1、中图分类号：UI)c：一 一学校代码： 10055密级： 公开尚。恐犬淫硕士学位论文KramersKronig关系在光学中的应用The Applications of Kramers-Kronig Relations in the Optics南开大学研究生院二。一一年五月根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：(1)学位获得者必须按规定提交学位论文(包括纸质印刷本及电子版)，学校可以采用影印、
2、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库：(2)为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务：(3)根据教育部有关规定，南开大学向教育部指定单位提交公开的学位论文；(4)学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学术期刊(光盘)电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。论文电子版提
3、交至校图书馆网站：http：20211320161：8001indexhtm。本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。作者暨授权人签字： 匿金金2011 年6月2 日南开大学研究生学位论文作者信息论文题目 KranleT$Kronig关系在光学中的应用姓名 陈金金 学号 2120080105 答辩日期 2011年5月22日论文类别 博士口 学历硕士 硕士专业学位口 高校教师口 同等学力硕士口院系所 物理科学学院 专
4、业 凝聚态物理联系电话 Email chenl6713yahoocomcn通信地址(邮编)：天津市经济技术开发区宏达街23号南开大学泰达应用物理学院备注： 是否批准为非公开论文 否注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写(一式两份)签字后交校图书馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已
5、在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名： 隧金金 2011年6月2日非公开学位论文标注说明(本页表中填写内容须打印)根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本说明为空白。 论文题目申请密级 口限制(2年) 口秘密(10年) 口机密(420年)保密期限 20 年 月 日至20 年 月 日审批表编号 批准日期 20 年 月 日南开大学学位评定委员会办公室盖章(有效)注：l黜U,k2年(可少于2年)；秘密lO年(可少于10年)；机密“k20年(可少于20年)年 月摘要摘
6、要，KK转换分析方法在光谱学中还被称为Robinson-Pric冶关系，已经成为一种从反射光谱或者透射光谱获取光学常数的重要方法之一。K-K关系暗含的基本原理是响应函数的因果性、线性和解析性。和其他测量光学常数的方法相比，KK关系分析方法有很大的优势，一方面是对实验设备的要求低，容易测量，易于操纵；另一方面是对于样品具有非破坏性；最重要的就是用K-K分析方法可以通过一次反射光谱的测量就可以得到大部分的光学常数，而如果用其他获得光学常数的方法至少需要两次独立的测量。还有一个比较关键的就是，K-K分析方法可以用于不同材料通过反射光谱获得光学常数(从无机到有机，从固体到液体，从单晶到多晶，多孔材料等
7、)。自从Kramers(1927年)和Kronig(1926年)提出K-K关系之后，KK关系就被不断地应用于光学分析中，特别是应用到获取光学常数的计算中。起初KK关系中复杂的积分是应用KK关系的一个障碍，但是随着计算机软硬件的发展，这方面的障碍变得越来越不明显。对于KK关系在实际应用中的问题，我们知道存在两个主要问题，一个是按照KK关系的要求积分是从零到无穷的积分，而实际测量到的光谱却是在有限的范围，另一个问题就是K-K关系积分中的积分函数中在积分的范围内存在一个奇点。为了更好地应用K-K关系，我们必须关注并解决好这些问题。这正是本文讨论的主要解决的问题，本文针对K-K关系在应用中出现的问题提
8、出了几种不同的处理方法。尽管K-K关系已经被应用很多方面和很多不同的材料当中，并且在一些教材中也多少讲到了KK关系的相关理论，但是一般情况下我们从中并不能一目了然地了解KK关系的物理机制和理论推导过程。这里我们将详细地讨论KK关系物理机制和理论推导，及其对KK关系的一些修正，同时介绍一下KK关系在光学分析中的其他的一些应用。另外，讨论了K-K关系数值计算的一些实例，应用文献中的反射光谱用程序来实现对折射谱及其他的光学常数的计算。关键词：K-K关系(分析、转换) 光学常数反射光谱 光学分析AbstractKramers-Kronig K-K)relations known in the refl
9、ection spectrometry also asRobinsonPrice analysis，have constructed one of the principle and the mostimportant tools in the optical spectroscopy for the detem血ation of the opticalconstants of media from measured spectra(reflection spectrum or transmittancespectrum)The underlying principles are causal
10、ity,linear,anal如cal of the responsefunctionsCompared诵m other methods which extract optical properties from thebasic spectral measurement,K-K transformation methods have 80me advantagesOVer them,for example，undestructive for the materials，easily manipulated，lessrequirement about the experimental equi
11、pmentsIn addition,we can obtain opticalconstants from K-K analysis methods by just once measurement,otherwise，if wewant to get the s锄e constants of the medium，we need to apply two kinds ofdifferent methods independentlyThe key poillt is that the K-K transformationmethods Can be used to analyze the r
12、eflection spectra to obtain various opticalparameters of various materialsIt can be applied to analyze a wide variety ofmaterials(from organic to inorganic，solid to liquid,and single crystal，polycrystalline，amorphous and SO on)withom reference to specific modelsSince the K-K relations have been deri
13、ved by Kramers(1 927)and Kromg(1 927)，there has been great interest in the K-K analysis in the spectral research,especially in the process of determination of the optical parametersHow舒cer,theapplication of the K-K methods is hindered by its complexity of the integrationAsthe development of the comp
14、uter software and hardware，the restriction has becomeless obviousAs is known to BS，the K-K Transformation algorithm assunles that thereflectance or the transmittance spectra are measllred at incidence angles closing toZeroCalculating the integral presents two problemsFirst，the spectrum is obtainedOV
15、er a finite range，SO that approximations are required outside of the measureddomainSecond,there is a pole of the integral function in the range of integrationTomake the full use of K-K analysis methods，the problems that exist should be paid玎Abstractattention to and to find out proper settlements to
16、solve themThis iS也e aim of thispaper,We discuss different methods to work it out in detail。Even though K-K transformation methods have been applied in a wide range ofmaterials and in some reference book the K-K rclatiOIlS are mentioned more or less，We always can not get a well understanding of the p
17、hysical mechanisms and theprocess of derivationsHere，We will lay out the theoretical foundation of thesolutions and discuss the suitable conditions in detail，at the same time，We willsimply introduce some other applications in the optical analysisIn addition,here Wepresent some practical numerical co
18、mputations using the K-K relationsKeywords：Kramers-Kronig relations(analysis，transformation) optical constantreflection spectrum o皿cal analysisl目录目录第一章绪论1第一节 光学常数测量1111 光学常数及其确定的重要性1112 确定光学常数不同方法的比较2第二节 grall“lelsKronig关系历史背景一3121 K-K关系的提出4122 K-K关系的发展和应用概述5123 K-K关系在线性光学中的应用发展过程5124 KoK在非线性光学中的应用1
19、1125 KoK关系的最新应用和发展11第三节 研究目的和意义14第二章K-K关系的理论基础15第一节 K-K关系概述15第二节 KK关系理论推导16221傅里叶变换。16222 K-K色散关系的推导17223折射率与消光系数之间的关系23224反射率与相移的关系24第三节微分形式的K-K关系26第三章KK关系在光学常数测量中应用理论28第一节 K-K关系在实际应用中的问题28311对K-K关系式的分析。28312 KK关系问题解决办法概述3 1IV目录第二节 K-K关系应用的外推方法31321常数外推方法3 1322指数外推法32第三节 修正的K-K关系33331 Roessler公式333
20、32单参考点K-K关系相减法36333多参考点K-K关系相减法39334傅里叶联合积分在K-K关系中的应用4l335 S偏振光和P偏振光反射比的K-K转换方法43第四节光学常数之间的一些关系46第四章KK关系数值计算程序和实例47第一节K-K关系应用实例分析47第二节KK关系数值计算程序流程图51第三节计算结果对比53431 MEH-PPV反射光谱处理53432 Ge反射光谱处理55433多孔硅反射光谱处理。56第五章结论和展望57参考文59致谢。65个人简历66V第一章绪论第一章绪论本章主要介绍了光学常数相关知识和获取光学常数的一些方法，主要讲述了KK关系分析方法的历史背景和其应用发展。通过
21、对比我们也可以看出用K-K关系和反射光谱结合的方法占有绝对的优势，K-K分析方法凭着其简便易行、过程简单、对仪器设备要求低、对材料具有非破坏性等特点被广泛地应用于很多方面，本篇文章主要研究KK关系在光学中的应用。KK关系因着其独特的优势受到越来越多的科学研究者的青睐，堪称经久不衰，并且随着计算机软硬件的发展，使得应用KK关系的计算精度越来越高，这更能显示出了K-K的优越性。第一节光学常数测量111 光学常数及其确定的重要性光学常数是用来表征固体宏观光学性质的物理量【21，光学常数包括反射率R(co)、折射率n(co)、消光系数髟(缈)、介电常数8(co)等，这里的光学常数并不是实际意义的常数，
22、而是入射光光频率(或者波长、入射光能量)的函数，光学常数的这种频率依赖性其实就是色散关系。这些常数间接地反映了材料内部原子、分子的聚集态、对称性，电子在能带内、之间及在晶格振动态间的分布、跃迁和跃迁概率。光学常数联系着微观和宏观，通过观察和测量材料的物理宏观量来研究材料的微观性质和机理。这些光学常数之间并不是相互独立的，所以我们在研究材料的光学性质时候，我们就要根据实际的实验条件和实际的需要来决定我们首先先确定哪一个光学常数，然后利用他们之间的相互关系求得我们实际需要的光学常数。它是光学材料的一个及其重要的参量，尤其是在新技术迅速发展的今天，它不仅是光子器件和光电子器件设计中不可缺少的参数，而
23、且也是开发新型光学材料和对新型材料进行充分利用的一个重要的数据【3】。所以对光学性质的表征已经成为光学领域中一项重要而且是不可或缺的任务。第一章绪论112 确定光学常数不同方法的比较针对材料的性质和材料的不同的状态我们选取不同的测量方法，在薄膜光学出现以前，人们主要关注就是对块体材料的光学性质的测量，并且测量光学常数的设备和方法也很多，比如测角法、干涉法、阴影法等【3】所以人们对现有的块体材料的大部分的光学性质都已经熟知或者很容易用现有的实验方法来获得他们的光学常数，但是由于薄膜材料的特殊形态使得其具备了与体材料不同的一些光学性质，并且其所具备的特殊属性还可以满足更高的实际运用的需要，因而在很
24、多高科技领域里薄膜发挥着越来越重要的作用，因此对薄膜光学参数的测量是相当关键的一项任务。同时薄膜厚度的变化也直接地影响着其光学参数的变化，所以又相继出现了一些专门进行薄膜研究的测量方法。下面是一些测量薄膜光学常数方法的对比。常见的一些测量材料(这里主要是针对薄膜材料)光学常数的方法有：阿贝尔法，外差干涉法，棱镜耦合法，光谱法，椭圆偏振测量法等。我们经常用到就是光谱法和椭圆偏振法。其实这里说的光谱法并不是单纯的依靠光谱来获取光学常数，有的是结合一定的数学变换，比如KK分析方法就是结合反射光谱或者透射光谱来获得材料的光学常数的。下面主要对这两种常用到的获取光学常数的方法进行对比说明。椭圆偏振法即椭
25、圆光度法，椭偏光度法是研究薄膜或块体材料光学性能的重要手段，它通过测量光波与物质相互作用前后偏振状态的改变来测定样品的光学常数。椭偏测量具有原子层级的灵敏度，是目前测量材料光学常数精度最高的方法。此外，椭偏测量法还具有对样品的非破坏性、并能进行原位测量以及对被测对象及测试环境要求不高等优点(能够在高真空、空气、水气等各种不同的环境下使用)。实际上它是一种适合于单波长下的光学常数、多层膜的各层膜的厚度、表面及界面粗糙度以及材料微结构的简单、有力和非破坏性的测量方法。但是椭圆偏振法对仪器设备的要求比较高，并且用该方法测量的数据在数学处理过程比较复杂繁琐，这在一定的程度上影响了该方法的广泛应用一J。
26、对于光谱法来说，按照入射光的单色性分为，单波法和多波法；单波法主要是用两次独立的测量即分别获得材料的反射率和透射率，然后用方程组进行求解，该方法在实验上是容易实现的，设备要求简单，也便于测量，但是该方法的测量误差对计算结果的精确度的影响很大，这就导致了精确度不高的问题；2第一章绪论 ，还有一个问题就是在求解非线性方程组时存在多解，对计算结果进行正确的选择也是有一定的困难的。由于对于无吸收膜的反射率和透射率不是独立的，所以该方法适用于单层吸收膜的测量。在一些对结果的精度要求不高的情况下可以考虑用该方法。多波法包括：极值法、包络线法、K-K变换分析方法和全光谱拟合法。极值法就是干涉法，多光束干涉时
27、，在膜厚是五4的奇数倍的那些波长上是干涉相长，会出现极大值，而在膜厚是A4偶数倍的那些波长上是干涉相消，出现极小值。该方法要求薄膜厚度一般在几百纳米以上，并且对极值位置的判断有误差，l的极值误差会引起8的结果误差【5】，这就导致了测量结果的精度不高；曲线包络法是用透射光谱曲线包络进行计算的一种方法，包络法是在一定的光谱范围内，把极大值和极小值分别用包络线连接起来，得到一条关于极大值点的曲线和一条关于极小值的曲线，如果基片的折射率已知，这两条曲线唯一确定薄膜的参数(包括厚度和光学常数)。该方法测量和计算都比较简单，但是在实际的应用中有一定的限制，如透射光谱的测量和极大值、极小值包络线的描绘都存在
28、误差，这直接影响到了测量结果的精确度，因此该方法的测量精度也不高，另外一个限制条件就是透射系数远远小于折射率，即是该方法只是用于吸收比较弱的薄膜。还有就是因为包络线的描绘至少需要几个干涉极值峰，这就对薄膜的厚度也形成了限制【5】。利用K-K关系方法获取光学常数是本文研究的重点，K-K关系实际上一系列的希尔伯特变换，它是基于系统的因果性、线性等的一些关系式，K-K关系虽然有一定的物理机制，但是我们应用它是不需要特定的物理模型，它就像是一个黑盒子，从一端输入已知信息，经过这个“黑盒子“从另一端获得输出信息。在这里，我们的输入信息就是反射光谱或透射光谱，输出的是折射谱或消光系数、介电常数等其他的一些
29、光学常数信息。该方法只需要经过反射光谱的一次测量就可以得到材料大部分的光学参数。下面的一节将主要讲述K-K关系的历史背景综述及其最新的发展情况。第二节KramersKronig关系历史背景3第一章绪论121 KK关系的提出自从克拉默斯(Kramers)和克朗尼格(Kronig)提出K-K关系之后，越来越多地引起科学工作者的兴趣，并且渐渐地被用于各种实际相关问题中。久而久之，人们对于描述响应函数的实部和虚部之间关系的K-K关系式在当时KramersE6】(1927年)和Kroni917(1926年)是如何推导出来的相关信息已经不置可否，并且在一定程度上扭曲了K-K关系的历史，因为很少有人关心当时
30、这个关系是怎么提出来的，只是简单地引用并没有对克拉默斯和克朗尼格的文章进行研读，只是简单地说明K-K关系是基于响应函数的线性、因果性、解析性等，尽管在一些高年级本科生和研究生课本中也有讲述K-K关系的章节，他们通常是被直接表示成数学公式，或者是用复变函数的解析性出发获得K-K关系，像是古希腊神话中的雅典娜从宇斯的头里跳出来那样，没有讲述KK关系是怎样获得的，而是直接用完整的形式表达出来。这样并不利于我们对于K-K关系的理解和应用，所以需要我们对KK关系进行详细且深入的研究和讨论，并对K-K关系的历史进行合符实际地进行修正。但是克拉默斯和克勒尼希当时推导KK关系时的情况并不完全像现在的一些教材上
31、所讲述的那样，教材上讲述的都是在克拉默斯和克勒尼希所推导关系式的基础上结合数学不断发展到现在我们所应用到的KK关系。但是对于K-K关系的推导背景和当时具体情况我们还是应该有一个正确的认识，不能够随着时间的推移我们就扭曲了当时的历史。Craig F Bohren副(2010年)指出：一方面，当年尽管克拉默斯得到了一组关系式，而克勒尼希只推导出来一个关系式，但是他们推导KK关系的过程并不是像现在我们提到的K-K关系那样不用模型推导，直接根据响应函数的线性、因果性、解析性等推导，他们两个当时都应用了原子气体模型：另一方面，当年克拉默斯仅仅思考了他在特殊条件下获得的结果是否能够有更广泛普遍的应用，但是
32、他们都没有给出这样的结果：在任何满足色散关系的介质中，没有任何信号的速度大于光速。确实他们并没有提及信号速度及因果关系，甚至间接地也没有提到过；再一方面，现在的K-K关系是用复变函数理论推导出来的使得其物理根源变得模糊。在1926年克勒尼希的文章中并没有提到复变量，他的兴趣在于X射线(n1)，并且他的原子吸收系数是通过一个窄的积分范围而得到的，因为他用于确定n的极化率是实的。克拉默斯和克勒尼希相互都知道彼此所做的工作，但是克勒尼希首先发表4第一章绪论 。 。了文章，文章中只推导了一个关系式，而克拉默斯在后来发表的文章中推导了一组关系式，在1928年他们合作发表了一篇相关的文掣91，因此后来该关
33、系式就归功于他们两个人，并且以他们的名字命名_K瑚卫e拇Kronig关系。他们首先给出了介电函数及复折射率的实部和虚部之间的这种色散关系，并把他们成功地应用于X射线的色散当中。122 KK关系的发展和应用概述我们已经知道克拉默斯和克朗尼格当初得到的是关于介电函数的实部和虚部之间的关系，即是最初的K-K关系， K-K关系暗含的物理机制是因果性，因果关系可以有两种说法，一种是结果不可能发生之前，在我们光学中即是在没有入射光照射时不会有极化现象产生，不同的系统中根据实际情况就有不同的“因“和不同的“果”；另一种是在相对论里的说法即在任何满足色散关系的介质中，没有任何信号的速度大于光速。Toll10】
34、在理论上有力地证明色散关系和因果关系之间的联系。我们这里提到的因果关系都是指的是第一种因果关系。并且不同材料的因果性和K-K关系存在联系已经都得到证明。Tichmarsch理论10-n】有力地证明了绝缘体中的因果律和K-K之间的联系，Bassani和Altarelli121研究并确定了在导体中因果律和KK之间存在的必然联系。同时K-K关系在半导体激光物理中也有很重要的应用，用于描述线性磁化系数的实部和虚部之间的载流子诱导耦合的参数口就可以用K-K分析方法计算出来【13-14】。既然我们知道了无论是半导体、导体还是绝缘体，由于因果律的存在使得K-K关系对于任何材料都适用，这就大大地增强了K-K关
35、系在科学研究中的作用。对于任何材料只要存在着“因“和“果的发生都有一对KK关系的存在，不过我们还不能忘记另外两个推导K-K关系的基本条件：线性和解析性。我们这里所说的因果关系和KK关系之间的联系时已经假设满足这两个条件。所以KK关系渐渐地不只是在光学领域了，在其他的一些领域中变得越来越流行了。例如，高能物理【ll】，还有一些其他比较有趣的应用，比如在声学中的应用【1，15之31，电化学复阻抗【27】的阻抗值和相位之间的关系，还有就是在复阻抗中的稳定性监测，还粘滞系数的计算【38】等，有一个更有趣的应用就是由Lucarini提出来的温度变化的自相关理论【391。123 KK关系在线性光学中的应用
36、发展过程5第一章绪论前面也简单提到了KK关系在各个方面的一些应用，本文主要是介绍KK关系在光学中的应用，特别是在光学常数测量和计算中的一些应用，接下来的章节里面将会详细讨论K-K关系在光学常数获取和光学分析中的应用。这里首先讨论下K-K关系在光学中的应用发展历史。我们知道大部分的测量光学常数的方法都对材料的形态或者是材料的类型都有一定的要求，有的方法只是用于一定状态的材料或者只适用于某一种特定的材料，而K-K关系分析方法的魅力还在于它适用于各种不同形态、不同类型的材料40441，从无机到有机，从固体到液体，从体材料到薄膜材料，还有不定形态等等，我们从K-K关系的应用实例中就可以看出来K-K关系
37、在光学实际应用中的重要性，从这一点更能看出K-K关系分析方法的优势。最早从反射光谱获得光学常数的方法是由Tousey”】在1939年提出来的，他在固定波长下在至少两个不同的入射角下进行反射光谱测量，然后结合菲涅耳公式得到系统的一组方程式，他是用图表的方法对方程组进行求解的。这种方法计算过程比较复杂，并且计算量比较大。Tousey方法中用菲涅耳公式得到如下的关系式：R=f(i，刀，r，p)，其中i是入射角度，刀是折射率，r是透射系数，P代表按照入射光中P分量所占的百分比，根据入射角的不同、和已知的入射光偏振成分得到一组方程式：胨爪A(n暑 (1)【是= ，r) ”“7由此可以用如11图所示的图表
38、求得折射率和消光系数。1952年Averyl56】对Tousey方法进行了改善，Avery没有用反射光谱而是引入了s偏振和P偏振光反射比，只要光源的偏振是各向同性的，就能类似于椭偏仪那样不依赖于基地背景地进行测量。6第一章绪论图11 Tousey用图表的方法求得特定材料的折射率和消光系数由于Tousey和Avery的方法都涉及到不同角度入射的情况，所以要应用于各向不同性的材料特别是对于双轴晶体就比较困难。Robinson【，7】提出了用正入射反射光谱来计算复折射系数的理论。Robinson提出的方法首先被应用于各向同性的材料中，但是很容易就能延伸到正方晶系和更高对称性的材料之中。这个基于线性现
39、象的理论已经被广泛地用于电网理论中58】，在电网理论中已经指出输出端的信号衰减和相移之间不是相互独立的，如果知道他们中的一个随着频率变化的关系，另一个量随着频率变化的关系也可以求出来。在非铁电材料和铁磁材料中，麦克斯韦电磁方程都是线性的。这样就有可能从复折射系数随频率变化的振幅推导出一个半无限平面上传播的电磁波反射相移。也就是说通过在一个合理的频率范围内的反射强度(能量)Irl2的测量或者反射衰减一lll|厂I的测量可以用于计算在该范围内任意频率处的相移。这样就可以利用正入射下的公式：，=(刀一1)(刀+1)完全求出复反射系数了。这种方法的一个例子就是在2600-3100era“1范围获得不定
40、向高分子聚乙烯的光学常数。该计算过程中出现一个有趣的现象：反射率的常数误差并不影响相移的计算。这个现象对于我们在以后应用K-K关系来进行计算光学常数有一个启发的作用。该计算过程是用图(12)所示的阿根图表来实现：7第一章绪论O肛，畏2尸坩夕7弋 要一Ol百丁一可3A唧l呦de图12聚乙烯在26003100cm-1范围内复反射系数的极坐标图。Fnqueacy(m“!图13从聚乙烯在27003000cm“1范围内的反射光谱求得的折射率和消光系数从图12看出来折射率和消光系数轨迹交点形成了两个圆圈群。从折射率和反射系数之间的关系可以知道，折射率刀的圆是以l一1)为半径，并且在，=(1，0)点正切于纵
41、坐标，消光系数K圆是以lr为半径的圆，正切于横坐标于，=(1，0)点，从该表可以直接读出来刀和r。图13是从上面的图表中读出的数据，是折射率和消光系数随着频率变化的关系曲线。1953年Robinson和Price59】共同发表了一篇文章，在该文章中同样是沿用了Robinson提出的用反射光谱获取光学常数的方法，用红外反射光谱和图表方法获得聚四氟乙烯强吸收带的频率和消光系数，并确定了尿素晶体吸收带的极8第一章绪论化状态数，这两方面的应用都说明了用反射的方法优于透射方法。虽然用红外透射光谱来获得晶体的结构已经获得重大成功，但是这种技术最大的限制就是对于强吸收带的样品的厚度要求不能大于llam，同时
42、又要求样品的表面积能够覆盖分光仪入射狭缝，这种尺度的样品很难制备和控制。由此用反射光谱代替透射光谱已经成为趋势。Robinson和Price的工作得到了认可，他们对反射光谱处理和用图表的方式求解的方式实际上就是一种K-K转换，当时也许由于计算机软件和硬件发展的程度问题不能像现在这样直接用数值计算对K-K关系进行处理。但是基本思想是一样的。所以后来有的时候也成KK关系为RobinsonPdee关系。1956年TollDo给出了关于K-K转换的一个比较重要的理论背景，他证明了KK关系对于任何因果性的复函数都适用，特别是对于色散关系。Jahoda601用该方法通过测量氧化钙单晶的反射光谱得到透射方面
43、的信息，用该方法避免了用透射方法式对薄膜厚度测量和反射损失进行修正的麻烦，还有就是用透射方法时对薄膜晶格完整度、化学计量、表面污染等都比较难确定或者定量地计算。在50年代末和60年代初出现了对T0n提出的理论方法的应用【41-4260。Jahoda删成功地运用KK关系和反射光谱结合获得了氧化钙的折射率和消光系数。下图是Jahoda用KK转换分析方法计算得到的氧化钙的折射率和消光系数：olOEE咐EV，鲥1上etHA图14氧化钙在182的反射光谱和用K-K关系分析方法获得的折射谱和消光系数谱由于这种方法联系着两个原本需要两种不同的测量方法才能够得到的物理量，所以用这种方法就能够大大地简化我们的实
44、验过程，并且对实验设备的要9第一章绪论求也低，并且能够根据材料的性质决定用反射光谱或者是透射光谱，这就克服只用透射光谱方法的一些弊端。所以越来越引起人们的关注，由于应用KK方法也会产生一定的误差，因为K-K方法需要整个频率范围内的光谱，而我们得到的光谱都是在一定的范围内的，这就需要我们采取合理的外推方法，或者采取合适的近似方法来解决未测量到范围内的反射光谱对相移所产生的影响。并且尽量是的在未测量范围内的反射光谱或者透射光谱最大限度地符合材料的实际光学响应情况。随着问题的出现，人们也不断地深入研究借助有效的办法来解决这个问题，使得K-K关系分析方法成为一个更有力的获得光学常数的方法。Plaskc
45、tt和Schatz在1963年对Robinson和Price理论进行了总结，并且引入了对K-K关系积分的改善。Rosseler推导出了一种在正入射【61和斜入射【62情况下能够改善数值积分分析稳定性的方法。1971年Ahrenldel63】提出了一种修正的K-K关系，其实就是Singly Subtractive KramersKronig关系(单参考点相减的KK关系)，这种方法主要是能够改善积分函数的收敛速度，这样能大大改善用K-K关系计算光学常数的精确度。并用合成的反射光谱对随推导出来的SSK-K方法进行验证，结果证明用SSK-K方法得到的光学常数的误差要比用K-K方法多得到的误差小很多。S
46、SKK方法是利用已知的一个固定波长(频率或者电子能量)处的相移来改善积分函数的收敛情况，如果我们利用已知的多个频率处的相移，就可以得到所谓的Mul邱ly Subtractive K-K，MSK-K方法和用SSK-K方法的思想是一样的，通过改善积分函数的收敛速度来改善用K-K关系分析方法获得的光学常数的精确度。1972年Nussenzveig11】给出了MSK-K最基本的形式，高能物理研究者在这之后就已经把MSK-K关系应用到实际计算中。另外，在十九世纪八十年代，Goplcnt删等人把折射率和消光系数之间的K-K关系结合一些参考点，用了一种与MSK-K方法稍微不同的技术求得了在其他波数处的折射率值。1 998年Ken
