1、南通大学毕业论文0摘 要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式
2、、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性南通大学毕业论文1ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine th
3、e knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and anal
4、ysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary
5、 function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarizedKey words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty
6、南通大学毕业论文21.引 言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到 17 世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前 240 年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和
7、其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到 17 世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到 Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、
8、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的南通大学毕业论文32.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如 Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有
9、很多种 ,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法2.1 Cauchy-Schwarz 不等式无论是在代数还是在几何中 Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛 ,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间 中PF,的以及 维欧氏空间中的 4 种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进n行研究定理 2.11 设 , 在 上连续,则有()fxgab 2 badx2()afxd2()bagxd证明：要证明原不等式成立,我们只需要证成立222 0bbbaaafxgxfx设 ,则只要证 成立,222tt taaaFfdfgd Fba由
10、 在 上连续,在 内可导,得tbb2222t t taa afgxdfxdftgfxd2t ftg (2.1)20tafxx由(2.1)式可知 在 上递增,由 ,知 ,故原不等式成立 证毕FtabaFba实际上关于 Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多 ,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题通过观察我们可以进一步发现原 Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式南通大学毕业论文4,0bbaafxdgxfd由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出不
11、等式的推广形式CauchySwarz定理 2.22 设 , , 在 上可积,则fxghxab 0b baaabb baaafdgfxdhxfdx gfh 证明：对任意的实数 , , ,有1t23123batfxtgthxd 2223bbaadthxd 1213230b ba atfxtftgxhd 注意到关于 , , 的二次型实际上为半正定二次型,1t2从而其系数矩阵行列式为 证毕2220bbbaaabbbaaafxdgxfdhxfdgfh 以上的推广是将 Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式 ,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要
12、的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出 Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用除了 Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如 Young 不等式,相较于 Cauchy-Schwarz 不等式我们对 Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对 Young 不等式进行一些研究2.2 Young 不等式Young 不等式,以及和它相关的 Minkowski 不等式,Hlder 不等式,这些都是在现
13、代分南通大学毕业论文5析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的 Young 不等式的证明定理 2.33 设 在 （ ）上连续且严格递增,若 , 且()fx0,c(0)f,ac,则 ,其中 是 的反函数,当且仅当 时等0()bfc100abfddab1f ()bf号成立证明：引辅助函数 , (2.2)0()()agfx把 看作参变量,由于 ,且 严格递增,于是0bbf当 时, ；当 时, ；当 时, 1()af()a1()()0ga1()fb()0ga因此 当 时, 取到
14、 的最大值,即bg(2.3)bfxg1ma由分部积分得,11()()1100()fbfbgfbfxdx作代换 ,上面积分变为()yfx, (2.4)110()()bffy将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得,11000()()()abbbfxdfdfxd即 证毕100()()abfxdfxd南通大学毕业论文63.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常
15、常会遇到一类特殊的函数凸函数凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题下面给出一个例子加以说明定理 3.1 若 定义在间隔 内,且 ,则 必为下凸函数tmM0tt定理 3.2 设 在 上为可积分函数,而 又设 在间隔fxab()mfxMt内为连续的下凸函数,则有不等式mtM11bbaafdxfd例 3.14 设 在 上连续,且 ,求证： fx0f21bbaafxdxaf证明: 取 , 因为 , ,u121u320u即在 时, 为凸函数,故有0uy，11bbaafxdfxd即 ，故 证毕babadxffxd 2bbaa
16、fxxf在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题3.2 辅助函数法 辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明南通大学毕业论文7的结论在第二部分中我们用辅助函数法对 Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨例 3.2.15 设函数 在区间 上连续且单调递减,证
17、明：对 时,fx01 )10(a有： 100()afxd证明：令 ,由 连续,得 可导xFftdxxfxF则 , 02fx2fff(0)x因为 在 上单调减少,而 ,有 ,()f1xff从而 , 在 上单调减少,则对任意 ,有 0Ftx( (01)a()1Fa即 ,两边同乘 ,即得 证毕100()afdfa00fxdfxd本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间 上构造了一个辅助函数,进一步)(我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例 3.2.2 设函数 在区间 上连续且单调递减非负,证明：对 ,且fx01 )10(,ba时 ,有: 10ba0()abafdfx
18、d证明：令 , ,由 连续 ,得 可导, 则0()xFft1xfxF, 2fdxx2fff(0)x因为 在 上单调减少,而 ,有 ,从而 , 在()f010xfftF上单调减少 ,则对任意 ,有 ,即(0,1 1ba()Fab 001ftdftd(3.1)由 非负,可得 (3.2)fdxfxfbab0结合(3.1)式和 (3.2)式可得 011bafxd即 证毕0abafxdfx例 3.2.36 函数 在 上连续,且()ab 试证：0xf南通大学毕业论文821()()bbaafxdxaf在例 3.1 中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程证明:
19、构造辅助函数 , 则 2xxaadtftf12xxaadtfftdxff 2xxxaaafftdtdt, 20xattftfx所以 是单调递增的,即 ,故 证毕ba21bbaafxdxaf例 3.2.47 设 在 上连续且单调增加,证明： xf baba dxf证明: 原不等式即为 ,构造辅助函数 02babadxfdxf, ,t tFtb则12taFtffxft 1tatffxd, tt,a因为 , 单调增加,所以 故 在 上单调递增,且 ,afx0Fttb0Fa所以对 ,有 当 时, (bxb0F即 ,故原不等式成立, 证毕2bbaaxfdfxd通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已
20、知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论3.3 利用重要积分不等式在第 2 部分中我们给出了 Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程 ,实际南通大学毕业论文9上 Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛 ,利用它可以解决一些复杂不等式的证明 .在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用例 3.3.18 函数 在
21、 上一阶可导, ,fx0110f试证明： 122004fdd证明：由 和xftf11xfftdf可得, ,2 12 220001xxfftdtftdf 1(0)2x, 211 12 220()xxffttftxfd (,)因此 , (3.3)1122008fdfd (3.4)11220fxfx将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到 证毕1122004fxdfxd例 3.3.22 设 , 在 上可积且满足： , ,fxg,abmfM0bagxd则以下两个积分不等式 及2222bbb baaa afxdfxdgx成立22 2b bba aaMmfxgdf证明：取 ,由 及定理 2.2 知1h0
22、bagxd2200bbaabafgxfdfxxfd2 222 0bbbbbaaaaafxdgxfxgdxfxgd 因此 2 221bbbbbaaaaafxgdfxdgxfxdgxd (3.5)南通大学毕业论文10由 可知 ,mfx22bafxdmba因而 2222bbb baaa afgfgxdgxd由于 ,因此 0mfxM22Mmf化简得 ,2fmfx两边同时积分得 ,2b ba afdbafxd 由算数-几何平均值不等式可知,2 2b ba afxMfMm于是 224bafdmx则 21bbaafdgxd222bbbaaafxdfxdgx (3.6)224bbaaMmfx由式(3.5)和式
23、 (3.6)可知 证毕22 2b bba aaMmfgdfxdgx以上两道题分别利用了 Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用 Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用 ,但要注意选取适当的与 ,有时还需对积分进行适当的变形xfg3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明定理 3.3（积
24、分第一中值定理） 若 在 上可积且 ,则存在()fx,ab()mfxM南通大学毕业论文11使 成立.特别地,当 在 上连续,则存在 ,使,umM()()bafxdua ()fxabcab成立()bafxdc定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数 , 在区间 上可积, 连xfgxf续, 在 上不变号,则在积分区间 上至少存在一个点 ,使得下式成立xgbba, ba dxfdxgf定理 3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数 , 在区间 上可积,且fxgba为单调函数,则在积分区间 上至少存在一个点 ,使得下式成立xf b, abba dxfdxgfdxgf例 3.4.1 设函数 在区间
25、 上连续单调递减,证明：对 ,且01 )10(,ba时 ,有 ,其中 10ba0()abafxdfxdxf对于这道题目我们在 3.2.2 中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程证明：由积分中值定理知, ； , ；10afxdfa10,2bafxdfba2,b因为 ,且 递减,所以有 ,122f即 ,0abbaafxxdfx故 证毕df例 3.4.2 设 在 上连续且单调增加,证明： xfbbaba dxfdxf2同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二
26、中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程证法一证明: 2baxfxd 2 2ab baxfxdxfxd南通大学毕业论文12由定理 3.4 可知,分别存在 , ,1,2ab2ab使得 ,2 1ab abxfxdfxd ,22b ba aff 因此 ,由于 在 单调增加的,且218baxfxdff xf10,所以有 120210ff从而 ,故原不等式成立, 证毕baxfxd证法二证明:由定理 3.5 可知：存在 ,ab使得 2baxfxd 22ba afxdfxdffb由 单调增加及 知 , , x,a0ffa0b可得 ,故原不等式成立, 证毕02bafxd通过上述两道
27、题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理例 3.5.19 设 在 上导数连续,试证： ,fx0101x南通大学毕业论文13有 10fxfxfdx证明：由条件知 在 上连
28、续,则必有最小值 ,01即存在 , ,01x0fxf由 ,0xftd0xxfftd0xftd0xf10ftd110ft110ftftft.故原不等式成立, 证毕xfx3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法定理 3.6(带有拉格朗日型余项的 公式) 设函数 在点 处的某邻域内具有Taylor()fx0阶连续导数,则对该邻域内异于 的任意点 ,在 与 之间至少存在一点 ,使得：1n0xx0
29、 (1)200 00()()()() ()!nnf ffxfx xRx其中 （ 在 与 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公(1)10)!nnnfRx0式例 3.6.110 设 在 上有二阶连续导数, , ,fxab0fafb,maxbMf试证明: 312bafdM证明：对 ,由泰勒公式得x, ,212fffxafaxax, ,bbbb两式相加得 ,22124fxfxfaxfbx 南通大学毕业论文14两边积分得 ,22124bb baa afxdfxdxfxfbxd 其中 ,2b bba aaf ffd 于是有 ,2218bbaafxdfxfx 故 证毕31MMdba例 3.6.26
30、设 在 上有二阶导数,且 ,fxb0fx求证 2baafdf证明：将 在 处作泰勒展开得到fx0b, 2122aababfffxfx ,2abx因为 ,所以可以得到 ,0fx2fff对不等式两边同时积分得到 2b ba aabfxdffxd 因为 , 所以有 证毕02baxd baff通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征一般情况下我们选定一个点 ,并写出 在这个点 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值oxxfox定理相结合来解决问题3.7 利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的
31、不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解以下列举了 3 种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过 3 道例题来进一步说明南通大学毕业论文153.7.1 直接增元法命题一 11：若在区间 上 ,则 ,ab()fxg()()bbaafxdgx例 3.7.111 设 , 在 上连续,且满足：()fxg, , ,证明： ()xxaaftdt()()bbaaftdt()()bbaaxfxd证明：由题得 ,()xxaft从而可以得到 ,即 ()bbagt()0bxaftgdt左式 (其中 )()bx
32、adftgdtDftdt,)|,Dxtabtxbatftx()batfgt()()(b ba adgd ()()0bbaatfdtg则 , 即 证毕0batft )xfx在本题中我们将一元积分不等式 的两边同时增加一个积分变量()aag，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的badx方法达到证明一元积分不等式的方法.3.7.2 转换法在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二 11 若 在
33、 上可积, 在 上可积,则二元函数 在平面区()fxab()gycd()fxgy域 上可积,且(,)|,Dxyacyd()()()()()bdbdacacDfxgfxgyfxgx其中 (,|,yacy例 3.7.211 设 , , 是 上的连续函数,在 上, , ,()pxf()gxabab()0px()f为单调递增函数,试证：()gx南通大学毕业论文16()()()()()bbbbaaaapxfdpxgdpxfxgd证明：由 可知：,()()()()()0bbbbaaaaxfxxfx令 ,()b ba aIpdfgdpfdpgd下证 ；0()()()()()bbbbaaaaIxpfxxfxd
34、ygdypdpygd()()()()b ba axfxxfx (3.7)pyfy同理()()()()()bbbbaaaaIxdfxgdpxfdpxgdpyy (3.8)()()()baxfx(3.7) (3.8) 得,2()()()baIpygfyxdy因为 , 同为单调增函数,所以()fxg ()0f又因为 , ,故0p()y,即 证毕2()()baIxpgxfyxdy I2.将常数转换为重积分的形式在例 3.7.2 中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例 3.7.3 中我们将对常数转换为重积分来进行说明我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数,则可得到 ,其中 ()fxy
35、k2()Dkdba(,)|,Dxyaby例 3.7.3 函数 在 上连续,且 试证： ()fx0f 21()()aafdxbaf本题与前面的例 3.1 以及例 3.2.3 是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题证明：原题即为 ,1()()bbaaDfxdydf南通大学毕业论文17移项可得 ,()10Dfxdy,()()()2110DDffxfyddyx所以即为证 ,因为 , ,所以 ()2)0Dfxfy ()f()f()20fxfy故 恒成立,即 成立, 证毕()ffdx 21()()bbaafxdxaf通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要
36、证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法3.8 利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不
37、等式时的区别例 3.8.112 设 , 在区间 上的导数连续 ,证明：0fafx,ab2,11mx2baabfdf证明：应用 Lagrange 中值定理, ,其中 ,使得,fxfafxa因为 , 所以 , , 0faM,mxbf从 到 积分得bbaafxdxd2bada即 . 证毕2 21mMf2,11mxbaabfxdf南通大学毕业论文18例 3.8.213 设函数 在 上可微,且当 时, ,fx0101x1fx0f试证： 211300fxdfd证明：令 , ,20xFft30xGftd在 上满足柯西中值定理,则,xG121030fdFGx 00322fftdftd01, 0022ftftd
38、f1f1所以 证毕2100fxdfxd通过以上两道题目可以发现：1.在应用 Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数 ,并确定 在使用该fxxf定理的区间 ,对 在区间 上使用该定理若遇到不能用该定理直接证明的,则baxfba从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用 Lagrange 中值定理2.在研究两个函数的变量关系时可以应用 Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足 Cauchy 中值定理的两个函数 , ,并确定它xfg们应用柯西中值定理的区间 ,然后在对 , 在区间 上运用 Cauchy 中值定baxfgba,理无
39、论是 Cauchy 中值定理还是 Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式南通大学毕业论文194总 结我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力
40、有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点南通大学毕业论文20参考文献1王宇,代翠玲,江宜华一个重要积分不等式的证明、推广及应用 J荆州师范学院学报(自然科学 版),2000,23(5) ：1062 张盈Cauchy-Schwarz 不等式的证明、推广及应用 J高师理科学刊,2014,34(3):34-373 黄群宾积分不等式的证明J 川北教育学院学报,1996 ,6(4):22-274 李志
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