1、 41第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量 ，方差 ，则由切比雪夫不等式有 .)(E2)(D|3P912.设 是 n 个相互独立同分布的随机变量，,21对于 ，写出所满足的切彼雪夫不等式 ),(,),)( niii 218nii1，并估计 .22DP| |4Pn213. 设随机变量 相互独立且同分布 , 而且有 , 19,X iEX, 令 , 则对任意给定的 , 由切比雪夫不等式1(,29)iX 1ii 0直接可得 .P29解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量 满足： 与 都存在, X()E2()DX则对任意给定的 , 有0, 或者2|PX2|1.P由于随机变量 相互独
2、立且同分布, 而且有 129,所以,()iiED 99111(),iiiiiXEX9992111()().iiiiiD4. 设随机变量 X 满足： , 则由切比雪夫不等式, 2,()EX有 .|4P16解：切比雪夫不等式为：设随机变量 X 满足 , 则对任意 2(),()EDX的 , 有 由此得 02|.P21|4.()6425、设随机变量 ，则 .2)(,)(,DE|2P436、设 为相互独立的随机变量序列，且 服从参数为 的泊松n,21 ),(1i 分布，则 .limxPiin1 xtde27、设 表示 n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数， 是事件 A 在每次试验中出现的p概率，则
3、.baPn)1(2pnbatde8. 设随机变量 , 服从二项分布 , 其中 , 那么, 对于任n()B01,n一实数 x, 有 0 .lim|npx9. 设 为随机变量序列, 为常数, 则 依概率收敛于 是指12,nX anXa1 ,或 0 。Pnli0 Pnlim,10. 设供电站电网有 100 盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为 0.8. 假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量 X 为 100 盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落在 75 至 85 之间的概率不小于 . 259解： , 于是()80,()16EXD16975(|80|).25PPX二计算题：1、在每次试验
4、中，事件 A 发生的概率为 0.5，利用切比雪夫不等式估计，在 1000 次独立试验中，事件 A 发生的次数在 450 至 550 次之间的概率.解：设 表示 1000次独立试验中事件 A发生的次数，则X 250)(,50)(XDE50|504XPP439.02510)(5|)(| 2XDXEP2、一通信系统拥有 50 台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为 0.90. 系统正常工作时 , 要求能清晰接受信号的交换机至少 45 台. 求该通信系统能正常工作的概率.解：设 X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则 (50,.9)XB由此 P(通
5、信系统能正常工作) 4P50.9509150911 (2.36)(4.3、某微机系统有 120 个终端, 每个终端有 5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于 10 个终端在使用的概率. 解：某时刻所使用的终端数 7(120,.5),6,5.bnpq由棣莫弗拉普拉斯定理知 60(1.)0.45.7P4、某校共有 4900 个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为 0.1, 问阅览室要准备多少个座位, 才能以 99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为 , 要准备 k 个座位.(,)490,.14901,bnpnpnpq2.490
6、490121kkPnpqnpq490(23.).12查 分布表可得(0,1)N.6,1.36490538.2kk59.要准备 539 个座位,才能以 99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.445随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于 9 且不超过 33 点的概率。解：设 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。i， 表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，61， 2， ， 6 相 互 独 立 ， 显 然 i16235112354966722DEii 9Epp13Ep9.03851696. 设随机变量 相互独立，
7、且均服从指数分布 n,21为 使 ，00xef)( 10951nkP问： 的最小值应如何 ？n解: EDkk12, 21211, nDnnknkk 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 101nkP ,109510211 nnEPknk即 , 从 而 n 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 95n2000 457抽样检查产品质量时，如果发现次品多于 10 个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为 10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到 0.9?解： 设 n为至少应取的产品数， 是其中的次品数，则 ，X)1.0,(nbX，而9.01XP 9.019.01nnP所
8、以 .n由中心极限定理知，当 n充分大时，有 ，1.0)3.1(09.1.0 nnXP由 查表得 .)3.(28 147n8(1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有 85 个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有 n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使系统正常运行，问 n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为 0.95?解：(1)设 表示正常工作的元件数，则 ，X)9.0,1(bX901.851085 PP393由中心极限定理可知 )35(1)0()
9、5()1085 XP9.3()3(2)设 表示正常工作的元件数，则 )9.0,(nbXnPnPX 3.021.3.1)8.0().( .0932.93 nX4695.0)3()(1n35n25n9一部件包括 10 部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为 2 mm ，均方差为 0.05 mm，规定总长度为 20 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ： ( 0.6 ) = 0.7257； ( 0.63 ) = 0.7357。解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 X i ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi ) = 2 = , D( X
10、i ) = 2 = ( 0.05 ) 2 ,依题意 ，得合格品的概率为 1010iiP 63021051836.)(iiXP63.0263.02dtedte471.075.12. t10计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间 0.5，0.5 上服从均匀分布，求 1200 个数相 加时误 差总和的绝对值小于 10 的概率。已知： (1)=0.8413； (2)=0.9772。解：设 1 ， 2 ， ， n 表示取整误差, 因它们在 0.5 ，0.5 上服从均匀分 布 ， 故 有 EDini i012,根 据 同 分 布 的
11、中 心 要 极 限 定 理 ， 得 1201201201120120 ii PP= ( 1 ) ( 1 ) = 2 ( 1 ) 1120i= 2 0.8413 1 = 0.68264711将一枚硬币连掷 100 次，试用隶莫佛-拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于 60 的概 率 。已知 ： (1) = 0.8413； (2) = 0.9772 ； 当 x 4 , (x) =1。解：设 为 掷 100 次中出现正面的次数 ，它服从二项分布 B ( 100， )12这 里 npnpq10250125,由 隶 莫 佛 - 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得 50566PP2102查 N ( 0， 1 )
12、 分 布 函 数 表 ， 得 P 60 100 = 1 0.977 = 0.023 .12 .有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯. 如果从中挑 4 杯, 能将甲种酒全部挑出来, 算是成功一次. (1)某人随机地去猜, 问他成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒. 他连续试验 10 次 , 成功 3 次. 试推断他是猜对的, 还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的). 解：(1)设 A=试验成功一次, 则有48C1().70PA(2)设 X：试验 10 次成功的次数, 则 ,XB由于3741069(3)C.130.P因此随机事件 是一个小概率事件, 根据“小
13、概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理, 随机事件 是不大可能发生的, 但它却发生了, 因此我们要以断定此人X确有区分酒的能力.13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为 100 元, 每被保险人出事赔付金 额为 2 万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为 0.000 5. 这个新保险品种预计需48投入 100 万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过 100 万元的概率大于 95%？21()ed,(.9)0.15,(.6)0.95,(3.)0.9,tx3.720.9,4.7.解：设参保人数为 N 人,
14、 则 011, 1,2,.0i i iiiiNEpDqq第 人 出 事 ，第 人 不 出 事 ，1(20).95NiP1(/2)0.95i10.Ni NppPqq 由 0201.65,pNq3,0.5,.9,qq0.92092130,pNNpq521081(36)4,24.9876.N,58.bac14、证明题 :设随机变量 X 的密度函数为e,0,()!.nxfx求证： (02(1).Pn证： 1 100()()ded()ed1,!()!n nx xEXxf492 220 0()ed(1)ed(1)2,!()!n nx xEX n 22 21.DEXn由切比雪夫不等式得 ()(|)|PPX|2()1DXn21.()n
