1、导 数 的 应 用,知识与技能:,1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间a，b上的最大（小）值； 2利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。,过程与方法:,1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间a，b上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。,情感态度、价值观：,逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯,一、知识点,1导数应用的知识网络结构图：,重点导析：,一、曲线的切线及函数的单调性,2. 求
2、可导函数单调区间的一般步骤和方法：,(2)求导数,(3)解不等式; 或解不等式 .,(1)求 的定义域D,(4)与定义域求交集,(5)写出单调区间,题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度,解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.,题型二 ：求函数的单调区间.,分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内确定其导数为正值与负值的区间.,二、可导函数的极值, 求导数,2. 求可导函数,极值的步骤：,题型三 ：求函数的极值与最值,三、函数的最大值与最小值,1. 设,是定义在区间a，b上的函数，,在,（a，b）内有导数，求函数,在a，b上的最大值与,最小值，可分两
3、步进行：,例 函数,在0，3上的最值.,题型四 ：利用求导解应用题,例1 如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？,B,A,乙,甲,如图,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 ,在 的范围内有唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15
4、千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.,练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.,答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3时, 圆柱体的体积最大.,2.与数学中其它分支的结合与应用.,例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60
5、).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,则,令 ,解得 ,从而,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,解:设B(x,0)(0x2), 则A(x, 4x-x2).,从而|AB
6、|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,例5:证明不等式:,证:设,则,令 ,结合x0得x=1.,而01时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,从而当x0时,f(x)1恒成立,即:成立.,例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围.,解:(1)
7、,由题意得:,(2) ,解得x0或x-2.,故f(x)的单调递增为(-,-2和0,+).,即m+1-2或m0,故m-3或m0.,例7.2001新课程卷文史类(21):已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试 确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.,注:此题为p.252课后强化训练第8题.,解:由已知得:,由 得 ;由 得,故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1/3)和(1,+),单调递减区间是(-1/3,1).,练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调递增区间.,答案:(1)a=
8、1,b=4.(2)单调递增区间为(-,-1)和(1,+).,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x-1,2时,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.,答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)max2.,练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-,0及2,+)上都是增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在-1,4上的值域.,答:由已知得 可求得c=0,b=-3,从而f(x)=x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x)在-1,4上的值域是-4,16.,难点突破：,1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若,在（a，b）内，,（或,），（其中有有限个 x,使,），则,在（a，b）内仍是增函数（或减,函数）。如：,，有,（其中,），,但,在（-, +）内递增；,2. 注意严格区分极值和最值的概念. 极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。,
