1、1直线圆锥曲线与向量的综合问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况 00),(2CBxAyxfcba曲 线 ：直 线 ： )0(2CyBA交（1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点 0,)Ai交（3）两个公共点 0,A2连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 21122Bkxyk3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量 或 ；（2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点;（3）给出 ,等于已知 是 的中点;（4）给
2、出 ,等于已知 A、B 与 PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一： ；存在实数 ；若存在实数,等于已知 三点共线.（6） 给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即（7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角。2（8）给出 ,等于已知 是 的平分线。（9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;（10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形;（11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中
3、线的交点）；（13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在 中，给出 等于已知 通过 的内心；（15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，
4、圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。高考真题31. 2012上海卷 若 n(2,1) 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)arctan2 解析 考查 直线的法向量和倾斜角，关 键是求出直线的斜率由已知可得直线的斜率 k 1， k2，ktan ，所以直线的倾斜角 arctan2.1 22.2012重庆卷 如图 13，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为F1，F 2，线段 OF1，OF 2 的中点分别为 B1，B 2，且AB 1B2
5、是面积为 4 的直角三角形图 13(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB 2，求直线 l 的方程解：(1)设所求椭圆的标准方程为 1( ab0)，右焦点为 F2(c,0)x2a2 y2b2因AB 1B2 是直角三角形，又| AB1|AB 2|，故B 1AB2为直角，因此|OA|OB 2|，得 b .结合 c2a 2b 2 得c24b2a 2b 2，故 a25b 2，c24b 2，所以离心率 e .ca 255在 RtAB1B2 中，OAB 1B2，故SAB1B2 |B1B2|OA|OB 2|OA| bb 2.12 c2由题设条件 S
6、AB1B24，得 b24，从而 a25b 220.因此所求椭圆的标准方程为： 1.x220 y24(2)由(1)知 B1(2,0) ，B2(2,0)由 题意知直线 l 的倾斜角不为 0，故可设直线 l 的方程为：xmy2.代入椭圆方程得( m25)y 24my 16 0.设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 y1，y2 是上面方程的两根，因此y1y 2 ，y1y2 ，4mm2 5 16m2 5又 (x 12，y 1)， (x 22， y2)，所以B2P B2Q (x 1 2)(x22) y 1y2B2P B2Q (my 1 4)(my24)y 1y2(m 21) y1y24m( y1y
7、2)16 1616m2 1m2 5 16m2m2 5 ，16m2 64m2 5由 PB2QB2，得 0，即 16m2640，解得 m2.B2P B2Q 所以满足条件的直线有两条，其方程分 别为 x2y20 和 x2y20.3 2012湖北卷 设 A 是单位圆 x2y 21 上的任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足| DM|m|DA|(m 0，且 m1) 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；4(2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C
8、于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H.是否存在 m，使得对任意的 k0，都有 PQPH ？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图(1)，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m |DA|(m0，且 m1)，可得 xx 0，|y|m| y0|，所以 x0x， |y0| |y|.因为点 A 在单位圆上运动，所以 x y 1.1m 20 20将式代入 式即得所求曲 线 C 的方程为 x2 1(m 0，且 m1) y2m2因为 m(0,1)(1，)，所以当 0m1 时，曲 线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆
9、，两焦点坐标分别为( ，0)，( ，0)；1 m2 1 m2当 m1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐 标分 别为(0， )，(0， )m2 1 m2 1(2)方法 1：如图(2) 、(3)，对任意的 k0， 设 P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则 Q(x 1，kx 1)，N(0，kx1)，直线 QN 的方程为 y2kx kx1，将其代入 椭圆 C 的方程并整理可得(m 24k 2)x24k 2x1xk 2x m 20.21依题意可知此方程的两根为x 1，x2，于是由 韦达定理可得x 1x 2 ，即 x2 .因为点 H 在直线 QN 上，所以 y2kx 12kx 2 .4
10、k2x1m2 4k2 m2x1m2 4k2 2km2x1m2 4k2于是 ( 2x 1，2kx 1)，PQ (x 2x 1，y2kx 1) .PH ( 4k2x1m2 4k2，2km2x1m2 4k2)而 PQPH 等价于 0，即 2m 20，又 m0，得 m ，PQ PH 42 m2k2x21m2 4k2 2故存在 m ，使得在其对应的椭圆 x2 1 上，对任意的 k0，都有 PQPH.2y22方法 2：如图(2)、 (3)，对任意 x1(0,1)，设 P(x1，y1)，H(x2，y2)，则 Q(x 1，y 1)，N(0，y1)因为 P，H 两点在椭圆 C 上，所以Error!两式相减可得
11、m2(x x )(y y )0.21 2 21 2依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P，H 不重合，故(x 1 x2)(x1x 2)0.于是由式可得m 2.又 Q，N，H 三点共线，所以 kQNk QH，即 .y1 y2y1 y2x1 x2x1 x2 2y1x1 y1 y2x1 x2于是由 式可得 kPQkPH .y1x1y1 y2x1 x2 12y1 y2y1 y2x1 x2x1 x2 m22而 PQPH 等价于 kPQkPH1，即 1，又 m0，得 m ，m22 2故存在 m ，使得在其对应的椭圆 x2 1 上，对任意的 k0，都有 PQPH.2y224 大纲文数
12、 2011全国卷 已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：x 2 1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 Fy22且5图 14斜率为 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 0.2 OA OB OP (1)证明：点 P 在 C 上；(2)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上【解答】 (1)证明：F(0,1) ，l 的方程为 y x1，代入 x2 1 并化简得2y224x22 x10.2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P( x3，y 3)，则 x1 ，x 2 ，2 64 2 64x1x 2 ，y 1y 2 (x1x 2)21，22 2由题
13、意得 x3( x1x 2) ，y 3( y1y 2)1.22所以点 P 的坐标为 .( 22， 1)经验证，点 P 的坐标 满足方程 x2 1，故点 P 在椭圆 C 上( 22， 1) y22(2)证明：由 P 和题设知 Q ，PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 y x.( 22， 1) ( 22，1) 22设 AB 的中点为 M，则 M ，AB 的垂直平分线 l2 的方程为 y x .(24，12) 22 14由、得 l1、l 2 的交点为 N .( 28，18)|NP| ，( 22 28)2 ( 1 18)2 3118|AB| |x2x 1| ，1 22322|AM| ，324|MN| ，
14、(24 28)2 (12 18)2 338|NA| ，|AM|2 |MN|23118故|NP | |NA|.又|NP | |NQ|， |NA| NB|，所以|NA |NP| NB|NQ |，由此知 A、P 、B 、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上65 2012福建卷 如图椭圆 E： 1( ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e ，过 F1 的x2a2 y2b2 12直线交椭圆于 A、B 两点，且ABF 2 的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：y kxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 相交于点 Q.试探究：在坐标平面内是否存
15、在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由解：解法一：(1)因为|AB| AF2|BF 2|8 ，即 |AF1|F 1B| AF2| BF2|8，又| AF1|AF 2| BF1|BF 2|2a，所以 4a8，a2.又因为 e ，即 ，所以 c1，12 ca 12所以 b .a2 c2 3故椭圆 E 的方程是 1.x24 y23(2)由Error!得(4k 23)x 28kmx4m 2120.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m0 且 0，即 64k2m24(4k 23)(4 m212) 0，化 简得 4
16、k2m 230.(*)此时 x0 ，y0kx 0m ，所以 P .由Error!得 Q(4,4km) 4km4k2 3 4km 3m ( 4km，3m)假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上设 M(x1,0)，则 0 对满足(*)式的 m、k 恒成立MP MQ 因为 ， (4x 1,4km )，MP ( 4km x1，3m) MQ 由 0，得 4x 1x 30，MP MQ 16km 4kx1m 21 12km整理，得(4x 1 4) x 4x 130.(*)由于(*) 式对满足(*)式的 m，k 恒成立，km 21所以Error! 解得 x11.故存在定点 M
17、(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.解法二：(1)同解法一(2)由Error!得(4k 23)x 28kmx4m 2120.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m0 且 0，即 64k2m24(4k 23)(4 m212) 0，化 简得 4k2m 230.(*)此时 x0 ，y0kx 0m ，所以 P .由Error!4km4k2 3 4km 3m ( 4km，3m)得 Q(4,4km) 假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上取 k0，m ，此时 P(0， )，Q(4， )，以 PQ 为直径的 圆为( x2) 2
18、(y )24，3 3 3 3交 x 轴于点 M1(1,0)，M2(3,0)；取 k ，m2，12此时 P ，Q(4,0)，以 PQ 为 直径的圆为 2 2 ，(1，32) (x 52) (y 34) 4516交 x 轴于点 M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合条件的点 M 存在，则 M 的坐标必为(1,0) 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点：因为 M 的坐标为(1,0) ，所以 ， (3,4km )，MP ( 4km 1，3m) MQ 7从而 3 30，MP MQ 12km 12km故恒有 ，即存在定点 M(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.MP MQ 突破重难点例 1过
19、点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称， O为坐标原点，若 且 ，则点 P 的轨迹方程是（ D ）2BA1OBA B231(0,)y23(0,)xxyC Dxyxy例 2 已知椭圆 C1： y 21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率x24(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， 2 ，求直线 AB 的方程OB OA 解：(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 1(a2)，y2a2 x24其离心率为 ，故 ，则 a4，故椭圆 C2
20、的方程为 1.32 a2 4a 32 y216 x24(2)解法一：A，B 两点的坐标分别记为(x A，yA)，(xB，yB)，由 2 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx .OB OA 将 ykx 代入 y 21 中，得(14k 2)x24，所以 x ，x24 2A 41 4k2将 ykx 代入 1 中，得(4k 2)x216，y216 x24所以 x ，又由 2 ，得 x 4x ，2B164 k2 OB OA 2B 2A即 ，164 k2 161 4k2解得 k1，故直 线 AB 的方程为 yx 或 yx.解法二：A，B 两点的
21、坐 标分别记为( xA，yA)，(xB，yB)，由 2 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx .OB OA 将 ykx 代入 y 21 中，得(14k 2)x24，x24所以 x ，由 2 ，2A41 4k2 OB OA 得 x ，y ，2B161 4k2 2B 16k21 4k2将 x ，y 代入 1 中，得 1，即 4k 214k 2，2B 2By216 x24 4 k21 4k2解得 k1，故直 线 AB 的方程为 yx 或 yx.例 3.在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 y22x 相交于 A、B 两点l（1）求证：“
22、如果直线 l 过点 T（3，0），那么 3”是真命题；O（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由8解（1）设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B( x2,y2).当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, )、B(3, ). =3；66OBA当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 ，其中 ，(3)k0k由 得 2(3)yxk21206yky又 ，11, ，221()34OABxyy综上所述，命题“如果直线 过点 T(3,0)，那么 =3”是真命题；l OBA(2
23、)逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B( ,1)，此时 =3,直线 AB 的方程为： ，而12(1)3yxT(3,0)不在直线 AB 上；说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x 2,y2) 满足 =3，OBA可得 y1y2=6，或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过点(1,0),而不过点(3,0).例 4 已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p0)上异于原点的两点， ，点
24、C 坐标为（0，2 p）（1）求证： A,B,C 三点共线； （2）若 （ ）且 试求点 M 的轨迹方程。AMBR0O（1）证明：设 ，221(,)(,)xp由 得 ，0O 221212,4xp又 1(,),(,)xACABp，22111 1)0xx，即 A,B,C 三点共线。/B（2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 及 （ ）知 OMAB，垂足为OMABBMRM，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0， y0)。例 5 椭圆 的两个焦点 F1、 F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1 F1F2，| PF1|=
25、，| PF2|=21(,0)xyab 34.34（I）求椭圆 C 的方程；（II）若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、 B 两点，且 A、 B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程。解法一：()因为点 P 在椭圆 C 上，所以 ，a=3.6221PFa在 Rt PF1F2中， 故椭圆的半焦距 c= ,51221F5从而 b2=a2 c2=4, 所以椭圆 C 的方程为 1.492yx9()设 A， B 的坐标分别为（ x1,y1）、（ x2,y2）. 由圆的方程为（ x+2） 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为（2，1）. 从而可设直线 l 的方程为
26、y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得（4+9 k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为 A， B 关于点 M 对称. 所以 .948221kx解得 ，98所以直线 l 的方程为 即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意),1)2(98xy解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（ x+2） 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为（2，1）.设 A， B 的坐标分别为（ x1,y1）,( x2,y2).由题意 x1 x2且 4921y ,49y由得 .0)()( 212122x因为 A、 B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=4, y1+ y
27、2=2,代入得 ，即直线 l 的斜率为 ，21xy9898所以直线 l 的方程为 y1 （ x+2），即 8x9 y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)例 6 设 F1、F 2分别是椭圆 的左、右焦点.142（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值 ;12PF（）设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围.解：（）解法一： 易知 ，2,13abc所以 ，设 ，123,0,FPxy则 212,3,3Px 2221384xx因为 ，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有
28、最小值-2,x12PF当 x=2，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值 112F解法二：易知 ，所以 ，设 ，则,13abc23,0,xy221112121212osPFFFP10（以下同解法一）22213313xyxyxy （）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，0 122:,lkAxyB联立 ，消去 ，整理得：214ykxy221430kx 12123,4xxkk由 得： 或224032k又 ，009cosABABO120AOBxy又 212121124ykxkxx2384k21k ，即 223014k24k 故由、得 或32k2k例 7 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线
29、交椭圆于 B、 D 两点，过 的直213xy1F21 2F线交椭圆于 A、 C 两点，且 ，垂足为 P. BD（）设 P 点的坐标为 ，证明： ；0(,)xy203xy（）求四边形 ABCD 的面积的最小值。（）证明: 椭圆的半焦距 ，21c由 知点 在以线段 为直径的圆上，故 ，ACBD P1F201xy所以， 22003xy（）（）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，k0BD(1)ykxB1FO2PDAyxC11代入椭圆方程 ，并化简得 213xy22(3)630kxk设 ， ，则： ， ，1()Bxy， 2()D， 212x21；222212 143(1)()()kkkx因为 AC 与
30、 BC 相交于点 P，且 AC 的斜率为 所以， 2214343(1)kkAC四边形 ABCD 的面积 2 2214()(1)9623353kkSBDAC 当 k2=1 时，上式取等号（）当 BD 的斜率 k=0 或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 S=4综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为 9625例 8 已知函数 与 的图象相交于 ， ， ， 分别是ykx2(0)x 1()Axy， 2()Bxy， 1l2的图象在 两点的切线， 分别是 ， 与 轴的交点2(0)yx AB， MN， l（I）求 的取值范围；（II）设 为点 的横坐标，当 时，写出 以 为自变量的函数式，并求其定义域
31、和值域；tM12xt1x（III）试比较 与 的大小，并说明理由（ 是坐标原点）ONO解：（I）由方程 消 得 2ykx， y20xk依题意，该方程有两个正实根，故 解得 218xk， 2k（II）由 ，求得切线 的方程为 ，()2fx1l 1()yy由 ，并令 ，得 ， 是方程的两实根，且 ，、故21y0y12xt2x12x， ， 是关于 的减函数，所以 的取值范围是 是21 2848kxkk1k1(02)， t12关于 的增函数，定义域为 ，所以值域为 ，1x(02)， ()， 0（III）当 时，由（II）可知 1212xOMt类似可得 2xON112Nx由可知 从而 12 0当 时，有
32、相同的结果 所以 2xMOMON自我提升1、平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知 A（3，1），B（-1，3），若点 C 满足 ，OBA其中 R，且=1，则点 C 的轨迹方程为( D )A 3 x+2y-11=0 B( x-1)2+(y-2)2=5 C 2 x-y=0 D x+2y-5=02、已知 是 x,y 轴正方向的单位向量，设 = , = ,且满足| |+| |=4.则ji, ajix)(bji)2(ab点 P(x,y)的轨迹是.( C )A椭圆 B双曲线 C线段 D射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，5 )的椭圆被直线 3x y2=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，2 21则椭圆方
33、程为(C ) 2222.1 B.1C.1 D.15775575xyxyxy4、直线 y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是（A）.A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知 是 x,y 轴正方向的单位向量，设 = , = ,且满足| |-ji, ajyix)3(bjyix)3(a| |=2.则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为_.( ).b 21(0)52012许昌一模 设 F1、F 2 分别是双曲线 x2 1 的左、右焦点若点 P 在双曲线上，y29且 0，则| |( )PF1 PF2 PF1 PF2 A2 B. C4 D22 10 2 105D 解析 根据已知PF 1
34、F2 是直角三角形，向量 2 ，根据直角三角形斜边上的中线PF1 PF2 PO 等于斜边的一半即可求出. 0，则| |2| | |2 .PF1 PF2 PF1 PF2 PO F1F2 106已知 A、B 为抛物线 x2=2py (p0)上两点，直线 AB 过焦点 F，A、B 在准线上的射影分别为 C、D，则y 轴上恒存在一点 K，使得 ； ；存在实数使得 ；若线段A0 AAB 中点 P 在在准线上的射影为 T，有 。中说法正确的为_B7.已知椭圆 ，过 P(1,0)作直线 l，使得 l 与该椭圆交于21yA,B 两点， l 与 y 轴的交点为 Q，且 ，求直线 l 的方程。P13APQF O
35、xy解：直线 l 过 P(1,0)，故可设方程为 y=k(x-1)， 因为 ，所以 AB 的中点与 PQ 的中点重合.AQPB由 得(1+2 k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以 ，又 xP+xQ=1 故 得21()xyk 241ABkx241k，所求的直线方程为 。2(1)2y82012瑞安质检 设椭圆 M： 1( a )的右焦点为 F1，直线 l：x 与 x 轴交于点 A，x2a2 y22 2 a2a2 2若 2 0(其中 O 为坐标原点)OF1 AF1 (1)求椭圆 M 的方程；(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 N：x 2(y2) 21 的任意一条直径( E
36、，F 为直径的两个端点)，求 的最大值PE PF 解：(1)由题设知，A ，F 1 ，(a2a2 2，0) ( a2 2，0)由 2 0，得 2 .解得 a26.所以椭圆 M 的方程为 1.OF1 AF1 a2 2 ( a2a2 2 a2 2) x26 y22(2)解法 1：设圆 N：x 2(y2) 21 的圆心为 N，则 ( )( )( )( ) 2 2 21.PE PF NE NP NF NP NF NP NF NP NP NF NP 设 P(x0，y 0)是椭圆 M 上一点，则 1，所以 2x ( y02) 22(y 01) 212.x206 y202 NP 20因为 y0 ， ，所以当
37、 y01 时， 2 取得最大值 12.所以 的最大值为 11.2 2 NP PE PF 解法 2：设点 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)，P( x0，y 0)，所以Error!可得 (x 1x 0)(x2x 0)(y 1y 0)(y2y 0)( x1x 0)(x 1x 0)(y 1y 0)(4y 1y 0)PE PF x x y y 4y 14y 0x y 4y 0(x y 4y 1)20 21 20 21 20 20 21 21因为点 E 在圆 N 上，所以 x ( y12) 21，即 x y 4y 13.21 21 21又因为点 P 在椭圆 M 上，所以 1，x206 y202即
38、x 63y .所以 2y 4y 092(y 01) 2 11.20 20 PE PF 20因为 y0 ， ，所以当 y01 时，( )min11.2 2 PE PF 9.设椭圆 C： 的左焦点为 F，上顶点为 A，过点 A 作垂直于 AF 的直线交椭圆 C)(ba于另外一点 P，交 x 轴正半轴于点 Q， 且PA58（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若过 A、 Q、F 三点的圆恰好与直线 l： 相切，求椭圆 C 的方程. 053yx解：设 Q（x 0，0） ，由 F（-c，0） 奎 屯王 新 敞新 疆14A（0，b）知 ),(),(0bxAQbcFc2020,设 ，得PAyxP58),(1由 21185,3bxy因为点 P 在椭圆上，所以)()(22bac整理得 2b2=3ac，即 2（a 2c 2）=3ac， ,30e故椭圆的离心率 e12由知 ，acacbab 2123， 得又；， 得于是 F（ a，0） ， Q12 )0,(AQF 的外接圆圆心为（ a，0） ，半径 r= |FQ|=a12所以 ，解得 a=2，c=1，b= ，a2|51| 3所求椭圆方程为1342yx
