1、1线段之和最短问题一 常见数学模型：1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B ，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B ，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。lAB3. 如图，直线 和 的异侧两点 A、B，分别在直线 、 上求作一点 P、Q 两点，1 2 1 2使 AP+PQ+QB 最小。4. 如图，直线 的同侧两点 A、B，分别在直线 上求作一点 P、Q 两点，且 PQ=a，1 1使 AP+PQ+QB 最小。 l2l1ABlABal1BA25.如图，点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B 使
2、PAB 的周长最小。6.如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B 。使四边形 PAQB 的周长最小。 NM0P为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点 A 是MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小6. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 NM0A为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”0MNPQNM0A3练习题1在平面直角坐标系中，有 A（3，2） ，B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n） ，当 n =
3、_时，AC + BC 的值最小2如图，护城河在 CC处直角拐弯，宽度保持为 4 米，从 A 处往 B 处，经过两座桥：DD，EE ，设护城河是东西南北方向的，A，B 在东西方向上相距 64 米，南北方向上相距 84 米，如何设计两座桥梁 DD，EE的位置，使由 A 地经过两座桥梁后到 B 地的路程最短？最短路程是多少？3如图AOB = 45，P 是 AOB 内一点，PO = 10，Q、P 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值 BAOPy xBA12342341234234OBA4EDC BA4如图，在ABC 中，ACBC2，ACB90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上
4、一动点，则 ECED 的最小值为_。5如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.(1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长；(2)请问点 C 满足什么条件时，ACCE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 +错误！未定义书签。x2+4的最小值(12-x)2+956桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现
5、了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。7著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 x 同侧，()A()B、 到直线 x 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路旁修建一50kmAB， B10km4服务区 ，向 、 两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路 y 与沪渝高速公P路垂直，建立如图所示的直角坐标系， 到直线 y 的距离为 ，请你在 x 旁和 y 旁各30k修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小QPQ值AABBAy xBAO68如图，在锐角ABC 中，AB = ，BAC 45，BAC 的平分线交 BC 于点42D，
6、M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _9如图，ABC 中，AB=2 ，BAC=30 ，若在 AC、AB 上各取一点 M、N ，使 BM+MN的值最小，则这个最小值 10如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.3 + 1302A BCMND CBAE NB CA
7、DM7参考答案1在平面直角坐标系中，有 A（3，2） ，B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n） ，当 n =_时，AC + BC 的值最小点 C（1，n） ，说明点 C 在直线 x=1 上，所以作点 A 关于直线 x=1 的对称点 A，连接 AB，交直线 x=1 于点 C，则AC+BC 的值最小设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则-2=-k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当 x = 1 时，y = -(2/5)故当 n = -(2/5)时， AC+BC 的值最小2如图，护城河在 CC处直角拐弯，宽度保持为 4 米
8、，从 A 处往 B 处，经过两座桥：DD，EE ，设护城河是东西南北方向的，A，B 在东西方向上相距 64 米，南北方向上相距 84 米，如何设计两座桥梁 DD，EE的位置，使由 A 地经过两座桥梁后到 B 地的路程最短？最短路程是多少？如图，作 BBa ，AA b ，且 BB = 4，AA = 4，连接 AB，交河岸于点 E，D ，分别过点 E、D架设桥梁 DD，EE，则 ADDEEB 是最短路线。因为四边形 ADDA、四边形 BEEB都是平行四边形，所以 BE = BE，AD = AD，因为A，B之间线段最短，所以 ADDEEB 是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以 BF =
9、 60，AF = 80，在直角三角形 ABF 中，由勾股定理得，AB = 100，最短路线为 108 米xy 123412341 2 3 41234ABAObaDE EDABba FDE EDBABARQP2P1AO BP83如图AOB = 45，P 是AOB 内一点，PO = 10，Q、P 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P 2，连接 P1P2，交 OA、OB 于点 Q，R，连接 OP1，OP 2，则 OP = OP1 = OP2 = 10 且P 1OP2 = 90由勾股定理得 P1P2 = 10 24如图，在ABC 中，A
10、CBC2，ACB90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值为_。即是在直线 AB 上作一点 E，使 EC+ED 最小作点 C 关于直线 AB 的对称点 C，连接 DC交 AB 于点E，则线段 DC的长就是 EC+ED 的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2 ，根据勾股定理可得，DC= 55如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.(1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长；(2)请问点 C 满足什么条件时，ACCE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结
11、论，请构图求出代数式 +错误！未定义书签。x2+4的最小值(12-x)2+9(1)AC = ，CE = 则 AC+CE = (8-x)2 + 25 x2 + 1+ (8-x)2 + 25 x2 + 1(2)A、C、E 三点共线时 AC+CE 最小连接 AE，交 BD 于点 C，则 AE 就是 AC+CE 的最小值最小值是 10(3)如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 135 1x8-xF EB DAECD E9（3）求代数式 （0x4）的最小值x2 + 1 + (4-x)2 + 4如右图，AE 的长就是这个代数式的最小
12、值在直角AEF 中AF = 3 EF = 4则 AE = 5所以，这个代数式的最小值是 56桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。析：展开图如图所示，作 A 点关于杯口的对称点 A。则 BA= =15 厘米92 + 1227著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同()A()BX侧， 、 到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路旁50kmA
13、B， BX10km4修建一服务区 ，向 、 两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝P Y高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， 到直线 的距离为 ，请你在Y30km旁和 旁各修建一服务区 、 ，XYQ使 、 、 、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值分别作点 A、B 关于 x 轴、y 轴的对称点 A，B，连接 AB，交 x 轴、 y 轴于点 P、Q，则四边形 PABQ 的周长最小构造如图在 Rt ABC 中，BC = 30+30+40 = 32x12-x CFBDAE21x4-xFB DAECxy 图 (3)CQP ABBAOAABBA10100，AC = 10 +4
14、0 =50所以 AB = =501002 + 502 58如图，在锐角ABC 中，AB = ，BAC 45，BAC 的平分线交 BC 于点42D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _作点 B 关于 AD 的对称点 B，过点 B作 BEAB 于点 E，交AD 于点 F，则线段 BE 的长就是 BM的最小值在等腰 RtAEB中，根据勾股定理得到，BE = 49如图，ABC 中，AB=2 ，BAC=30 ，若在 AC、AB 上各取一点 M、N ，使 BM+MN的值最小，则这个最小值 作 AB 关于 AC 的对称线段 AB，过点 B作 BNAB，垂足为 N，交 AC
15、 于点 M，则 BN = MB+MN = MB+MNBN 的长就是 MB+MN 的最小值则BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30。所以 AN = 1在直角ABN 中，根据勾股定理BN = 310如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.3 + 1FEBD
16、BACMN302A BCMN302MNBBAC11(2)连接 AC，交 BD 于点 M，则 AM+CM 的值最小连接 CE 交 BD 于点 M，则 AM+BM+CM 的值最小AM=EN，BM=NM， AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短” ，可知 EN+NM+MC=EC 最短(3)过点 E 作 CB 的延长线的垂线，垂足为 F设正方形 ABCD 的边长为 2x则在直角BEF 中，EBF=30，所以，EF=x，根据勾股定理：BF= 3x在直角CEF 中，根据勾股定理： CE2 = EF2 + FC2得方程： 解得：x = 所以：2x = (r(3) + 1)2 = x2 + (r(3)x +2x)222 2FMENB CDA E NB CA DM
