1、小题专练（11）计数原理1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 ( )A. B.C. D.【解题提示】用插空法求解.【解析】选 A.8 名学生先排有 种排法,产生 9 个空,2 位老师插空有 种排法,所以共有 种排法.【误区警示】解答本题易怱视 8 个同学两端的两个空,误认为只有中间的 7 个空,而误选 C.2.(2016烟台模拟)从 1,3,5,7,9 这 5 个奇数中选取 3 个数字,从 2,4,6,8 这 4 个偶数中选取 2 个数字,再将这 5 个数字组成没有重复数字的五位数,且奇数数字与偶数数字相间排列.这样的五位数的个数是 ( )A.180 B.36
2、0 C.480 D.720【解析】选 D.第一步,选: ;第二步,排:3!2!.根据分步乘法计数原理,得符合条件的五位数共有 3!2!=720(个).3用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252C261 D279解析：能够组成三位数的个数是 91010900，能够组成无重复数字的三位数的个数是998648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是 900648252.答案：B4某班有 60 名学生，其中正、副班长各 1 人，现要选派 5 人参加一项社区活动，要求正、副班长至少 1 人参加，求共有多少种选派方法，下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是( )
3、AC C BC C12 459 560 58CC C C C DC C C C12 459 2 358 12 458 2 358解析：选项 A 中 C 是正、副班长中任选一名，只需再从 58 名学生中选 4 名即可，即12C ，还应加上正、副班长都选的情况，故 A 选项错；选项 B 是先从 60 名学生中任选 5458名，减去从 58(不考虑正、副班长 )名学生中任选 5 名的方法，故 B 选项正确；选项 C 是先从正、副班长中选 1 名，接着从 59 名学生中再选 4 名，减去正、副班长都选，并再从 58名学生中选 3 名的方法，故 C 选项正确；选项 D 中分两种情况：第一种是先从正、副班
4、长中只选 1 名，再从 58 名学生中选 4 名；第二种是正、副班长都选，再从 58 名学生中选 3名，然后把两种情况相加，故 D 选项正确答案：A5.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有 ( )A.10 种 B.25种 C.52种 D.24种【解析】选 D.每相邻的两层之间各有 2 种走法,共分 4 步,由分步乘法计数原理,共有 24种不同的走法.6.设集合 A=1,2,3,4,m,nA,则方程 + =1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有( )A.6 个 B.8 个 C.12 个 D.16 个【解析】选 A.分三类,当 n=1 时,有 m=2,3,4,共 3 个;当 n=2
5、 时,有 m=3,4,共 2 个;当 n=3 时,有 m=4,共 1 个.由分类加法计数原理得共有 3+2+1=6(个).7.(2016济宁模拟)二项式 展开式中的常数项是 ( )A.180 B.90 C.45 D.360【解析】选 A. 展开式的通项为 Tk+1= ( )10-k =2k ,令 5- k=0,得 k=2,故常数项为 22 =180.8.(2016枣庄模拟)在 x(1+x)6的展开式中,含 x3项的系数是 ( )A.30 B.20 C.15 D.10【解题提示】先用通项公式求(1+x) 6展开式中 x2项的系数,再求 x(1+x)6展开式中 x3项的系数.【解析】选 C.(1+
6、x)6展开式中通项 Tr+1= xr,令 r=2 可得 T3= x2=15x2,所以(1+x) 6展开式中 x2项的系数为 15,在 x(1+x)6的展开式中,含 x3项的系数为 15.9已知 8 展开式中常数项为 1 120，其中 a 是常数，则展开式中各项系数的和是 ( )(x ax)A2 8 B3 8C1 或 38 D1 或 28解析：由题意知 C (a) 41 120，解得 a2，令 x1，得展开式中各项系数的和为48(1a) 81 或 38.答案：C10(2018南昌模拟)( x2x1) 3 展开式中 x 项的系数为( )A3 B1C1 D3解析：(x 2x1) 3(x 2x)1 3
7、 的展开式的通项为 Tk1 C (x2x) 3k ，令 3k 1，则k3T3C (x2x)3x 23x ，即(x 2x1) 3 展开式中 x 项的系数为3.故选 A.23答案：A11(2018肇庆模拟)( x2y) 7 的展开式中，系数最大的项是 ( )A68y 7 B112x 3y4C672x 2y5 D1 344x 2y5解析：设第 r1 项系数最大，则有Error!即Error!即Error! 解得Error!又 rZ，r 5.系数最大的项为 T6C x225y5672x 2y5.故选 C.57答案：C12已知函数 f(x)x 32f (2) x，nf(2)，则二项式 n展开式中常数项是
8、( )(x 2x)A第 7 项 B第 8 项C第 9 项 D第 10 项解析：由题意可得 f(x )3x 22f (2) ，令 x2 可得 f(2)122f(2)，nf(2)12.二项式 12 展开式的通项为 Tr1 C x12r (2x )r2 rC x12 r，令(x 2x) r12 12 r12 3212 r0，可得 r8，所以展开式中常数项是第 9 项，故选 C.32答案：C13用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2，9 的 9 个小正方形，使得任意相邻(有公共边) 的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种.1 2 34
9、 5 67 8 9解析：首先看图形中的 3,5,7，有 C 3 种涂法对于 2，有两种涂法，对于 4 有两种涂13法当 2,4 涂的颜色相同时，1 有 2 种涂法；当 2,4 涂的颜色不同时，1 有 1 种涂法根据对称性可知共有 3(222 1)2108 种涂法答案：10814将 3 展开后，常数项是_(x 4x 4)解析： 3 6 展开后的通项是 C ( )6k k( 2) kC ( )62k .(x 4x 4) ( x 2x) k6 x ( 2x) k6 x令 62k0，得 k3.所以常数项是 C (2) 3160.36答案：16015(2018石家庄模拟)已知 x8a 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 8(x1) 8，则 a7_.解析：x 81(x1) 8，其展开式的通项为 Tr1 C (x1) r.r8令 r7，得 a7C 8.78答案：816(2018临沂模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有_种解析：(间接法)把四位同学分成 3 组，有 C 6 种分法，然后进行全排列，即24C A 36(种)，去掉甲、乙在一个组的情况，当甲、乙在一个组时，参加的方式有24 3A 6(种) ，故符合题意的安排方法为 36630( 种)3答案：30
