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性
17、质考查了学生对基础知识的灵活运用和数形结合的数学思想的运用一般和抛物线有关的小题,很多时可以应用结论来处理的;平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目,一般都和定义有关,实现点点距和点线距的转化。15.已知 ,数列 的前项和为 ,数列 的通项公式为 ,则 的最小值为2na=+1nanSnb8nb=-nbS_【答案】-4【解析】【分析】通过 可知 ,累加可得 Sn ,利用配方法及基本不等式即得结论2na=+1na=-+1+【详解】由 ,可知 ,2n1n-数列 的前项和为 Sn(1 )+( )+( )1 1na2-3n-+-n1+又b nn8,bnSn ()1-+ ()2
18、n109+- - 10()92n1+4 ,当且仅当 n+1 ,即 n2 时等号成立,91故答案为:4【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前 n 项和,考查配方法,考查数列最值的求法,注意解题方法的积累,属于中档题16.如图所示,在等腰梯形 中, , , 为 的中点,将 与ABCD2=60DAB=EADE分别沿 向上翻折,使 重合,则形成的三棱锥的外接球的表面积为_BECD,【答案】 3p【解析】【分析】判定三棱锥的形状,确定外接球的球心位置,找出半径并求解,然后求出球的表面积【详解】 重合为点 P,DAB60三棱锥 PDCE 各边长度均为,AB为 2三棱锥 PDCE 为正三棱锥 P 点在底面 D
19、CE 的投影为等边DCE 的中心,设中心为 OODOEOC 63在直角POD 中:OP 2PD 2OD2 43OP 23外接球的球心必在 OP 上,设球心位置为 O,则 OPOD 设 OPODR则在直角OOD 中:OO 2+OD2OD 2,(OPOP)2+OD2O D2( R)2+( )2R 2,R ,363面积为 4 . p=故答案为: 。3【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径) 与该几何体
20、已知量的关系,列方程(组)求解.三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分)17.已知公差不为零的等差数列 的前 4 项和为 10,且 成等比数列na237,a(1)求通项公式 ;na(2)设 ,求数列 的前 项和 nb=bnS【答案】 (1)a n=3n5;(2) .812n-=【解析】【分析】(1)根据题意得到关于首项和公差的方程组,解出首项和公差,即可得到通项公式;(2) ,根184nb-=据等比数列求和公式得到结果即可.【详解】 (1)由题意知
21、解得 所以 an=3n5.23ad=-(2) 5184nab-数列b n是首项为 ,公比为 8 的等比数列, 所以 .()18142nnS-=【点睛】这个题目考查了等差数列的基本量的计算,等比数列的前 n 项和的计算,题型较为基础。求数列的和的方法,常见的有:按照等差等比公式求解,倒序相加法,错位相减法,分组求和等.18.在 中, 、 、 分别是内角 、 、 所对边长,并且ABCDabcABC(sin)(sin)sin()si()3p+-=+-(1)若 是锐角三角形,求角 的值;(2)若 ,求三角形 周长的取值范围4a=AB【答案】 (1) ;(2) .3p(8,1【解析】【分析】(1)由两角
22、和差公式将式子化简,得到 ,解得 ,从而求出角22231sinicosin4ABB-=-23si4A=A;(2) 由 ,结合余弦定理得到 ,再由均值不等式得到最大值,由两边之和大4,3aAp=()26b+于第三边得到最小值.【详解】 (1) ,()sinsinsisin3BBp+-=-,2311siicoicoi22A-=-即 , .2 2inisin4BB-3si4A=又 是锐角三角形, ,从而 . ACDip(2)由 及余弦定理知, ,即 ,4,3ap=216cos3b=+- ()2216cos33bbcp=+-=+-()2 216bcbc+.又 24,8 ,a8,bc12(,0)(,F-
23、 2:lxa=A12AF(1)试求椭圆的方程;(2)过 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、 、 、 四点(如图所示) ,试求四边形2,FEMN面积的最大值和最小值DMEN【答案】 (1) ; (2)最大值为 4,最小值为 .213xy+=9625【解析】【分析】由题意, ,利用 可得 为 的中点,从而可得椭圆方程()2120FcAa=, , 12FA=1F分类讨论:当直线 与 轴垂直时,四边形 的面积 ;当直线 , 均DExDMEN42ENS=DE MN与 轴不垂直时,设 ,代入椭圆方程,消去 可求得 , ,从而可得四边形的x():1yk=+yD面积的表达式,利用换元法,即可求得结论【
24、详解】由题意, 2120FcAa, ,12AF=为 的中点2则 ,3a2b则椭圆方程为21xy+=当直线 与 轴垂直时, ,DE243bDEa=此时 23MNa=四边形 的面积E42MNS=同理当 与 轴垂直时,也有四边形 的面积NxDE42EMNS=当直线 , 均与 轴不垂直时,DE 设 ,代入椭圆方程,消去 可得:():1DEykx=+y,2236360-=设 , ,则 ,()1xy, 2xy,21263kx-+2163kx-=+所以 12243k-=所以 ,()2212431kDEx+-同理 224331kkMN-=+所以四边形的面积 ()22221143442 63kkDEMNkS+=
25、令 ,则21uk=+4136u-+,当 时,2k=2,且 是以 为自变量的增函数,则965S 9645Sa(2)如果当 x1 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围()1kfx+k【答案】 (1) ;(2) .3a0 时函数的解析式,对函数求导,得到唯一的极值点 1,使得 1 在所给区间内即可;(2) ,令 ,对函数()()1ln1lnxkxkfx +()(lnxgx+=求导研究函数的单调性得到函数的最值进而求解.【详解】设 x0 时,结合函数的奇偶性得到: ()ln1lexfxf=-(1)当 x0 时,有 , ;()221ln1lxf x-+=-0l0fxx()0lnfx所以 在(0,1)上
26、单调递增,在 上单调递减,函数 在 处取得唯一的极值由题意()1,()fx1=,且 ,解得所求实数 的取值范围为 a3a因此, 在 上单调递增, ()20xggx1,+()min12gx=所以 所求实数 的取值范围为kk(,2-【点睛】本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数。(二)选考题:共 10 分。请考生在第
27、22、23 两题中任选一题做答,如果多做则按所做的第一题记分。22.选修 44:坐标系与参数方程 已知直线 : , 曲线 l12()3xty=+为 为 为 1cos:()inxCyq=为 为 为(1)设 与 相交于 两点,求 ;l1CAB(2)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点 是曲线1 12322CP上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值2 l【答案】 (1)1;(2 ) ()6214-【解析】试题分析:(1)由圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系即可;(2)伸缩变换后圆变为椭圆,设出椭圆的参数方程,利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质
28、整理计算即可求得最终结果.试题解析:(I) 21:0,:.lxyCxy-=+所以直线与曲线相离 02.d=(II)变化后的曲线方程是 设点 1,23.xcosyinq=13cosin,2Pq,则点到直线的距离是 1cosisi26.2dpq-=( )故点 到直线 的距离的最小值为Pl .2点睛:判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程23.选修 45:不等式选讲设不等式 的解集是 , 21x-【解析】【分析】(1)先求得 ,两式做差得到 ,即可得证;(2)由|01Mx=, , ,三式相乘,可得到结果.2ma,bh+ 2,h2h【详解】由 11,01.xxx-故 1.ab+(2)由 ,得 , ,2mx,abh+= 2,ha2b+h所以 ,()22348bab=故 .h【点睛】这个题目考查了不等式的证明,以及绝对值不等式的解法,不等式证明,常用方法有:反证法,综合法,分析法,直接证明法等;还可能会涉及到均值不等式,重要不等式的应用.