1、1,主要学习内容,Ch1 绪论 Ch2 线性系统的状态空间描述 Ch3 线性系统的运动分析 Ch4 线性系统的能控性和能观性 Ch5 系统运动的稳定性 Ch6 线性反馈系统的时间域综合,2,一系统数学描述的两种基本类型,1、输入输出描述（外部描述）,(1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的外部描述；(3)是对系统的不完全描述。,第2章 线性系统的状态空间描述,2、状态空间描述（内部描述）,(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描述；(3)是对系统的完全描述。,3,二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立,建立状态空间表达式的方法主要有两种： 根据系统机理建立状态空间表达式 由
2、系统输入输出描述建立状态空间表达式,可控标准型实现 可观测标准型实现,4,三、传递函数矩阵的计算,设线性定常连续系统的状态空间描述为：,在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：,5,1 非奇异线性变换的不变特性,非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函数矩阵不变、可控性不变、可观测性不变,2 线性系统等价状态空间描述,四、 线性定常系统的坐标变换,对于线性定常系统，两个代数等价的状态空间描述，可以化为相同的对角线规范形或约当规范形,能控和能观规范型。,6,当A的n个特征值 两两互异时 或当系统矩阵A的n个特征向量 线性无关此时，系统的状态方程可以通过线性非奇异变换，变换为对角线规范形形式。
3、,（1） 化对角规范形条件,3 状态方程的对角规范形和约当规范形,7,矩阵A有重特征根，但矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可化为对角阵；矩阵A有重特征根，且矩阵A的线性无关的特征向量个数少于n，则A可化为约当规范形。,(2) 化约当规范形的条件,8,五、组合系统的状态空间描述,组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵,9,第3章 线性系统的运动分析,一线性定常系统的状态转移矩阵的定义,线性定常系统的状态转移矩阵为：,当t0 = 0时，可将其表为,即对于线性定常系统来说，它的
4、状态转移矩阵就是矩阵指数函数。,10,二线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算,1性质：（6条）,2 的计算方法（）,1）幂级数求和法,2）拉氏反变换法（）,（最常用）,11,三线性定常系统状态方程解x(t)的计算 (求线性定常系统的状态响应和输出响应),1积分法：,2拉氏变换法：,12,第4章 线性系统的能控性与能观测性,一、线性定常连续系统的可控性判据,1秩判据,2PBH秩判据,3约当规范型判据,13,已知约当规范型系统如下：,试判断其可控性。,解： ， ，均行线性无关，所以：系统完全可控。,14,二、线性定常连续系统的可观测性判据,1秩判据,2PBH秩判据,3约当规范型判据,15,约当标
5、准型系统如下：,试判断其可观测性。,解：,所以：系统完全可观测。,是列线性无关的；,是列线性无关的；,16,1 定理：能控性指数满足,其中， 为矩阵A的最小多项式次数，n为系统的阶次。,三、能控性指数和能观性指数,2 定理：能观测性指数满足,其中， 为矩阵A的最小多项式次数，n为系统的阶次。,17,四、对偶性,1对偶系统,考虑线性时变系统,线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：,式中：-n维行向量，协态；-输出，p维行向量；-输入，q维行向量。,（1）,（2）,18,2对偶原理,对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：,线性时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全
6、能观测 等同于其对偶系统的完全能控。,19,1能控规范形对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为可控规范形。,五 能控能观规范形,20,结论：对于完全能控的单输入单输出系统,设系统的特征多项式为,引入非奇异线性变换阵P-1：,21,2 能观测规范形,对单输入-单输出线性定常系统，如果其状 态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为能观测规范形。,22,结论：对于完全可观测的单输入单输出系统,引入非奇异线性变换阵P ：,23,结论：对不完全能控的系统，引入线 性非奇异变换 ，即可导出系统按 能控性结构分解的规范表达式,1线性定常系统按能控性的结构分解,
7、24,nn非奇异变换矩阵P-1的构造方法：,1）从可控性判别阵 中任意的选取k个线性无关的列向量，记为 。 2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-k)个列向量记为 ，使它们和 线性无关。这样就可以构成nn非奇异变换矩阵,25,结论：对不完全能观的系统，引入线 性非奇异变换 ，即可导出系统按 能观性结构分解的规范表达式,2 线性定常系统按能观性的结构分解,26,变换矩阵的构成：从 中任选m个线性无 关的行向量： ，又在n维向量空间 中任选n-m个与之线性无关的行向量： ，组成变换矩阵,27,七 最小实现,1定义：对于传递函数矩阵G(s)的一个维数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约
8、简实现。,2定理：设(A,B,C)为传递函数矩阵的一个n维实现，则其为最小实现的充要条件是A,B可控且A,C可观测。,3 定理：SISO系统实现(A,b,c)为最小实现，即为可控且可观测的充要条件是， 与 互质。,28,外部稳定性 通过系统的输入-输出关系来描述系统的稳定性。,内部稳定性 通过零输入下 的状态运动响 应来描述系统 的稳定性。,描述稳定性有两种方法,第5章系统运动的稳定性,29,1 外部稳定性,对于一个因果系统，假定系统的初始条件 为零，如果对应于一个有界的p维输入u(t)， 所产生的q维输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的。也称为有界输入-有界输出 稳定(BIBO稳
9、定)。,30,2 内部稳定性,令外界输入u=0，初始状态任意，如果零输入响 应满足下列关系式：,则称该系统为内部稳定，或渐近稳定。,31,3 线性定常系统内部稳定性和外部稳定性的关系,外部稳定性,内部稳定性,既能控又能观时,32,(1) V(x)为正定；,(2) 为负定；,则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。,(3) 当|x|时，V(x) ,1定常系统大范围渐近稳定判别定理1,33,(1) V(x)为正定；,(2) 为负半定；,对于定常系统 ，其平衡状态,则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。,(3) 当|x|时，V(x) ,xe = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量,函数V(x)
10、, V(0) = 0，并且对于状态空间中的一,切非零 x 满足如下条件：,2 定常系统大范围渐近稳定判别定理2,(3)对任意初始状态，,34,特征值判据：考虑线性定常系统,系统的每一平衡态是李亚普诺夫意义下稳定的充要 条件是：系统矩阵A的所有特征值均具有非正（负或零） 实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根；,三 线性时不变系统的特征值稳定判据,系统的唯一平衡态 是渐进稳定的充要条件是：系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。,35,线性定常系统,的原点平衡状态 为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程,有唯一正定对称矩阵解P。,注意：使用中常选取
11、Q阵为单位阵或对角阵。,四 线性时不变系统的李亚普诺夫稳定判据,36,第6章线性反馈系统的时间域综合,一 . 两种常用反馈结构,1. 状态反馈：,2. 输出反馈：,3. 反馈结构对系统性能的影响,状态反馈不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。,输出反馈不改变系统的可控性和可观测性。,定理：当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。,37,二、 系统的极点配置,1利用状态反馈的极点可配置条件,定理：利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。,2. 单输入单输出系统的极点配置算法,通用的计算方法完全可控系统极点配置的规范算法,38,分离原理：若被控系统可控可观测，用状态观测器的状态估计值实现状态反馈控制系统时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即状态反馈矩阵K的设计和观测器中输出反馈矩阵L的设计可以分别独立进行。,三、全维状态观测器,定理：若被控系统(A,B,C)可观测，则必可采用所示的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L而任意配置(A-LC)的全部特征值。,39,作 业,6章:9,11,18,5章:3,4章:1,3,5,11,14,3章:3(II),5,10,2章:6,7,19,
