1、第 2 章习题答案（毕岗编写） 第 2 章 21 半径为 a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为 nullrnull， r为圆盘上任意点到圆心的距离，求圆盘上的总电量。 解： Qnullnull rddrSnull null rnulldrnullnullnull dnullnullnullnullnullnullnullnull。 22 半径为 a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为 Q，若该球以角速度 绕其自身的任意中轴旋转，求球体内的体电流密度。 解： JVnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulln
2、ullnullnull。 23 无限薄的导电面放置于 znull0平面内的 0 null null null 0.05null的区域中，流向 ynullnull方向的 5A电流按正弦规律分布于该面内，在 xnull0和 x null 0.05m处线电流密度为 0，在 x null 0.025m处线电流密度为最大，求 JSnullnullnull的表达式。 解： 电流分布如下图所示： x y z 0 0.025 0.05 Js =5A/m Js JSnullnullnullnull5sinnullnullnullnull.nullnullnullnullnullnullnullnullnulln
3、ull。 24 三根长度为 l、电荷均匀分布、线密度分别为 nullnull， nullnull和 nullnull的线电荷构成的等边三角形，设 nullnullnull2nullnullnull2nullnull，计算三角形中心处的电场。 解： Enullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnul
4、lnull， 由电荷密度关系可知： 2|Enull| null |Enull| null |Enull|， |Enull| null2E， |Enull| nullE， |Enull| null2E， 因此， EnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnull0。 第 2 章习题答案（毕岗编写） 25 两无限长的同轴圆柱壳面， 半径为 a和 b， 内外导体上均匀分布电荷， 密度分别为 Snull， Snull，求 rnullnull， anullnullnullnull，
5、 rnullnull时各点的电场及两导体间的电压。 解：用高斯定理求 Er。做高斯面（闭合面 ） ， 轴对称高斯面为圆柱闭合面，为左图所示 Er1（ r a,内导体内） 设导体为理想导体，则 E1=0； Er2（ a r b， 内导体与外导体之间圆柱空间） 同轴无限长,圆柱侧面 （高斯面） 上E 2处处相等， 且 Er只有 方向分量 d 矢量为高斯封闭面的外法线ndsns)r,= Er2dsr: 上下底面： Er2dsr=0（ Er2 dsr， cos90=0） 侧面： Er2dsr=E2ds（ Er2 dsr， cos0=1） 010222222alQlEdSEdSESdEsS=侧侧vv 0
6、12aEs=r3Er( r b， 外导体壳外 ) E32 l =0212 blalss+3Er= 021bass+（ 2） 两导体内电压abV abadadEdEldEVsbasbababaabln10101=rrrr当 rnullnull时， Enullnullnullnull0；当 anullnullnullnull时， EnullnullnullnullnullSnullnullnullnullSnullnullnullnullnullrnull， Unullnull Enullnullnulldrnullnullnullnull nullSnullanullSnullbnullnull
7、lnnullnull。 b a n2ErEr1nn 高斯面 第 2 章习题答案（毕岗编写） 26 半径为 a的球中充满密度为 nullrnull的电荷，已知电场为 EnullnullnullrnullnullArnull， rnullanullanullnullAanullnull rnull ， rnullnull，球电荷密度 nullrnull。 解：利用高斯定理的微分形式，即0/=Er，在球坐标系中，可得 )(12200 rErrrE= r在 ra 的区域 )45()(12023220ArrArrrrr+=+= 在 ra 的区域 0/)(124522=+= rAaarrr 求 r=a 处
8、的s 。 直接利用边界条件 0)()(230230=+=+=AaaAaaDDrrars 结论：当 rnulla时， nullnullDnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnull5nullrnullnull4Ar； 当 rnullnull时， nullnullDnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnull0。 27 半径为 a和 bnullanullnullnull的两个同心导体球面，球面上电荷分布均匀，密度分别 Snull、 Snull，应用高斯定理求任意 r点的电场及两导体间的电压。 解：当 rnullnull时，
9、 nullEnullnullnulldSnullnullnullnullnullnullnull dvVnull0， Enullnullnullnull0； 当 anullrnullb时， nullEnullnullnulldSnullnullnullnullnullnullnull dvVnullnullnullnullnullnullSnullnullnull， EnullnullnullnullnullnullnullSnullnullnullnullnullrnull， 当 rnullb时， nullEnullnullnulldSnullnullnullnullnullnullnull
10、4anullSnullnull4bnullSnullnull， EnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullanullSnullnullbnullSnullnull， Unullnull EnullnullnulldlnullnullnullnullnullnullnullSnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull。 28 一个半径为 b的球体内充满密度为 nullbnullnullrnull的电荷。计算球内和球外任一点的电场强度和电位。 解：当 rnullnull时， qnullnullnullnullnullnu
11、llnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， Enullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull dvVnullnullnullnullnullnullnullrnull； 当 rnullnull时， Enullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull dvVnullnullnullnullnullnullnullnullrnull。 第 2 章习题答案（毕岗编写） 29 一个半径为 a的薄球体壳内表面涂履了一层薄的绝
12、缘膜，球内充满总电量为 Q的电荷，球壳上又冲了电量为 Q的电荷。已知内部的电场为 Enullnullnullnullnullnullnullnullnullrnull，计算： null1null球内电荷分布； null2null球的外表面电荷分布； null3null球壳的电位； null4null球心的电位。 解： null1nullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullVnullnullnullnullnullVdVrnullnullnullnullnullnullnullrnull 即nullnullnullnullnullnullnu
13、llVnullnullnullnullnullVdVrnullnullnullnullnullnullnullrnull，得 Vnullrnull nullnullnullnullnullnullnull； null2nullQnullnull SnullrnulldSSnullSnullrnull4anull， SnullQnullnullnullnull； null3nullnullnullrnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullQnullnullnullnullnull； null4nullnullnullnullnull。 210 电场中有一
14、个半径为 a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位为 nullnull0， rnulla； nullnullAnullrnullnullnullnullnullcos， rnulla， null1null求圆柱内外的电场强度； null2null这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之。 解： null1null因为 null null 0， rnullnull； nullnullAnullrnullnullnullnullnullcos， rnulla，所以 rnullnull时， Enullnullnullnull0； 当 rnulla时， Enullnullnullnullnullnul
15、lnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， EnullnullnullnullnullAnull1nullnullnullnullnullnullcosnullnullnullnullnullnullAnullrnullnullnullnullnullsin null2null圆柱体是由导体材料制成的，表面上又电荷 nullnnullE|nullnullnullnullnull2nullAcos。 211 求一点电荷 q放在无限大、均匀、 线性、各向异性电介质中，介质相对介电常数为 null。求电介质中的 Dnullnu
16、llnull， Enullnullnull， Pnullnullnull。又问 Dnullnullnull， Enullnullnull， Pnullnullnull是否均匀？其极化电荷体密度 null如何？ 解： Enullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullrnull， DnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullrnull， Pnullnullnullnullnullnullnullnull1nullEnullnullnullnullnullnullnullnull
17、nullnullnullnullnullnullnullnullnullrnull， Enullnullnull、 Dnullnullnull、 Pnullnullnull是按照离 q 的距离变化的，是不均匀的。 nullPnullnullnullnull0nullrnull0， nullPnullnullnullnull0null。 212 证明在均匀、线性、各向同性电介质的任何一点上，若自由电荷 null0，则束缚电荷第 2 章习题答案（毕岗编写） nullnull0。 证明： pnullnull nullqlnull0， PnullnullnullnullNpnullnull null0
18、， nullnullnullnullPnullnullnullnull0。 213 半径分别为 a和 bnullanullnullnull的同心导体球壳之分布着密度为 nulla rnull 的自由电荷，求电场和电位分布。如果外导体球壳接地，问电位电场有无变化？ 解： nullEnullnullnulldSnullnullnullnullnullnullnullnullVdv nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， Enullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， 接地后：
19、nullnullnullnullnullnullnullEnullnullnulldrnullnullnullnullnull null Enullnullnulldrnullnullnullnullnullnullanullnullnullnulllnnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， 接地前，无穷处电位为零 nullnullnull null Enullnullnulldrnullnullnullnullnull 发散。 214 电场中有一半径为 a的介质求，已知 nullnullnul
20、lnullEnullrcos nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullanullEnullnullnullnullnullnullnull， rnulla，nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullanullEnullnullnullnullnullnullnull， rnulla验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。 解：边界条件： nullnull|nullnullnullnullnullnull|nullnullnull， nullnullnullnullnullnullnullnu
21、llnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullrnullcosnullnullnullsinnullnullnull， Pnullnullnullnull nullnullnull1nullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullrnullcosnullnullnullsinnullnullnull， nullnullnullPnulln
22、ullnullnnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullcos。 215 设 ynull0平面是两种介质分界面，在 ynull0的区域内， nullnull5null而在 ynull0的区域内，nullnull3null。如果已知 Enullnull 10xnullnullnull20ynullnull，求 Dnullnullnullnullnullnull， Dnullnullnullnullnullnull和 Enullnullnullnullnullnull。 解：如果 nullnull3
23、null， nullnull5nullDnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullxnullnull50nullnullynullnull100null， EnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullxnullnull10， DnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullynullnull
24、100null， DnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullxnullnull30nullnullynullnull100null。 EnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnul
25、lnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullxnullnull10nullynullnull33.3 假设 nullnull5null， nullnull3nullDnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullxnullnull30nullnullynullnull60null， EnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullxnullnull10， Dnullnullnullnullnull
26、nullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullynullnull60null， DnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullDnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullxnullnull50nullnullynulln
27、ull60null。 EnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullxnullnull10nullynullnull12 第 2 章习题答案（毕岗编写） 216 平行板电容器的长和宽分别为 a和 b，板间距离为 d。电容器的一半厚度 null0d 2 null用电介质 填充。板外加电压 U，求板上的自由电荷面密度、极化电荷密度和电容器的电容量。 解： nullnullnull,nullnullnullnullEnull=null
28、Enull， d1E1+ d2E2=U nullnullnullnullnullnull1nullnullnull=nullnullnull, nullnull= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, nullnull= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull1） 平行板电容器上面板的自由电荷面密度为 up= nullnullnull nullnullnullnullnullnull=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnu
29、llnullnullnullnullnullnullnull, up= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, 平行板电容器下面板的自由电荷面密度为 down= nullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, 2） 平行板电容器上面板的极化电荷面密度为 upp= nullnullnull nullnullnullnullnullnulln
30、ullnullnullnull=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, upp= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull平行板电容器下面板的自由电荷面密度为 down=0 3） 平行板电容器的电容量为 QnullnullSnullnullnullnull
31、nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, CnullnullUnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull217 一点电荷 q放在成 60导体角内的 xnull1， ynull1点， null1null求出所有镜像电荷的位置和大小；null2null求 xnull2， ynull1点的电位。 解： null1nullnull1， null1null， null2sin75， 2cos75null， null2sin75， null2cos75nu
32、ll， null2nullrnullnullnullnullnull nullnull1， 0null， rnullnullnullnullnull nullnull1， 2null， rnullnullnullnullnull nullnull2null2sin75， 1null2cos75null， rnullnullnullnullnull nullnull2null2sin75， 1null2cos75null， nullnullnullnullnullnullnullnull|nullnullnullnullnull|nullnullnullnull。 218 两靠近地面的带等量异号
33、电荷的导体小球， 球心在垂直地面的一直线上， 两球心相距 h，下面球的球心与地面相距 H，两球半径分别为 rnull和 rnull，设 rnull， rnull比 h， H小得多，即带电小球在产生场时近似看成点电荷，求两小球的电容。 解： nullnullnullnullnullnullnullnull， Cnullnullnullnullnullnullnull4h， nullnullnullnullnullnullnull， Cnullnullnullnullnullnullnullnull4h。 219 接地导体球，半径为 a，其外 P点处有一点电荷 q， P点与球心距离为 h。试求 P
34、点可见的那部分球面上的感应电荷与剩余部分球面上的感应电荷之比。 解：求导体上任一点的电位中，且 nullnull0null接地 null nullnullq4rnullnullnullq4rnullnullnull0 由余弦定理，得 U E1 E2 第 2 章习题答案（毕岗编写） rnullnullnullanullnullhnullnull2hacos， rnullnullnullanullnullhnullnull2adcos， 对球外任一点电位为 rnullnullnullrnullnullhnullnull2hrcos， rnullnullnullrnullnullhnullnull2
35、rdcos， 导体球面内的感应电荷面密度 SSnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， 感应电荷之比 null见null余null nullnullnullnullnullnullnull。 220 两个偏心球面，半径分别为 a和 b，球心分别为 Q和 Q，其偏心距 QQ nulldnulldnullbnullnullnull，两球面之间分布着均匀的体密度为 的自由电荷。求小球面内 nullr
36、nullnullnull的场分布。若 换成非均匀的 nullrnull nulla r nullr 为从 Q 出发的球半径 null，问 r nullnull内的场还能借助高斯通量定理求解吗？ 解：设大球内的电荷分布为 ，小球体电荷为 null， 对于大球，由高斯通量定理，得 nullEnullnullnulldSnullnullSnull1nullnulldVVEnullnullnullnullnullnull。 对于小球，由高斯通量定理，得 nullEnullnullnullnulldSnullnullSnull1nullnulldVVEnullnullnullnullnullnullnu
37、llnull。 EnullnullEnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull。 若 换成非均匀的 nullrnull nulla r nullr 为从 Q 出发的球半径 null，不能借助高斯定理。 221 一带电量为 q，质量为 m的小带电体，放置在无限大导体平面下，与平面相距为 h，应用镜像法理论求电荷 q的值， 使带电体上受到的静电力恰好与重力想平衡。 设 mnull2null10nullnullkg，h null 0.02m。 解：nullnullnullnulln
38、ullnullnullnullnullnullnullmg， nullnullnullnullnullnullnullnullnull2null10nullnull， qnullnull36null10nullnullhnullq null 0.012。 222 一点电荷 q放置在一个半径为 b的导体球附近，与球心相距为 R，球未接地，原先也未充电。证明球对点电荷的吸引力为()22222303224aRaRRaqF=第 2 章习题答案（毕岗编写） 解：由于导体球不带电，则镜像电荷有两个，一个位于 P2点上的 q,它离球心 O 的距离为 Rad2= ,另一个位于球心 O 处的 q。 这两个镜像电
39、荷值分别为 qRaq = ， qRaq = 根据库仑定律 球受到点电荷的作用力为 () ()() ()23022230232022020)2(41444141dRddRRaqdRRRaqRaRdRaqdRqqRqqFFF=+=+=将Rad2= 代入得： ()222223032222230224)2(4aRaRRaqRaRRaRaRRaqF=得证！ 223 两点电荷 nullQ和 nullQ位于一个半径为 a的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心为D和 nullD。证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，且偶极矩为 2anullQDnull 。 224 圆柱形电容器外导体内半径为 b，当外加电
40、压固定式，求使电容器中的电场强度取最小的内导体半径 a的值和这时电容器中电场强度的最小值。 解： Enullnullnullnullnullnullnullnull， unullnullnullnullnullnullnullnullnullnulllnnullnull， nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， 当 rnulla时， Enullnullnullnullnullnullnullnullnull， Enullunullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulllnnul
41、lnullnull1nullnull， 要使 Enullmin，则 此时 Enullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull。 225 同轴电容器内导体半径为 a，外导体内半径为 b， anullnullnullnullnullb nullnullnull部分填充电容率为的电介质，求单位长度的电容。 解：设内外导体表面上分别带有电量 null和 nullnull，在介质内部，作高斯面，由高斯定理可得 aP2P1 Rdqqq第 2 章习题答案（毕岗编写） 非介质内部，作高斯面，由高斯定理得 Enullnullnull
42、nullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnull2nullnull非介质内部 b nullnullnullb，作高斯面 EnullnullnullnullnullnullEnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull， Unullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulldnullnullnullnullnullnulldnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
43、nullnullnulllnnullnullnulllnnullnullnull， CnullnullnullnullUnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull。 226 平行板电容器板间距离为 d，面积为 S，在它的极板间放进一块面积为 S、厚度为 tnullnull的介质板 null相对电容率为 nullnull，求电容量。 解： nullnullnull,nullnullnullnullEnull=nullEnull， tE1+ (dt)E2=U nul
44、lnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull=nullnull, nullnull= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, nullnull= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull平行板电容器上面板的自由电荷面密度为 up= nullnullnull nullnullnullnullnullnull=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulln
45、ullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, up= nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, 平行板电容器的电容量为 QnullnullSnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull, CnullnullUnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullCnullqUnullnullnullnullnull/nul
46、lnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull/nullnullnullnull227 有一半径为 a、带电量为 q的导体球，其球心位于两种介质的分解面上，此两种介质常数分别为 null和 null，分界面可视为无限大平面。求 :null1null球的电容； null2null总静电能。 解： null1nullunullnullnullnullnullnullnullnull， unullnullnullnullnullnullnullnull， Cnullnullnullnullnullnullnull2nulla， Cn
47、ullnullnullnullnullnullnull2nulla， CnullCnullnullCnullnull2anullnullnullnullnull， unullnullCnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull； null2nullWnullnullnullnull nullnullqnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull。 228 证明单位长度同轴线说储存的电场能量有一半是在 rnullab的介质区域内。其中 a， b分别同轴电缆内外导体的半径。 证
48、明：对于圆柱体有 EnullnullLnullnullnullnull， unullnullnullnullLnullnullnullnulllnnullnull， U E1 E2 第 2 章习题答案（毕岗编写） Wnullnull12unullnullqnullqL4nulllnba， 在 rnullab内 unullnull Edrnullnullnullnull null EdrnullnullnullnullnullLnullnullnullnulllnnullnullnullnullWnullnullnullnullunullnullqlnnullnull， Wnull nullnullnulluq nullnullLnullnullnullnulllnnullnullnullnullnullWnull。 229 半径为 a和 b的同心球，
